3.1. Основні поняття систем числення
3.2. Види систем числення
3.3. Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої
3.4. Ілюстрований допоміжний матеріал
3.5. Тестування
3.6. Контрольні питання
Різні народи за різних часів використовували різні системи числення. Сліди стародавніх систем рахунки зустрічаються і сьогодні у культурі багатьох народів. До стародавнього Вавилона піднімається поділ години на 60 хвилин і кута на 360 градусів. До Стародавнього Риму - традиція записувати в римському записі числа I, II, III і т. д. До англосаксів - рахунок дюжинами: у році 12 місяців, у футі 12 дюймів, доба поділяється на 2 періоди по 12 годин.
За сучасними даними, розвинені системи нумерації вперше з'явилися у Стародавньому Єгипті. Для запису чисел єгиптяни застосовували ієрогліфи один, десять, сто, тисяча тощо. Всі інші числа записувалися за допомогою цих ієрогліфів та операції складання. Недоліки цієї системи – неможливість запису великих чисел та громіздкість.
Зрештою, найпопулярнішою системою числення виявилася десяткова система. Десятична система числення прийшла з Індії, де вона з'явилася не пізніше VI ст. н. е. У ній всього 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, але інформацію несе не лише цифра, а й місце позиція, на якій вона стоїть. Серед 444 три однакові цифри позначають кількість і одиниць, і десятків, і сотень. А ось в числі 400 перша цифра позначає число сотень, два 0 власними силами внесок у число не дають, а потрібні лише для вказівки позиції цифри 4.
3.1. Основні поняття систем числення
Система зчислення- це сукупність правил та прийомів запису чисел за допомогою набору цифрових знаків. Кількість цифр, необхідних для запису числа в системі, називають основою системи числення. Основа системи записується в праворуч числа в нижньому індексі: ;; і т.д.
Розрізняють два типи систем числення:
позиційніколи значення кожної цифри числа визначається її позицією в записі числа;
непозиційні, коли значення цифри в числі не залежить від місця в записі числа.
Прикладом непозиційної системи числення є римська: числа IX, IV, XV тощо.
Прикладом позиційної системи числення є десяткова система, що використовується повсякденно.
Будь-яке ціле число у позиційній системі можна записати у формі багаточлена:
де S - основа системи числення;
Цифри числа, записаного у цій системі числення;
n – кількість розрядів числа.
приклад.Число запишеться у формі багаточлена таким чином :
3.2. Види систем числення
Римська система численняє непозиційною системою. У ньому для запису чисел використовуються літери латинського алфавіту. При цьому буква I завжди означає одиницю, буква – V п'ять, X – десять, L – п'ятдесят, C – сто, D – п'ятсот, M – тисячу і т.д. Наприклад, число 264 записується як CCLXIV. При запису чисел у римській системі числення значенням числа є алгебраїчна сума цифр, що до нього входять. При цьому цифри в записі числа слідують, як правило, в порядку зменшення їх значень, і не дозволяється записувати близько трьох однакових цифр. У тому випадку, коли за цифрою з великим значенням слідує цифра з меншим, її внесок у значення числа в цілому є негативним. Типові приклади, що ілюструють загальні правила запису чисел в римській системі числення, наведені в таблиці.
Таблиця 2. Запис чисел у римській системі числення
Недоліком римської системи є відсутність формальних правил запису чисел і, відповідно, арифметичних дій із багатозначними числами. Через незручність і велику складність в даний час римська система числення використовується там, де це дійсно зручно: в літературі (нумерація розділів), в оформленні документів (серія паспорта, цінних паперів та ін), в декоративних цілях на циферблаті годинника і в ряді інших випадків.
Десятична система числення– в даний час найбільш відома та використовується. Винахід десяткової системи числення відноситься до головних здобутків людської думки. Без неї навряд чи могла існувати, тим більше виникнути сучасна техніка. Причина, через яку десяткова система числення стала загальноприйнятою, зовсім не математична. Люди звикли рахувати в десятковій системі числення, бо мають по 10 пальців на руках.
Стародавнє зображення десяткових цифр (рис. 1) невипадково: кожна цифра позначає число за кількістю кутів у ній. Наприклад, 0 – кутів немає, 1 – один кут, 2 – два кути і т.д. Написання десяткових цифр зазнало суттєвих змін. Форма, якою ми користуємося, встановилася у XVI столітті.
Десятична система вперше з'явилася в Індії приблизно у VI столітті нової ери. Індійська нумерація використовувала дев'ять числових символів та нуль для позначення порожньої позиції. У ранніх індійських рукописах, що дійшли до нас, числа записувалися у зворотному порядку - найбільш значуща цифра ставилася праворуч. Але незабаром стало правилом розташовувати таку цифру з лівого боку. Особливого значення надавалося нульовому символу, який вводився для позиційної системи позначень. Індійська нумерація, включаючи нуль, дійшла до нашого часу. У Європі індуські прийоми десяткової арифметики набули поширення на початку ХIII ст. завдяки роботам італійського математика Леонардо Пізанського (Фібоначчі). Європейці запозичували індійську систему числення в арабів, назвавши її арабською. Ця історично неправильна назва утримується й досі.
Десяткова система використовує десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 та 9, а також символи “+” та “–” для позначення знака числа та кому або точку для поділу цілої та дробової частин числа.
