2. Що таке периметр трикутника?
3. Які трикутники називаються рівними?
4. Що таке теорема та доказ теореми?
5. Поясніть, який відрізок називається перпендикуляром, проведеним із цієї точки до цієї прямої.
6. Який відрізок називається медіаною трикутника? Скільки медіан має трикутник?
7. Який відрізок називається бісектрисою трикутника? Скільки бісектрис має трикутник?
8. Який відрізок називається висотою трикутника? Скільки висот має трикутник?
9. Який трикутник називається рівнобедреним?
10. Як називаються сторони рівнобедреного трикутника?
11. Який трикутник називається рівностороннім?
12. Сформулюйте властивість кутів на підставі рівнобедреного трикутника.
13. Сформулюйте теорему про бісектрису рівнобедреного трикутника.
14. Сформулюйте першу ознаку рівності трикутників.
15. Сформулюйте другу ознаку рівності трикутників.
16. Сформулюйте третю ознаку рівності трикутників.
17. Дайте визначення кола.
18. Що таке центр кола?
19. Що називається радіусом кола?
20. Що називається діаметром кола?
21. Що називається хордою кола?
1. це геометрична фігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що з'єднують ці точки
2. це сума довжин всіх його сторін
3.які збігаються при накладенні
4. це твердження, справедливість якого встановлюється шляхом міркування. ці міркування і є док-ва теореми
5.це пряма, що перетинає іншу пряму під кутом 90 градусів
6.це відрізок що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. 3
7.це пряма проходить через вершину кута і ділить його навпіл. 3
8. перпендикуляр проведений з вершини до прямої, що містить протилежну сторону.
9.у якого дві сторони рівні
10.бокові
11. у якого всі сторони рівні
12. в рівнобедреному трикутнику кути при підставі рівні
13.бісектриса рівнобедреного трикутника так само може бути і висотою, і медіаною
14.якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні
15. якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні
16. якщо три сторони одного трикутника відповідно рани трьом сторонам іншого трикутника, такі трикутники рівні.
17. це геометрична фігура, що складається з точок, рівновіддалених від заданої точки
18. це точка, від якої розташовані всі точки кола
19. відрізок з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола
20. це хорда, що проходить через центр
21. це відрізок що з'єднують будь-які дві точки кола
Від Гість >>
Поясніть, яка фігура називається трикутником.
2. Що таке периметр трикутника?
3. Які трикутники називаються рівними?
4. Що таке теорема та доказ теореми?
5. Поясніть, який відрізок називається перпендикуляром, проведеним із цієї точки до цієї прямої.
6. Який відрізок називається медіаною трикутника? Скільки медіан має трикутник?
7. Який відрізок називається бісектрисою трикутника? Скільки бісектрис має трикутник?
8. Який відрізок називається висотою трикутника? Скільки висот має трикутник?
9. Який трикутник називається рівнобедреним?
10. Як називаються сторони рівнобедреного трикутника?
11. Який трикутник називається рівностороннім?
12. Сформулюйте властивість кутів на підставі рівнобедреного трикутника.
13. Сформулюйте теорему про бісектрису рівнобедреного трикутника.
14. Сформулюйте першу ознаку рівності трикутників.
15. Сформулюйте другу ознаку рівності трикутників.
16. Сформулюйте третю ознаку рівності трикутників.
17. Дайте визначення кола.
18. Що таке центр кола?
19. Що називається радіусом кола?
20. Що називається діаметром кола?
21. Що називається хордою кола?
Відповідь залишила Гість
1. це геометрична фігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що з'єднують ці точки
2. це сума довжин всіх його сторін
3.які збігаються при накладенні
4. це твердження, справедливість якого встановлюється шляхом міркування. ці міркування і є док-ва теореми
5.це пряма, що перетинає іншу пряму під кутом 90 градусів
6.це відрізок що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. 3
7.це пряма проходить через вершину кута і ділить його навпіл. 3
8. перпендикуляр проведений з вершини до прямої, що містить протилежну сторону.
