числами у тригонометричній формі.
Формула Муавра
Нехай z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) і z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2).
Тригонометричну форму запису комплексного числа зручно використовувати для виконання дій множення, розподілу, зведення в цілий ступінь та вилучення кореня ступеня n.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
При множенні двох комплексних чиселу тригонометричній формі їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. При розподіліїх модулі діляться, а аргументи віднімаються.
Наслідком правила множення комплексного числа є правило зведення комплексного числа на ступінь.
z = r(cos + i sin ).
z n = r n (cos n + isin n).
Це співвідношення називається формулою Муавра.
Приклад 8.1 Знайти твір та приватне чисел:
і 
Рішення
z 1 ∙z 2 
∙
=
;
Приклад 8.2 Записати в тригонометричній формі число
∙
-i) 7 .
Рішення
Позначимо 
та z 2 = 
- І .
r 1 = | z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 1 = arg z 1 = arctg 
;
z 1 = 
;
r 2 = | z 2 | = √(√3) 2 + (-1) 2 = 2; 2 = arg z 2 = arctg 
;
z 2 = 2 
;
z 1 5 = ( 
) 5 
; z 2 7 = 2 7 
z = ( 
) 5 · 2 7 
=
2 9 
§ 9 Вилучення кореня з комплексного числа
Визначення. Коренемn-й ступеня з комплексного числа z (позначають 
) називається комплексне число w таке, що w n = z. Якщо z = 0, то 
= 0.
Нехай z 0, z = r(cos + isin). Позначимо w = (cos + sin), тоді рівняння w n = z запишемо у наступному вигляді
n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
Звідси n = r,
=
Таким чином, w k = 
·
.
Серед цих значень рівно n різних.
Тому k = 0, 1, 2, …, n - 1.
На комплексній площині ці точки є вершинами правильного n-кутника, вписаного в коло радіусом. 
з центром у точці О (рис. 12).
Малюнок 12
Приклад 9.1Знайти всі значення 
.
Рішення.
Уявімо це число в тригонометричній формі. Знайдемо його модуль та аргумент.
w k = 
де k = 0, 1, 2, 3.
w 0 = 
.
w 1 = 
.
w 2 = 
.
w 3 = 
.
На комплексній площині ці точки є вершинами квадрата, вписаного в коло радіусом. 
з центром на початку координат (рисунок 13).
Малюнок 13 Малюнок 14
Приклад 9.2Знайти всі значення 
.
Рішення.
z = - 64 = 64 (cos + isin);
w k = 
де k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0 = 
; w 1 = 
;
w 2 = 
w 3 = 
w 4 = 
; w 5 = 
.
На комплексній площині ці точки є вершинами правильного шестикутника, вписаного в коло радіусом 2 із центром у точці О (0; 0) – рисунок 14.
§ 10 Показова форма комплексного числа.
Формула Ейлера
Позначимо 
= cos + isin і 
= cos - isin . Ці співвідношення називаються формулами Ейлера .
Функція 
має звичайні властивості показової функції:
Нехай комплексне число z записане в тригонометричній формі z = r(cos + isin ).
Використовуючи формулу Ейлера, можна записати:
z = r · 
.
Цей запис називається показовою формоюкомплексного числа. Використовуючи її, отримуємо правила множення, розподілу, зведення в ступінь та вилучення кореня.
Якщо z 1 = r 1 · 
і z 2 = r 2 · 
?то
z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · 
;
·
z n = r n · 
, де k = 0, 1, …, n - 1.
Приклад 10.1Записати в формі алгебри число
z = 
.
Рішення.
Приклад 10.2Розв'язати рівняння z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Рішення.
За будь-яких комплексних коефіцієнтів це рівняння має два корені z 1 і z 1 (можливо, збігаються). Це коріння може бути знайдено за тією ж формулою, що й у речовинному випадку. Так як 
приймає два значення, що відрізняються тільки знаком, то ця формула має вигляд:
Оскільки –9 = 9 · е i , то значеннями 
будуть числа:
Тоді 
і 
.
|
Приклад 10.3Розв'язати рівняння z 3+1 = 0; z 3 = -1. |
Рішення.
Шуканими корінням рівняння будуть значення 
.
Для z = -1 маємо r = 1, arg (-1) = .
w k = 
, K = 0, 1, 2.
Вправи
9 Подати у показовій формі числа:
|
б) |
г) |
+ i;
.10 Записати в показовій та алгебраїчній формах числа:
|
а) |
в) |
|
б) |
г) 7(cos0 + isin0). |
11 Записати в алгебраїчній та геометричній формах числа:
|
а) |
б) |
в) |
г) |
12 Дані числа 
Представивши їх у показовій формі, знайти 
.
13 Використовуючи показову форму комплексного числа, виконайте дії:
а) 
б) 
в) 
г) 
|
д) |
|
|
|
|
.Неможливо однозначно витягти корінь з комплексного числа, оскільки має ряд значень, рівних його ступеня.
Складні числа піднято до ступеня тригонометричної форми, для якої справедлива формула Моїварда:
\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)
Аналогічно, ця формула використовується для обчислення кореня ступеня k комплексного числа (не рівного нулю):
\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \) pi n)(k)\right), \forall k>1, \forall n \in N \)
Якщо комплексне число не дорівнює нулю, то корені ступеня k завжди існують, і їх можна уявити на комплексній площині: вони будуть вершинами k-кутника, вписаними в коло з центром на початку координат і радіус \(\r^(\frac(1)) (k)) \)
Приклади вирішення проблем
Знайти корінь третього ступеня з числа \(\z=-1).
Спочатку ми висловлюємо число \(\ z = -1 \) у тригонометричній формі. Речовинною частиною числа \(\ z=-1 \) є число \(\ z=-1 \), уявна частина дорівнює \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ z=0 \). Щоб знайти тригонометричну форму написання комплексного числа, вам потрібно знайти його модуль та аргумент.
Модуль комплексного числа - це число:
\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )
Аргумент обчислюється за такою формулою:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)
Отже, тригонометрична форма комплексного числа дорівнює: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)
Тоді корінь 3-го ступеня виглядає так:
\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2 \)
\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3)) (2) \)
При \(\n=1\) отримуємо:
\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)
При \(\n=2\) отримуємо:
\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
Щоб витягти корінь 2-го ступеня з числа \(\ z=1-\sqrt(3) i \)
Почнемо з того, що ми виражаємо комплексне число у тригонометричній формі.
Дійсно частиною комплексного числа \(\ z=1-\sqrt(3) i \) є число \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) , уявна частина \(\ y=\operatorname(Im) z =-\sqrt(3) \). Щоб знайти тригонометричну форму написання комплексного числа, вам потрібно знайти його модуль та аргумент.
Модуль комплексного числа - це число:
\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2 \)
Аргумент:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)
Отже, тригонометрична форма комплексного числа:
\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)
Застосовуючи формулу для отримання кореня 2-го ступеня, отримуємо:
\(\ z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ right)\right)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\right)^(\frac(1)(2))= \)
\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\right)\right), n=0,1 \)
При \(\\mathrm(n)=0\) отримуємо:
\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\right)\right)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
При \(\\mathrm(n)=1\) отримуємо:
\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\right)\right)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
Завантаження...
