4.1. Рух по колу із постійною швидкістю.
Рух по колу – найпростіший вид криволінійного руху.
4.1.1. Криволінійний рух – рух, траєкторій якого є крива лінія.
Для руху по колу із постійною швидкістю:
1) траєкторія руху – коло;
2) вектор швидкості спрямований по дотичній до кола;
3) вектор швидкості постійно змінює свій напрямок;
4) за зміну напрямку швидкості відповідає прискорення, зване доцентровим (або нормальним) прискоренням;
5) відцентрове прискорення змінює тільки напрямок вектора швидкості, при цьому модуль швидкості залишається незмінним;
6) відцентрове прискорення спрямоване до центру кола, по якому відбувається рух (постійне прискорення завжди перпендикулярно вектору швидкості).
4.1.2. Період ( T) - час одного повного обороту по колу.
Це величина постійна, тому що довжина кола постійна і швидкість руху постійна
4.1.3 Частота – число повних оборотів за 1 с.
По суті, частота відповідає питанням: як швидко обертається тіло?
4.1.4. Лінійна швидкість - показує, який шлях проходить тіло за 1 с (це та сама швидкість, про яку йшлося в попередніх темах)
де R- Радіус кола.
4.1.5. Кутова швидкість показує, який кут повертається тіло за 1 з.
де - кут, на який повернулося тіло за час
4.1.6. Центрошвидке прискорення
Нагадаємо, що доцентрове прискорення відповідає тільки за поворот вектора швидкості. У цьому, оскільки швидкість стала величина, то значення прискорення теж постійно.
4.1.7. Закон зміни кута повороту
Це повний аналог закону руху за постійної швидкості:
Роль координати xграє кут роль початкової координати грає швидкість - кутова швидкість І з формулою слід працювати як і, як раніше працювали з формулою закону рівномірного руху.
4.2. Рух по колу із постійним прискоренням.
4.2.1. Тангенціальне прискорення
Центрошвидке прискорення відповідає за зміну напрямку вектора швидкості, але якщо ще змінюється і модуль швидкості, то необхідно ввести величину, що відповідає за це - тангенціальне прискорення
З вигляду формули ясно, що це звичайне прискорення, про яке говорилося раніше. Якщо справедливі формули рівноприскореного руху:
де S- шлях, що проходить тіло по колу.
Отже, ще раз наголосимо, відповідає за зміну модуля швидкості.
4.2.2. Кутове прискорення
Ми ввели аналог швидкості для руху по колу – кутова швидкість. Природно запровадить і аналог прискорення - кутове прискорення
Кутове прискорення пов'язане з тангенціальним прискоренням:
З формули видно, що й тангенціальне прискорення постійно, те й кутове прискорення буде постійно. Тоді можемо записати:
Формула є повним аналогом закону рівнозмінного руху, тому працювати з цією формулою ми вже вміємо.
4.2.3. Повне прискорення
Центрозривне (або нормальне) та тангенціальне прискорення не є самостійними. Насправді, це проекції повного прискорення на нормальну (спрямовану по радіусу кола, тобто перпендикулярно швидкості) та тангенціальну (спрямовану по дотичній до кола в бік, куди направлений вектор швидкості) осі. Тому
Нормальна та тангенціальні осі завжди перпендикулярні, отже, абсолютно завжди модуль повного прискорення можна знайти за формулою:
4.4. Рух по криволінійній траєкторії.
Рух по колу є окремим видом криволінійного руху. У випадку, коли траєкторія є довільну криву (див. рис.), всю траєкторію можна розбити на ділянки: ABі DE- Прямолінійні ділянки, для яких справедливі всі формули руху по прямій; а для кожної ділянки, яку не можна розглянути як пряме, будуємо дотичне коло (коло, що стосується траєкторії тільки в цій точці) - у точках Cі D. Радіус дотичного кола називається радіусом кривизни. У кожній точці траєкторії радіус кривизни має значення.
Формула для знаходження радіусу кривизни:
де - нормальне прискорення у цій точці (проекція повного прискорення на вісь, перпендикулярну вектору швидкості).
Рух по колу – окремий випадок криволінійного руху. Швидкість тіла у будь-якій точці криволінійної траєкторії спрямована по дотичній до неї (рис.2.1). Швидкість як вектор може змінюватися і за модулем (величині) і за напрямом. Якщо модуль швидкості 
залишається незмінним, то говорять про рівномірному криволінійному русі.
Нехай тіло рухається по колу з постійною за величиною швидкістю точки 1 в точку 2.
При цьому тіло пройде шлях, що дорівнює довжині дуги 12 між точками 1 і 2 за часt. За цей же час радіус- вектор R, проведений з центру кола 0 до точки, повернеться на кут Δφ.