У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, її підстава - число 2. Для запису чисел у цій системі використовують лише дві цифри - 0 і 1. Всупереч поширеній помилці, двійкова система числення була придумана не інженерами-конструкторами ЕОМ, а математиками та філософами задовго до появи комп'ютерів, ще у ХVII - ХІХ століттях. Перше опубліковане обговорення двійкової системи числення належить іспанському священику Хуану Карамюелю Лобковіцу (1670). Загальну увагу до цієї системи привернула стаття німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца, опублікована в 1703 р. У ній пояснювалися двійкові операції складання, віднімання, множення та поділу. Лейбніц не рекомендував використовувати цю систему для практичних обчислень, але наголошував на її важливості для теоретичних досліджень. Згодом двійкова система числення стає добре відомою і набуває розвитку.
Вибір двійкової системи до застосування в обчислювальної техніки пояснюється лише тим, що електронні елементи - тригери, у тому числі складаються мікросхеми ЕОМ, можуть бути лише у двох робочих станах.
За допомогою двійкової системи кодування можна зафіксувати будь-які дані та знання. Це легко зрозуміти, якщо згадати принцип кодування та передачі інформації за допомогою азбуки Морзе. Телеграфіст, використовуючи лише два символи цієї азбуки – крапки та тире, може передати практично будь-який текст.
Двійкова система зручна для комп'ютера, але незручна для людини: числа виходять довгими та їх важко записувати та запам'ятовувати. Звичайно, можна перевести число в десяткову систему і записувати в такому вигляді, а потім, коли потрібно перевести назад, але всі ці переклади трудомісткі. Тому застосовуються системи числення, споріднені з двоичною - вісімкова та шістнадцяткова. Для запису чисел у цих системах потрібно відповідно 8 та 16 цифр. У 16-терічній перші 10 цифр загальні, а далі використовують великі латинські літери. Шістнадцяткова цифра A відповідає десятковому числу 10, шістнадцяткова B – десятковому числу 11 і т. д. Використання цих систем пояснюється тим, що перехід до запису числа в будь-якій із цих систем від його двійкового запису дуже простий. Нижче наведено таблицю відповідності чисел, записаних у різних системах.
Таблиця 3. Відповідність чисел, записаних у різних системах числення
|
Десяткова |
Двійкова |
Восьмирічна |
Шістнадцяткова |
Вивчаючи кодування, я зрозумів, що недостатньо добре розумію системи обчислень. Проте часто використовував 2-, 8-, 10-, 16-ю системи, перекладав одну в іншу, але робилося все на “автоматі”. Прочитавши безліч публікацій, я був здивований відсутністю єдиної, написаної простою мовою статті за таким базовим матеріалом. Саме тому вирішив написати свою, в якій постарався доступно та по порядку викласти основи систем числення.
Вступ
Система зчислення- це спосіб запису (подання) чисел.Що під цим мається на увазі? Наприклад, ви бачите перед собою кілька дерев. Ваше завдання – їх порахувати. Для цього можна - загинати пальці, робити зарубки на камені (одне дерево - один палець\зарубка) або зіставити 10 дерев якийсь предмет, наприклад, камінь, а одиничному екземпляру - паличку і викладати їх на землю в міру підрахунку. У першому випадку число представляється, як рядок із загнутих пальців або зарубок, у другому – композиція каменів та паличок, де ліворуч – каміння, а праворуч – палички
Системи числення поділяються на позиційні та непозиційні, а позиційні, у свою чергу, - на однорідні та змішані.
Непозиційна- найдавніша, у ній кожна цифра числа має величину, яка залежить від її позиції (розряду). Тобто, якщо у вас 5 рисок - то число теж дорівнює 5, оскільки кожній рисці, незалежно від її місця в рядку, відповідає всього один предмет.
Позиційна система- Значення кожної цифри залежить від її позиції (розряду) в числі. Наприклад, звична для нас 10-та система числення – позиційна. Розглянемо число 453. Цифра 4 позначає кількість сотень і відповідає числу 400, 5 - у десяток і аналогічно до значення 50, а 3 - одиниць і значення 3. Як бачимо - чим більше розряд - тим значення вище. Підсумкове число можна уявити, як суму 400+50+3=453.
Однорідна система- Для всіх розрядів (позицій) числа набір допустимих символів (цифр) однаковий. Як приклад візьмемо згадувану раніше 10 систему. При записі числа в однорідній 10-й системі ви можете використовувати в кожному розряді виключно одну цифру від 0 до 9, таким чином допускається число 450 (1-й розряд - 0, 2-й - 5, 3-й - 4), а 4F5 – ні, оскільки символ F не входить у набір цифр від 0 до 9.
Змішана система- у кожному розряді (позиції) числа набір допустимих символів (цифр) може відрізнятись від наборів інших розрядів. Яскравий приклад – система вимірювання часу. У розряді секунд і хвилин можливо 60 різних символів (від "00" до "59"), у розряді годин - 24 різних символи (від "00" до "23"), у розряді доби - 365 і т.д.
Непозиційні системи
Як тільки люди навчилися рахувати – виникла потреба запису чисел. Спочатку все було просто - зарубка або рисочка на якійсь поверхні відповідала одному предмету, наприклад, одному фрукту. Так з'явилася перша система числення – поодинока.Одинична система числення
Число в цій системі числення є рядком з рисок (паличок), кількість яких дорівнює значенню даного числа. Таким чином, урожай зі 100 фініків дорівнюватиме числу, що складається зі 100 рис.Але ця система має явні незручності - чим більше число - тим довший рядок з паличок. Крім цього, можна легко помилитися під час запису числа, додавши випадково зайву паличку або, навпаки, не дописавши.
Для зручності люди стали групувати палички по 3, 5, 10 штук. При цьому кожній групі відповідав певний знак чи предмет. Спочатку для підрахунку використовувалися пальці рук, тому перші знаки з'явилися для груп із 5 і 10 штук (одиниць). Усе це дозволило створити зручніші системи запису чисел.