9.у якого дві сторони рівні
10.бокові
11. у якого всі сторони рівні
12. в рівнобедреному трикутнику кути при підставі рівні
13.бісектриса рівнобедреного трикутника так само може бути і висотою, і медіаною
14.якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні
15. якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні
16. якщо три сторони одного трикутника відповідно рани трьом сторонам іншого трикутника, такі трикутники рівні.
17. це геометрична фігура, що складається з точок, рівновіддалених від заданої точки
18. це точка, від якої розташовані всі точки кола
19. відрізок з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола
20. це хорда, що проходить через центр
21. це відрізок що з'єднують будь-які дві точки кола
Стандартні позначення
Трикутник з вершинами A, Bі Cпозначається як (див. мал.). Трикутник має три сторони:
Довжини сторін трикутника позначаються малими латинськими літерами (a, b, c):
Трикутник має такі кути:
Величини кутів за відповідних вершин традиційно позначаються грецькими літерами (α, β, γ).
Ознаки рівності трикутників
Трикутник на евклідовій площині однозначно (з точністю до конгруентності) можна визначити за наступними трійками основних елементів:
- a, b, γ (рівність з двох сторін і куту, що лежить між ними);
- a, β, γ (рівність по стороні та двом прилеглим кутам);
- a, b, c (рівність по трьох сторонах).
Ознаки рівності прямокутних трикутників:
- з катету та гіпотенузи;
- за двома катетами;
- по катету та гострому кутку;
- з гіпотенузи та гострого кута.
Деякі точки у трикутнику – «парні». Наприклад, існує дві точки, з яких всі сторони видно або під кутом 60°, або під кутом 120°. Вони називаються точками Торрічеллі. Існує також дві точки, проекції яких на сторони лежать у вершинах правильного трикутника. Це - точки Аполлонія. Крапки і такі, що називаються точками Брокара.
Прямі
У будь-якому трикутнику центр тяжіння, ортоцентр і центр описаного кола лежать на одному прямому, званому прямий Ейлера .
Пряма, що проходить через центр описаного кола та точку Лемуана, називається віссю Брокара. На ній лежать точки Аполлонія. Також на одній прямій лежать точки Торрічеллі та точка Лемуана. Основи зовнішніх бісектрис кутів трикутника лежать на одній прямій, званій віссю зовнішніх бісектрис. На одній прямій також лежать точки перетину прямих, що містять сторони ортотрикутника, з прямими, що містять сторони трикутника. Ця пряма називається ортоцентричною віссю, вона перпендикулярна до прямої Ейлера.
Якщо на описаному колі трикутника взяти крапку, то її проекції на сторони трикутника лежатимуть на одній прямій, званій прямий Сімсона цієї точки. Прямі Сімсона діаметрально протилежних точок перпендикулярні.
Трикутники
- Трикутник з вершинами в підставах чевіан, проведених через цю точку, називається чевіанним трикутникомцієї точки.
- Трикутник з вершинами в проекціях цієї точки на сторони називається подернимабо педальним трикутникомцієї точки.
- Трикутник у вершинах у других точках перетину прямих, проведених через вершини і дану точку, з описаним колом, називають окружно-чевіанним трикутником. Окружно-чевіанний трикутник подібний до подерного.
Кола
- Вписане коло - коло, що стосується всіх трьох сторін трикутника. Вона єдина. Центр вписаного кола називається інцентром .
- Описане коло - Коло, що проходить через всі три вершини трикутника. Описане коло також єдине.
- Не вписане коло - коло, що стосується однієї сторони трикутника та продовження двох інших сторін. Таких кіл у трикутнику три. Їх радикальний центр- центр вписаного кола серединного трикутника, званий точкою Шпікера.