Вектор швидкості в точці 2 відрізняється від вектора швидкості в точці 1 напрямуна величину ΔV:
;
Для характеристики зміни вектора швидкості на величину δv введемо прискорення:
(2.4)
Вектор 
у будь-якій точці траєкторії направлений по радіусу центрукола перпендикулярно до вектора швидкості V 2 . Тому прискорення 
, Що характеризує при криволінійному русі зміна швидкості 
за напрямом, називають доцентровим або нормальним. Таким чином, рух точки по колу з постійною за модулем швидкістю є прискореним.
Якщо швидкість 
змінюється не тільки за напрямом, а й за модулем (величиною), то крім нормального прискорення 
вводять ще й дотичний (тангенціальний)прискорення 
, що характеризує зміну швидкості за величиною:
або 
Направлений вектор 
по дотичній у будь-якій точці траєкторії (тобто збігається з напрямком вектора 
). Кут між векторами 
і 
дорівнює 90 0 .
Повне прискорення точки, що рухається криволінійною траєкторією, визначається як векторна сума (рис.2.1.).
.
Модуль вектора 
.
Кутова швидкість та кутове прискорення
При русі матеріальної точки по колурадіус-вектор R, проведений із центра кола О до точки, повертається на кут Δφ (рис.2.1). Для характеристики обертання вводяться поняття кутової швидкості і кутового прискорення ε.
Кут φ можна вимірювати у радіанах. 1 радийдорівнює куту, який спирається на дугу ℓ, рівну радіусуRкола, тобто.
або ℓ
12
=
Rφ
(2.5.)
Продиференціюємо рівняння (2.5.)
(2.6.)
Розмір dℓ/dt=V мгн. Величину ω = dφ/dt називають кутовою швидкістю(Вимірюється в рад/с). Отримаємо зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями:
Величина векторна. Напрямок вектору 
визначається правилом гвинта (буравчика): воно збігається з напрямком переміщення гвинта, орієнтованого вздовж осі обертання точки або тіла, що обертається у напрямку повороту тіла (рис.2.2), тобто. 
.
Кутовим прискоренням
називається векторна величина похідна від кутової швидкості (миттєве кутове прискорення)
,
(2.8.)
Вектор 
збігається з віссю обертання і спрямований у ту ж сторону, що вектор 
, якщо обертання прискорене, і протилежне, якщо обертання уповільнене.
Число обертівnтіла в одиницю часу називаютьчастотою обертання .
Час Т одного повного обороту тіла називаютьперіодом обертання . При цьомуRопише кут Δφ=2π радіан
З урахуванням сказаного
,
(2.9)
Рівняння (2.8) можна записати так:
(2.10)
Тоді тангенціальна складова прискорення
а =R(2.11)
Нормальне прискорення а n можна виразити так:
з урахуванням (2.7) та (2.9)
(2.12)
Тоді повне прискорення.
Для обертального руху з постійним кутовим прискоренням можна записати рівняння кінематики за аналогією з рівнянням (2.1) – (2.3) для поступального руху:
,
.
Рух по колу – окремий випадок криволінійного руху. Швидкість тіла у будь-якій точці криволінійної траєкторії спрямована по дотичній до неї (рис.2.1). Швидкість як вектор може змінюватися і за модулем (величині) і за напрямом. Якщо модуль швидкості 
залишається незмінним, то говорять про рівномірному криволінійному русі.
Нехай тіло рухається по колу з постійною за величиною швидкістю точки 1 в точку 2.
При цьому тіло пройде шлях, що дорівнює довжині дуги 12 між точками 1 і 2 за часt. За цей же час радіус- вектор R, проведений з центру кола 0 до точки, повернеться на кут Δφ.
Вектор швидкості в точці 2 відрізняється від вектора швидкості в точці 1 напрямуна величину ΔV:
;
Для характеристики зміни вектора швидкості на величину δv введемо прискорення:
(2.4)
Вектор 
у будь-якій точці траєкторії направлений по радіусу центрукола перпендикулярно до вектора швидкості V 2 . Тому прискорення 
, Що характеризує при криволінійному русі зміна швидкості 
за напрямом, називають доцентровим або нормальним. Таким чином, рух точки по колу з постійною за модулем швидкістю є прискореним.
Якщо швидкість 
змінюється не тільки за напрямом, а й за модулем (величиною), то крім нормального прискорення 
вводять ще й дотичний (тангенціальний)прискорення 
, що характеризує зміну швидкості за величиною:
або 
Направлений вектор 
по дотичній у будь-якій точці траєкторії (тобто збігається з напрямком вектора 
). Кут між векторами 
і 
дорівнює 90 0 .
Повне прискорення точки, що рухається криволінійною траєкторією, визначається як векторна сума (рис.2.1.).
.
Модуль вектора 
.
Кутова швидкість та кутове прискорення
При русі матеріальної точки по колурадіус-вектор R, проведений із центра кола О до точки, повертається на кут Δφ (рис.2.1). Для характеристики обертання вводяться поняття кутової швидкості і кутового прискорення ε.
Кут φ можна вимірювати у радіанах. 1 радийдорівнює куту, який спирається на дугу ℓ, рівну радіусуRкола, тобто.
або ℓ
12
=
Rφ
(2.5.)