Давньоєгипетська десяткова система
У Стародавньому Єгипті використовувалися спеціальні символи (цифри) для позначення чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Ось деякі з них:Чому вона називається десятковою? Як писалося вище – люди стали групувати символи. У Єгипті - вибрали угруповання по 10, залишивши без змін цифру "1". У цьому випадку число 10 називається підставою десяткової системи числення, а кожен символ - представлення числа 10 певною мірою.
Числа в давньоєгипетській системі числення записувалися, як комбінація цих
символів, кожен із яких повторювався трохи більше дев'яти раз. Підсумкове значення дорівнювало сумі елементів числа. Варто зазначити, що такий спосіб одержання значення притаманний кожній непозиційній системі числення. Прикладом може бути число 345:
Вавилонська шістдесяткова система
На відміну від єгипетської, у вавілонській системі використовувалося всього 2 символи: "прямий" клин - для позначення одиниць і "лежачий" - для десятків. Щоб визначити значення числа, необхідно зображення числа розбити на розряди праворуч наліво. Новий розряд починається з появи прямого клину після лежачого. Як приклад візьмемо число 32:
Число 60 і його ступеня як і позначаються прямим клином, як і “1”. Тому вавилонська система числення отримала назву шестидесятирічної.
Усі числа від 1 до 59 вавилоняни записували в десятковій непозиційній системі, а великі значення - у позиційній з основою 60. Число 92:
Запис числа був неоднозначним, оскільки не існувало цифри, що позначає нуль. Подання числа 92 могло позначати як 92=60+32, а й, наприклад, 3632=3600+32. Для визначення абсолютного значення числа було введено спеціальний символ для позначення пропущеного шестидесятникового розряду, що відповідає появі цифри 0 запису десяткового числа:
Тепер число 3632 слід записувати як:
Шістдесяткова вавилонська система - перша система числення, частково заснована на позиційному принципі. Дана система числення використовується і сьогодні, наприклад, при визначенні часу – година складається з 60 хвилин, а хвилина з 60 секунд.
Римська система
Римська система не дуже відрізняється від єгипетської. У ній для позначення чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 і 1000 використовуються великі латинські літери I, V, X, L, C, D і M відповідно. Число в римській системі числення - це набір цифр, що стоять поспіль.Методи визначення значення числа:
- Значення числа дорівнює сумі значень його цифр. Наприклад, число 32 у римській системі числення має вигляд XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Якщо ліворуч від більшої цифри стоїть менша, то значення дорівнює різниці між більшою та меншою цифрами. При цьому, ліва цифра може бути меншою за праву максимум на один порядок: так, перед L(50) і С(100) з «молодших» може стояти тільки X(10), перед D(500) і M(1000) - тільки C(100), перед V(5) - лише I(1); число 444 у системі обчислення буде записано у вигляді CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Значення дорівнює сумі значень груп та цифр, що не підходять під 1 та 2 пункти.
1) Слов'янська
2) Грецька (іонійська)
Позиційні системи числення
Як згадувалося вище - перші передумови появи позиційної системи виникли у стародавньому Вавилоні. В Індії система набула форми позиційної десяткової нумерації із застосуванням нуля, а в індусів цю систему чисел запозичили араби, від яких її перейняли європейці. З якихось причин, у Європі за цією системою закріпилася назва "арабська".Десяткова система числення
Це одна з найпоширеніших систем числення. Саме її ми використовуємо, коли називаємо ціну товару та вимовляємо номер автобуса. У кожному розряді (позиції) може використовуватися лише одна цифра діапазону від 0 до 9. Підставою системи є число 10.Наприклад візьмемо число 503. Якби це число було записано в непозиційної системі, його значення дорівнювало 5+0+3 = 8. Але ми - позиційна система і отже кожну цифру числа необхідно помножити основу системи, у разі число “ 10”, зведений у ступінь, що дорівнює номеру розряду. Виходить, значення дорівнює 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Щоб уникнути плутанини при одночасної роботі з декількома системами числення основа вказується як нижній індекс. Отже, 503 = 503 10 .
Крім десяткової системи, на окрему увагу заслуговують 2-, 8-, 16-а системи.
Двійкова система числення
Ця система в основному використовується в обчислювальній техніці. Чому не стали використовувати звичну нам 10-ту? Першу обчислювальну машину створив Блез Паскаль, який використовував у ній десяткову систему, яка виявилася незручною в сучасних електронних машинах, оскільки потрібно виробництво пристроїв, здатних працювати в 10 станах, що збільшувало їхню ціну та підсумкові розміри машини. Цих недоліків позбавлені елементи, що працюють у другій системі. Тим не менш, розглянута система була створена за довго до винаходу обчислювальних машин і йде "корінням" в цивілізацію Інків, де використовувалися стос - складні мотузкові сплетення і вузлики.Двійкова позиційна система числення має основу 2 і використовує для запису числа 2 символи (цифри): 0 і 1. У кожному розряді допустима лише одна цифра - або 0 або 1.
Прикладом може бути число 101. Воно аналогічне числу 5 у десятковій системі числення. Для того, щоб перевести з 2-ї до 10-ї необхідно помножити кожну цифру двійкового числа на підставу “2”, зведену у ступінь, що дорівнює розряду. Таким чином, число 1012 = 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 4 +0 +1 = 510.