Середини трьох сторін трикутника, основи трьох його висот і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, лежать на одному колі, що називається коло дев'яти точок або коло Ейлера. Центр кола дев'яти точок лежить на прямій Ейлера. Окружність дев'яти точок стосується вписаного кола і трьох вписаних. Крапка торкання вписаного кола та кола дев'яти точок називається точкою Фейєрбаха. Якщо від кожної вершини відкласти назовні трикутника на прямі, що містять сторони, ортезки, рівні по довжині протилежним сторонам, то шість точок, що вийшли, лежать на одному колі - кола Конвею. У будь-який трикутник можна вписати три кола таким чином, що кожна з них стосується двох сторін трикутника та двох інших кіл. Такі кола називаються коло Мальфатті. Центри описаних кіл шести трикутників, на які трикутник розбивається медіанами, лежать на одному колі, яке називається коло Ламуна.
У трикутнику є три кола, які стосуються двох сторін трикутника та описаного кола. Такі кола називають напіввписанимиабо коло Верр'єра. Відрізки, що з'єднують точки дотику кіл Верр'єра з описаним колом, перетинаються в одній точці, званій точкою Верр'єра. Вона служить центром гомотетії, яка переводить описане коло у вписане. Точки торкання кіл Верр'єра зі сторонами лежать на прямій, яка проходить через центр вписаного кола.
Відрізки, що з'єднують точки торкання вписаного кола з вершинами, перетинаються в одній точці, що називається точкою Жергона , а відрізки, що з'єднують вершини з точками дотику до вписаних кіл - в точці Нагеля .
Еліпси, параболи та гіперболи
Вписана коніка (еліпс) та її перспектор
У трикутник можна вписати нескінченно багато коник ( еліпсів , параболабо гіпербол). Якщо в трикутник вписати довільну коніку і з'єднати точки торкання з протилежними вершинами, то прямі, що вийшли, перетнуться в одній точці, званій перспективоюконики. Для будь-якої точки площини, що не лежить на боці або її продовженні існує вписана коніка з перспективою в цій точці.
Описаний еліпс Штейнера та чевіани, що проходять через його фокуси
У трикутник можна вписати еліпс, що стосується сторін у серединах. Такий еліпс називається вписаним еліпсом Штейнера(його перспективою буде центроїд трикутника). Описаний еліпс, що стосується прямих, що проходять через вершини паралельно сторонам, називається описаним еліпсом Штейнера. Якщо афінним перетворенням(«перекосом») перевести трикутник у правильний, то його вписаний та описаний еліпс Штейнера перейдуть у вписане та описане коло. Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнер (точки Скутіна), рівні (теорема Скутіна). З усіх описаних еліпсів описаний еліпс Штейнера має найменшу площу, а з усіх вписаних найбільшу площу має вписаний еліпс Штейнера.
Елліпс Брокара та його перспектор - точка Лемуана
Еліпс з фокусами у точках Брокара називається еліпсом Брокара. Його перспективою служить точка Лемуана.
Властивості вписаної параболи
Парабола Кіперта
Перспектори вписаних параболів лежать на описаному еліпсі Штейнера. Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр. Парабола, вписана в трикутник, що має директрису пряму Ейлера, називається параболою Кіперта. Її перспектор - четверта точка перетину описаного кола та описаного еліпса Штейнера, звана точкою Штейнера.
Гіпербола Кіперта
Якщо описана гіпербола проходить через точку перетину висот, вона рівностороння (тобто її асимптоти перпендикулярні). Точка перетину асимптот рівносторонньої гіперболи лежить на колі дев'яти точок.
Перетворення
Якщо прямі, що проходять через вершини та деяку точку, що не лежить на сторонах та їх продовженнях, відобразити щодо відповідних бісектрис, то їх образи також перетнуться в одній точці, яка називається ізогонально пов'язаної вихідної (якщо точка лежала на описаному колі, то прямі будуть паралельні). Ізгонально пов'язаними є багато пар чудових точок: центр описаного кола та ортоцентр, центроїд та точка Лемуана, точки Брокара. Крапки Аполлонія вигнано пов'язані точкам Торрічеллі, а центр вписаного кола вигнано пов'язаний сам собі. Під дією ізогонального сполучення прямі переходять у описані кузнечики, а описані кузнечики - у прямі. Так, ізогонально пов'язані гіпербола Кіперта та вісь Брокара, гіпербола Енжабека та пряма Ейлера, гіпербола Фейєрбаха та лінія центрів вписаної про описані кола. Описані кола подерних трикутників ізгонально сполучених точок збігаються. Фокуси вписаних еліпсів ізгонально пов'язані.