Продиференціюємо рівняння (2.5.)
(2.6.)
Розмір dℓ/dt=V мгн. Величину ω = dφ/dt називають кутовою швидкістю(Вимірюється в рад/с). Отримаємо зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями:
Величина векторна. Напрямок вектору 
визначається правилом гвинта (буравчика): воно збігається з напрямком переміщення гвинта, орієнтованого вздовж осі обертання точки або тіла, що обертається у напрямку повороту тіла (рис.2.2), тобто. 
.
Кутовим прискоренням
називається векторна величина похідна від кутової швидкості (миттєве кутове прискорення)
,
(2.8.)
Вектор 
збігається з віссю обертання і спрямований у ту ж сторону, що вектор 
, якщо обертання прискорене, і протилежне, якщо обертання уповільнене.
Число обертівnтіла в одиницю часу називаютьчастотою обертання .
Час Т одного повного обороту тіла називаютьперіодом обертання . При цьомуRопише кут Δφ=2π радіан
З урахуванням сказаного
,
(2.9)
Рівняння (2.8) можна записати так:
(2.10)
Тоді тангенціальна складова прискорення
а =R(2.11)
Нормальне прискорення а n можна виразити так:
з урахуванням (2.7) та (2.9)
(2.12)
Тоді повне прискорення.
Для обертального руху з постійним кутовим прискоренням можна записати рівняння кінематики за аналогією з рівнянням (2.1) – (2.3) для поступального руху:
,
.
Рух по колу – найпростіший випадок криволінійного руху тіла. Коли тіло рухається навколо певної точки, поряд з вектором переміщення зручно ввести кутове переміщення ∆φ (кут повороту щодо центру кола), що вимірюється в радіанах.
Знаючи кутове переміщення, можна вирахувати довжину дуги кола (шлях), яку пройшло тіло.
∆ l = R ∆ φ
Якщо кут повороту малий, то ∆ l ≈ ∆ s .
Проілюструємо сказане:
Кутова швидкість
При криволінійному русі вводиться поняття кутової швидкості , тобто швидкості зміни кута повороту.
Визначення. Кутова швидкість
Кутова швидкість в даній точці траєкторії - межа відношення кутового переміщення φ до проміжку часу t , за яке воно сталося. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Одиниця виміру кутової швидкості - радіан в секунду (ряд).
Існує зв'язок між кутовим і лінійним швидкостями тіла при русі по колу. Формула для знаходження кутової швидкості:
При рівномірному русі по колу, швидкості v і ω залишаються незмінними. Змінюється тільки напрямок вектора лінійної швидкості.
При цьому рівномірний рух по колу на тіло діє доцентрове, або нормальне прискорення, спрямоване по радіусу кола до її центру.
a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Модуль доцентрового прискорення можна обчислити за формулою:
a n = v 2 R = ω 2 R
Доведемо ці співвідношення.
Розглянемо, як змінюється вектор v → за проміжок часу ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .
У точках А і вектор швидкості спрямований по дотичній до кола, при цьому модулі швидкостей в обох точках однакові.
За визначенням прискорення:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Поглянемо на малюнок:
Трикутники OAB та BCD подібні. З цього випливає, що O A A B = B C C D .
Якщо значення кута ∆ φ мало, відстань A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Зважаючи на те, що O A = R і C D = ∆ v для розглянутих вище подібних трикутників отримаємо:
R v ∆ t = v ∆ v або ∆ v ∆ t = v 2 R
При ∆ φ → 0 , напрямок вектора ∆ v → = v B → - v A → наближається до напрямку до центру кола. Приймаючи, що ∆ t → 0 отримуємо:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0; a n → = v 2 R .
При рівномірному русі по колу модуль прискорення залишається незмінним, а напрямок вектора змінюється з часом, зберігаючи орієнтацію на центр кола. Саме тому це прискорення називається доцентровим: вектор у будь-який момент часу спрямований до центру кола.
Запис доцентрового прискорення у векторній формі виглядає наступним чином:
a n → = - ω 2 R → .
Тут R → - радіус векторної точки на колі з початком в її центрі.
У загальному випадку прискорення при русі по колу складається з двох компонентів - нормальне та тангенціальне.
Розглянемо випадок, коли тіло рухається по колу нерівномірно. Введемо поняття тангенціального (дотикового) прискорення. Його напрямок збігається з напрямком лінійної швидкості тіла і в кожній точці кола спрямовано по дотичній до неї.
a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0
Тут ∆ v τ = v 2 – v 1 – зміна модуля швидкості за проміжок ∆ t
Напрямок повного прискорення визначається векторною сумою нормального та тангенціального прискорень.
Рух по колу у площині можна описувати за допомогою двох координат: x та y. У кожний момент часу швидкість тіла можна розкласти на складові v x і v y.
Якщо рух рівномірний, величини v x і v y а також відповідні координати будуть змінюватися в часі за гармонічним законом із періодом T = 2 π R v = 2 π ω
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Завантаження...