Добре, для машин 2-а система числення зручніше, але ж ми часто бачимо, використовуємо на комп'ютері числа в 10-й системі. Як тоді машина визначає яку цифру вводить користувач? Як переводить число з однієї системи в іншу, адже в її розпорядженні лише 2 символи - 0 та 1?
Щоб комп'ютер міг працювати з двійковими числами (кодами), необхідно, щоб вони десь зберігалися. Для зберігання кожної окремої цифри застосовується тригер, що є електронною схемою. Він може бути в 2-х станах, один з яких відповідає нулю, інше - одиниці. Для запам'ятовування окремого числа використовується регістр – група тригерів, число яких відповідає кількості розрядів у двійковому числі. А сукупність регістрів – це оперативна пам'ять. Число, що міститься в регістрі – машинне слово. Арифметичні та логічні операції зі словами здійснює арифметико-логічний устрій (АЛУ). Для спрощення доступу до регістрів їх нумерують. Номер називається адресою регістру. Наприклад, якщо необхідно скласти 2 числа – достатньо вказати номери осередків (регістрів), у яких вони знаходяться, а не самі числа. Адреси записуються в 8- та 16-річній системах (про них буде розказано нижче), оскільки перехід від них до двійкової системи і назад здійснюється досить просто. Для перекладу з 2-ї до 8-ї число необхідно розбити на групи по 3 розряди праворуч наліво, а для переходу до 16-ої - по 4. Якщо в крайній лівій групі цифр не дістає розрядів, то вони заповнюються зліва нулями, які називаються провідними. Як приклад візьмемо число 1011002. У вісімковій - це 101100 = 548, а в шістнадцятковій - 00101100 = 2С16. Чудово, але чому на екрані ми бачимо десяткові числа та літери? При натисканні клавіші в комп'ютер передається певна послідовність електричних імпульсів, причому кожному символу відповідає своя послідовність електричних імпульсів (нулів та одиниць). Програма драйвер клавіатури та екрана звертається до кодової таблиці символів (наприклад, Unicode, що дозволяє закодувати 65536 символів), визначає який символ відповідає отриманий код і відображає його на екрані. Таким чином, тексти та числа зберігаються в пам'яті комп'ютера в двійковому коді, а програмним способом перетворюються на зображення на екрані.
Вісімкова система числення
8-ма система числення, як і двійкова, часто застосовується у цифровій техніці. Має основу 8 і використовує для запису цифри від 0 до 7.Приклад восьмеричного числа: 254. Для перекладу 10-ю систему необхідно кожен розряд вихідного числа помножити на 8 n , де n - це номер розряду. Виходить, що 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 +40 +4 = 172 10 .
Шістнадцяткова система числення
Шістнадцяткова система широко використовується в сучасних комп'ютерах, наприклад, за допомогою неї вказується колір: #FFFFFF - білий колір. Розглянута система має основу 16 і використовує для запису числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, де букви дорівнюють 10, 11, 12, 13, 14, 15 відповідно.Як приклад візьмемо число 4F5 16 . Для переведення у вісімкову систему - спочатку перетворимо шістнадцяткове число у двійкове, а потім, розбивши на групи по 3 розряди, у вісімкове. Щоб перетворити число в 2-е, необхідно кожну цифру представити у вигляді 4-х розрядного двійкового числа. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Але в 1 і 3 групах не дістає розряду, тому заповнимо кожен провідними нулями: 0100 1111 0101. Тепер необхідно розділити отримане число на групи по 3 цифри праворуч наліво: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101у помноживши кожен розряд на 2 n , де n - номер розряду: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0) (1 * 2 2 +0 * 2 1 +1 * 2 0) = 2365 8 .
Крім розглянутих позиційних систем числення, існують інші, наприклад:
1) Трійна
2) Четверична
3) Дванадцяткова
Позиційні системи поділяються на однорідні та змішані.
Однорідні позиційні системи числення
Визначення, дане на початку статті, досить повно описує однорідні системи, тому уточнення – зайве.Змішані системи числення
До вже наведеного визначення можна додати теорему: “якщо P=Q n (P,Q,n – цілі позитивні числа, у своїй P і Q - підстави), то запис будь-якого числа змішаної (P-Q)-ой системі числення тотожно збігається з записом цього числа в системі числення з підставою Q.”Спираючись на теорему, можна сформулювати правила перекладу з P-ї до Q-ї системи і навпаки:
- Для перекладу з Q-ї до P-ї, необхідно число в Q-й системі, розбити на групи по n цифр, починаючи з правої цифри, і кожну групу замінити однією цифрою в P-й системі.
- Для перекладу з P-ї в Q-ю, необхідно кожну цифру числа в P-й системі перевести в Q-ю і заповнити розряди, що відсутні, провідними нулями, за винятком лівого, так, щоб кожне число в системі з підставою Q складалося з n цифр .
Змішаними системами числення також є, наприклад:
1) Факторіальна
2) Фібоначчієва
Переведення з однієї системи числення до іншої
Іноді потрібно перетворити число з однієї системи числення на іншу, тому розглянемо способи перекладу між різними системами.Перетворення на десяткову систему числення
Є число a 1 a 2 a 3 у системі числення з основою b. Для переведення в 10-у систему необхідно кожен розряд числа помножити на b n де n - номер розряду. Таким чином, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10 .Приклад: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Перетворення з десяткової системи числення в інші
Ціла частина:- Послідовно ділимо цілу частину десяткового числа на основу системи, в яку переводимо, поки десяткове число не буде рівним нулю.
- Отримані при розподілі залишки є цифрами числа, що шукаються. Число у новій системі записують, починаючи з останнього залишку.