Якщо замість симетричної чевіани брати чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа вихідної, такі чевіани також перетнуться в одній точці. Перетворення, що вийшло, називається ізотомічним поєднанням. Воно також переводить прямі в описані коніки. Ізотомічно пов'язані точки Жергона та Нагеля. При афінних перетвореннях ізотомічно сполучені точки переходять в ізотомічно сполучені. При ізотомічному поєднанні в нескінченно віддалену пряму перейде описаний еліпс Штейнера.
Якщо сегменти, що відсікаються сторонами трикутника від описаного кола, вписати кола, що стосуються сторін в підставах чевіан, проведених через деяку точку, а потім з'єднати точки торкання цих кіл з описаним колом з протилежними вершинами, то такі прямі перетинаються в одній точці. Перетворення площини, що співставляє вихідній точці, що називається, називається ізоциркулярним перетворенням. Композиція ізогонального та ізотомічного сполучення є композицією ізоциркулярного перетворення з самим собою. Ця композиція - проективне перетворення, яке сторони трикутника залишає на місці, а вісь зовнішніх бісектрис переводить у нескінченно віддалену пряму.
Якщо продовжити сторони чевіанного трикутника деякої точки та взяти їх точки перетину з відповідними сторонами, то отримані точки перетину лежатимуть на одній прямій, званій трилінійною поляроювихідної точки. Ортоцентрична вісь – трилінійна поляра ортоцентру; Трилінійною полярою центру вписаного кола служить вісь зовнішніх бісектрис. Трилінійні поляри точок, що лежать на описаній коніці, перетинаються в одній точці (для описаного кола це точка Лемуана, для описаного еліпса Штейнер - центроїд). Композиція ізогонального (або ізотомічного) сполучення і трилінійної поляри є перетворенням двоїстості (якщо точка, ізогонально (ізотомічно) сполучена точці , лежить на трилінійній полярі точки , то трилінійна поляра точки, ізогонально (ізотомічно) спряженої точки).
Кубики
Співвідношення у трикутнику
Примітка:у цьому розділі , , - це довжини трьох сторін трикутника, і , , - це кути, що лежать відповідно напроти цих трьох сторін (протилежні кути).
Нерівність трикутника
У невиродженому трикутнику сума довжин двох його сторін більша за довжину третьої сторони, у виродженому - дорівнює. Інакше висловлюючись, довжини сторін трикутника пов'язані наступними нерівностями:
Нерівність трикутника є однією з аксіом метрики.
Теорема про суму кутів трикутника
Теорема синусів
,де R - радіус кола, описаного навколо трикутника. З теореми випливає, що якщо a< b < c, то α < β < γ.
Теорема косінусів
Теорема тангенсів
Інші співвідношення
Метричні співвідношення в трикутнику наведені для:
Рішення трикутників
Обчислення невідомих сторін та кутів трикутника, виходячи з відомих, історично отримало назву «вирішення трикутників». При цьому використовуються наведені вище загальні тригонометричні теореми.
Площа трикутника
Частини випадків ПозначенняДля площі справедливі нерівності:
Обчислення площі трикутника у просторі за допомогою векторів
Нехай вершини трикутника перебувають у точках , , .
Введемо вектор площі. Довжина цього вектора дорівнює площі трикутника, а спрямований по нормалі до площини трикутника:
Покладемо , де , - проекції трикутника на координатні площини. При цьому
та аналогічно
Площа трикутника дорівнює.
Альтернативою є обчислення довжин сторін (за теоремі Піфагора) і далі по формулі Герона.
Теореми про трикутники
Історія вивчення
Властивості трикутника, що вивчаються в школі, за рідкісними винятками, відомі з античності.
Подальше вивчення трикутника почалося в XVII столітті: була доведена
Завантаження...