- Дробну частину десяткового числа множимо на основу системи, яку потрібно перекласти. Відокремлюємо цілу частину. Продовжуємо множити дробову частину на основу нової системи, доки вона стане рівною 0.
- Число в новій системі складають цілі частини результатів множення у порядку, що відповідає їх отриманню.
15 \ 8 = 1, залишок 7
1\8 = 0, залишок 1
Записавши всі залишки знизу нагору, отримуємо підсумкове число 17. Отже, 15 10 = 17 8 .
Перетворення з двійкової на вісімкову та шістнадцяткову системи
Для переведення у вісімкову - розбиваємо двійкове число на групи по 3 цифри справа наліво, а крайні розряди, що не вистачають, заповнюємо провідними нулями. Далі перетворимо кожну групу, помножуючи послідовно розряди на 2 n де n - номер розряду.Як приклад візьмемо число 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = (0 + 0+1) (0+0+1) = 11 8
Для переведення в шістнадцяткову - розбиваємо двійкове число на групи по 4 цифри праворуч наліво, потім - аналогічно до перетворення з 2-ї на 8-ю.
Перетворення з вісімкової та шістнадцяткової систем у двійкову
Переклад з вісімкової в двійкову - перетворимо кожен розряд восьмеричного числа в двійкове 3-х розрядне число розподілом на 2 (детальніше про поділ див. вище пункт "Перетворення з десяткової системи числення в інші"), недостатні крайні розряди заповнимо провідними нулями.Наприклад розглянемо число 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Переклад з 16-ої на 2-у - перетворимо кожен розряд шістнадцяткового числа в двійкове 4-х розрядне число розподілом на 2, недостатні крайні розряди заповнюємо провідними нулями.
Перетворення дробової частини будь-якої системи числення в десяткову
Перетворення здійснюється так само, як і для цілих частин, за винятком того, що цифри числа множаться на підставу в ступені "-n", де n починається від 1.
Приклад: 101,011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5), (0 + 0 ,25 + 0,125) = 5,375 10
Перетворення дробової частини двійкової системи на 8- та 16-ту
Переведення дробової частини здійснюється також, як і для цілих частин числа, за тим лише винятком, що розбивка на групи по 3 і 4 цифри йде вправо від десяткової коми, розряди, що відсутні, доповнюються нулями справа.Приклад: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 2 + 1*2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Перетворення дробової частини десяткової системи на будь-яку іншу
Для перекладу дробової частини числа інші системи числення потрібно звернути цілу частину в нуль і почати множення числа на підставу системи, в яку потрібно перевести. Якщо в результаті множення знову з'являться цілі частини, їх потрібно повторно звертати в нуль, попередньо запам'ятавши (записавши) значення цілої частини, що вийшла. Операція закінчується, коли частина повністю звернеться в нуль.Для прикладу переведемо 10,625 10 у двійкову систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записавши всі залишки зверху вниз, отримуємо 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Система зчислення– це знакова система, у якій числа записуються за певними правилами з допомогою символів деякого алфавіту, званими цифрами.
Системи числення поділяються на непозиційні та позиційні. Непозиційна система числення – система числення, у якій значення цифри залежить від її позиції у запису числа. Приклади непозиційних систем числення: унарна (одинична) система числення, римська система числення, алфавітна система числення. Унарна (одинична) система численняхарактеризується тим, що у ній для запису чисел застосовується лише одне вид знаків – паличка. Кожне число в цій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких дорівнювала числу, що позначається. НезручностіТака система числення очевидна: це громіздкість запису великих чисел, значення числа відразу не видно, щоб його отримати, потрібно порахувати палички. В римській системі численнядля позначення чисел використовуються великі латинські літери, що є «цифрами» цієї системи числення:
Число в римській системі числення позначається набором «цифр», що стоять підряд. Число 1974: MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4
Позиційні системи числення характеризується тим, що кількісне значення цифри залежить від її позиції у числі. Кожна позиційна система числення має певний алфавіт цифр та підставу, рівну кількості цифр (знаків у її алфавіті). Найбільш поширеними позиційними системами числення є десяткова, двійкова, вісімкова та шістнадцяткова. Десяткова система числення має алфавіт із десяти цифр: 0, 1, …, 9. Двійкова система числення має алфавіт із двох цифр: 0, 1.
Подання різних типів даних у двійковій системі числення
Для автоматизації роботи з даними, що відносяться до різних типів, дуже важливо уніфікувати їхню форму подання - для цього зазвичай використовується прийом кодування,тобто вираз даних одного типу через дані іншого типу. Природні людські мови -це не що інше, як системи кодування понять для вираження думок у вигляді мови. Система двійкового кодуваннязаснована на поданні даних послідовністю всього двох знаків: 0 та 1. Ці знаки називаються двійковими цифрами.Одним бітом можуть бути виражені два поняття: 0 або 1 (такабо ні, чорнеабо біле, істинаабо брехняі т.п.). Кодування цілих та дійсних чиселЦілі числа кодуються двійковим кодом досить просто - достатньо взяти ціле число і ділити його навпіл до тих пір, поки приватне не буде одно одиниці. Сукупність залишків від кожного поділу, записана справа наліво разом із останнім приватним, і утворює двійковий аналог десяткового числа.
11.2 Види.
Системне ПЗ програми загального користування не пов'язані з конкретним застосуванням ПК і виконують традиційні функції: планування та управління завданнями, управління введенням-виводом і т.д. Іншими словами, системні програми виконують різні допоміжні функції, наприклад створення копій використовуваної інформації, видачу довідкової інформації про комп'ютер, перевірку працездатності пристроїв комп'ютера і т.п.
До системного ПЗ належать:
операційні системи (ця програма завантажується в ОЗУ під час увімкнення комп'ютера)
програми – оболонки (забезпечують зручніший та наочний спосіб спілкування з комп'ютером, ніж за допомогою командного рядка DOS, наприклад, Norton Commander)
операційні оболонки - інтерфейсні системи, що використовуються для створення графічних інтерфейсів, мультипрограмування і.т.
Драйвери (програми, призначені для управління портами периферійних пристроїв, зазвичай завантажуються в оперативну пам'ять під час запуску комп'ютера)
утиліти (допоміжні або службові програми, які надають користувачеві низку додаткових послуг).
Прикладне ПЗ. Прикладні програми можуть використовуватись автономно або у складі програмних комплексів або пакетів. Прикладне ПЗ - програми, що безпосередньо забезпечують виконання необхідних робіт на ПК: редагування текстових документів, створення малюнків або картинок, створення електронних таблиць і т.д. Пакети прикладних програм - це система програм, які по сфері застосування діляться на проблемно - орієнтовані, пакети загального призначення та інтегровані пакети. Сучасні інтегровані пакети містять до п'яти функціональних компонентів: тестовий та табличний процесор, СУБД, графічний редактор, телекомунікаційні засоби.
До прикладного ПЗ, наприклад, відносяться:
Комплект офісних програм MS OFFICE
Бухгалтерські системи
Фінансові аналітичні системи
Інтегровані пакети діловодства
CAD – системи (системи автоматизованого проектування)
Редактори HTML або Web - редактори
Браузери – засоби перегляду Web-сторінок
Графічні редактори
Експертні системи
Інструментальне ПЗ або системи програмування – це системи для автоматизації розробки нових програм мовою програмування.
У загальному випадку для створення програми обраною мовою програмування (мові системного програмування) потрібно мати такі компоненти:
1. Текстовий редактор для створення файлу із вихідним текстом програми.
2. Компілятор чи інтерпретатор. Вихідний текст за допомогою програми компілятора переводиться в проміжний об'єктний код. Вихідний текст великої програми складається з кількох модулів (файлів із вихідними текстами). Кожен модуль компілюється в окремий файл з об'єктним кодом, який потім треба об'єднати в одне ціле.
3. Редактор зв'язків або збирач, який виконує зв'язування об'єктних модулів і формує на виході працездатний додаток – код, що можна здійснити.
Здійсненний код – це закінчена програма, яку можна запустити на будь-якому комп'ютері, де встановлено операційну систему, на яку ця програма створювалася. Як правило, підсумковий файл має розширення.ЕХЕ або.СОМ.
4. Останнім часом набули поширення візуальні методи програмування (за допомогою мов опису сценаріїв), орієнтовані на створення Windows-програм. Цей процес автоматизований серед швидкого проектування. При цьому використовуються готові візуальні компоненти, які настроюються за допомогою спеціальних редакторів.
Найбільш популярні редактори (системи програмування програм із використанням візуальних засобів) візуального проектування:
Borland Delphi - призначений для вирішення практично будь-яких задач прикладного програмування
Borland C++ Builder – це чудовий засіб для розробки DOS та Windows додатків
Microsoft Visual Basic – це найпопулярніший інструмент для створення Windows-програм
Майяська
Егейська
Символи КППУ
Історія
Винахід позиційної нумерації, заснованої на помісному значенні цифр, приписується шумерам та вавилонянам. У пізніший період така нумерація була розвинена індусами і мала неоціненні наслідки в історії цивілізації. До таких систем відноситься десяткова система числення, виникнення якої пов'язане з рахунком на пальцях. У середньовічній Європі вона виникла через італійських купців, своєю чергою запозичували в арабів.
Визначення
Позиційна система числення визначається цілим числом b > 1 (\displaystyle b>1)званим основоюсистеми числення. Система числення з основою b (\displaystyle b)також називається b (\displaystyle b)-Особистої(зокрема, двійковій, троїчної, десятковийі т.п.).
x = ∑ k = 0 n − 1 a k b k (\displaystyle x=\sum _(k=0)^(n-1)a_(k)b^(k)), де a k (\displaystyle \ a_(k))- це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівності 0 ≤ a k ≤ b − 1. (\displaystyle 0\leq a_(k)\leq b-1.) x = a n − 1 a n − 2 … a 0 . (\displaystyle x=a_(n-1)a_(n-2)\dots a_(0).)У ненульових числах x (\displaystyle \ x)Початкові нулі зазвичай опускаються.
Для запису чисел у системах числення з основою до 36 включно як цифри (знаки) використовуються арабські цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) і, потім, літери латинського алфавіту (a , b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z ). При цьому a = 10, b = 11 і т.д., іноді x = 10.
При одночасної роботі з декількома системами числення для їхнього розрізнення основа системи зазвичай вказується у вигляді нижнього індексу, який записується в десятковій системі:
123 10 (\displaystyle 123_(10))- Це число 123 у десятковій системі числення; 173 8 (\displaystyle 173_(8))- Те ж число у восьмеричній системі числення; 1111011 2 (\displaystyle 1111011_(2))- Те саме число, але в двійковій системі числення; 0001 0010 0011 10 = 000100100011 B C D (\displaystyle 0001\ 0010\ 0011_(10)=000100100011_(BCD))- те саме число, але в десятковій системі числення з двійковим кодуванням десяткових цифр (BCD); 11120 3 N (\displaystyle 11120_(3N))- Те саме число, але в несиметричній троїчній системі числення; 1 i i i i 0 3 S = 177770 3 S = 122220 3 S = + − − − − 0 3 S (\displaystyle 1iiii0_(3S)=177770_(3S)=122220_(3S)=+----0_(3S)- Те саме число, але в симетричній троїчній системі числення знаки «i», «7», «2» і «-» позначають «-1», знаки «1» і «+» позначають «+1».У деяких спеціальних областях застосовуються спеціальні правила вказівки основи. Наприклад, у програмуванні шістнадцяткова система позначається:
- в асемблері та записах загального роду, не прив'язаних до конкретної мови, літерою h (від h exadecimal) наприкінці числа (синтаксис Intel);
- у Паскалі знайомий «$» на початку числа;
- в Сі та багатьох інших мовах комбінацією 0x або 0X (від he x adecimal) на початку.
У деяких діалектах мови Сі за аналогією з 0x використовується префікс 0b для позначення двійкових чисел (позначення 0b не входить до стандарту ANSI C).
((… (a n − 1 ⋅ b + a n − 2) ⋅ b + a n − 3) …) ⋅ b + a 0 . (\displaystyle ((\ldots (a_(n-1)\cdot b+a_(n-2))\cdot b+a_(n-3))\ldots)\cdot b+a_(0).)Наприклад:
101100 2 = = 1 · 2 5 + 0 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 0 · 2 0 = = 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 = = 32 + 8 + 4 + 0 = 44 10
Переклад із десяткової системи числення
Ціла частина- Послідовно ділити цілу частину десяткового числа на підставу, поки десяткове число не буде рівним нулю.
- Отримані при розподілі залишки є цифрами потрібного числа. Число у новій системі записують, починаючи з останнього залишку.
- Дробну частину десяткового числа множимо на основу системи, яку потрібно перекласти. Відокремлюємо цілу частину. Продовжуємо множити дробову частину на основу нової системи, доки вона стане рівною 0.
- Число в новій системі складають цілі частини результатів множення у порядку, що відповідає їх отриманню.
44 10 (\displaystyle 44_(10))переведемо в двійкову систему:
44 ділимо на 2. приватне 22, залишок 0 22 ділимо на 2. приватне 11, залишок 0 11 ділимо на 2. приватне 5, залишок 1 5 ділимо на 2. приватне 2, залишок 1 2 ділимо на 2. приватне 1, залишок 1 ділимо на 2. приватне 0, залишок 1
Частка дорівнює нулю, розподіл закінчено. Тепер записавши всі залишки знизу нагору отримаємо число 101100 2 (\displaystyle 101100_(2))
Переклад із двійкової у вісімкову та шістнадцяткову системи
Для цього типу операцій є спрощений алгоритм.
Для восьмеричной - розбиваємо число, що переводиться на кількість цифр, що дорівнює ступеню 2 (2 зводиться в той ступінь, який потрібно, щоб отримати основу системи, в яку потрібно перекласти (2³=8), в даному випадку 3, тобто тріад). Перетворимо тріади за таблицею тріад:
000 0 100 4 001 1 101 5 010 2 110 6 011 3 111 7
Для шістнадцяткової - розбиваємо число, що переводиться, на кількість цифр, що дорівнює ступеню 2 (2 зводиться в той ступінь, який потрібно, щоб отримати основу системи, в яку потрібно перекласти (2 4 =16), в даному випадку 4, тобто зошит). Перетворимо зошити по таблиці зошит:
0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E 0011 3 0111 7 10
Перетворимо 101 100 2 вісімкова - 101 100 → 54 8 шістнадцяткова - 0010 1100 → 2C 16
Переведення з вісімкової та шістнадцяткової систем у двійкову
Для цього типу операцій існує спрощений алгоритм-перекрут.
Для вісімкової - перетворимо по таблиці на триплети
0 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111
Для шістнадцяткової - перетворимо по таблиці на квартети
0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110 3 0011 7 0111 B 1
Перетворимо 54 8 → 101 100 2C 16 → 0010 1100
Переклад із двійкової системи до 8- та 16-річної
Переведення дробової частини з двійкової системи числення в системи числення з підставами 8 і 16 здійснюється так само, як і для цілих частин числа, за тим лише винятком, що розбивка на октави і зошити йде вправо від десяткової коми, розряди, що відсутні, доповнюються нулями справа. Наприклад, розглянуте вище число 1100,011 2 виглядатиме як 14,3 8 або C,6 16 .
Переведення з довільної системи числення до десяткової
Розглянемо приклад переведення двійкового числа 1100,011 2 у десяткове. Ціла частина цього числа дорівнює 12 (див. вище), а ось переведення дробової частини розглянемо докладніше:
0 , 011 = 0 ⋅ 2 − 1 + 1 ⋅ 2 − 2 + 1 ⋅ 2 − 3 = 0 + 0 , 25 + 0 , 125 = 0 , 375. (\displaystyle 0,011=0\cdot 2 +1\cdot 2^(-2)+1\cdot 2^(-3)=0+0,25+0,125=0,375.)Отже, число 1100,0112 = 12,37510.
Так само здійснюється переклад із будь-якої системи числення, тільки замість «2» ставиться основа системи.
Для зручності перекладу, цілу та дробову частини числа переводять окремо, а результат потім конкатенують.
Переведення з десяткової системи до довільної
Для перекладу дробової частини числа інші системи числення потрібно звернути цілу частину в нуль і почати множення числа, що вийшов, на основу тієї системи, в яку потрібно перевести. Якщо в результаті множення знову з'являтимуться цілі частини, їх потрібно повторно звертати в нуль, попередньо запам'ятавши (записавши) значення цілої частини, що вийшла. Операція закінчується, коли частина повністю звернеться в нуль. Нижче наводиться приклад переведення числа 103,625 10 двійкову систему числення.
Перекладаємо цілу частину за правилами, описаними вище, отримуємо 10310 = 11001112.
0,625 множимо на 2. Дробова частина 0,250. Ціла частина 1. 0,250 множимо на 2. Дробова частина 0,500. Ціла частина 0. 0,500 множимо на 2. Дробова частина 0,000. Частина 1.
Отже, зверху вниз отримуємо число 1012. Тому 103,625 10 = 1100 111,101 2
Так само здійснюється переклад у системи числення з будь-яким підставою.
Відразу треба зазначити, що цей приклад спеціально підібраний, у загальному випадку дуже рідко вдається завершити переклад дробової частини числа з десяткової системи в інші системи числення, а тому, в переважній більшості випадків, переклад можна здійснити з часткою похибки. Чим більше знаків після коми – тим точніше наближення результату перекладу до істини. У цих словах легко переконатись, якщо спробувати, наприклад, перевести в двійковий код число 0,626.
Варіації та узагальнення
Запис раціональних чисел
Симетричні системи числення
Симетричні (урівноважені, знакорозрядні) системи численнявідрізняються тим, що використовують цифри не з множини ( 0 , 1 , … , b − 1 ) (\displaystyle \(0,1,\ldots ,b-1\)), а з множини ( 0 − (b − 1 2) , 1 − (b − 1 2) , … , (b − 1) − (b − 1 2) ) (\displaystyle \left\(0-\left((\tfrac ( b-1)(2))\right),1-\left((\tfrac (b-1)(2))\right),\ldots ,(b-1)-\left((\tfrac (b -1) (2)) \ right) \ right \)). Щоб цифри були цілими, треба щоб b (\displaystyle b)було непарним. У симетричних системах числення не потрібні додаткові позначення для знака числа. Крім того, обчислення в симетричних системах зручні тим, що не потрібні особливі правила округлення - воно зводиться до простого відкидання зайвих розрядів, що різко зменшує систематичні помилки обчислень.
Найчастіше використовується симетрична трійкова система числення з цифрами ( − 1 , 0 , 1 ) (\displaystyle \(-1,0,1\)). Вона застосовується в троїчній логіці та була технічно реалізована у обчислювальній машині «Сетунь».
Негативні підстави
Існують позиційні системи з негативними основами, звані нега-позиційними :
- -2 - нега-двійкова система числення
- -3 - нега-трійна система числення
- -10 - Нега-десяткова система числення
Нецілочисленні підстави
Іноді також розглядають позиційні системи числення з нецілочисленними підставами: раціональними, ірраціональними, трансцендентними.
Прикладами таких систем числення є:
Комплексні основи
Підставами позиційних систем числення можуть бути комплексні числа. При цьому цифри в них приймають значення деякої кінцевої множини , що задовольняє умовам, які дозволяють виконувати арифметичні операції безпосередньо з уявленнями чисел в цих системах числення.
Зокрема, серед позиційних систем числення з комплексними підставами можна назвати двійкові, у яких використовуються лише дві цифри 0 і 1.
Приклади
Далі записуватимемо позиційну систему числення в наступному вигляді ⟨ ρ , A ⟩ (\displaystyle \langle \rho ,A\rangle ), де ρ (\displaystyle \rho )- основа системи числення, а A- безліч цифр. Зокрема, безліч Aможе мати вигляд:
Прикладами систем числення з комплексними основами є (надалі j- уявна одиниця):
- ⟨ ρ = j R , B R ⟩ . (\displaystyle \langle \rho =j(\sqrt(R)),B_(R)\rangle .)
- ⟨ ρ = 2 e ± j π / 2, B 2 ⟩. (\displaystyle \langle \rho =(\sqrt (2))e^(\pm j\pi /2),B_(2)\rangle .)
- ⟨ ρ = 2 e j π / 3 , ( 0 , 1 , e 2 j π / 3 , e − 2 j π / 3 ) ⟩ ; (\displaystyle \langle \rho =2e^(j\pi /3),\(0,1,e^(2j\pi /3),e^(-2j\pi /3)\)\rangle ;)
- ⟨ ρ = R , B R ⟩ , (\displaystyle \langle \rho =(\sqrt (R)),B_(R)\rangle ,)де φ = ± arccos (− β / 2 R) (\displaystyle \varphi =\pm \arccos ((-\beta /2(\sqrt (R))))), β < min { R , 2 R } {\displaystyle \beta <\min\{R,2{\sqrt {R}}\}} - ціле позитивне число, яке може набувати кілька значень при цьому R;
- ⟨ ρ = − R , A R 2 ⟩ , (\displaystyle \langle \rho =-R,A_(R)^(2)\rangle ,)де безліч A R 2 (\displaystyle A_(R)^(2))складається з комплексних чисел виду r m = m 1 + j m 2 (displaystyle, а числа α m ∈ B R . (\displaystyle \alpha _(m)\in B_(R).)Наприклад: ⟨−2, (0, 1, j, 1+j) ⟩; (\displaystyle \langle -2,\(0,1,j,1+j\)\rangle ;)
Існують позиційні та непозиційні системи числення.
У непозиційних системах численнявага цифри (тобто той внесок, який вона вносить у значення числа) не залежить від її позиціїу записі числа. Так, у римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) вага цифри Х у будь-якій позиції дорівнює просто десяти.
У позиційних системах численнявага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображають число. Наприклад, серед 757,7 перша сімка означає 7 сотень, друга - 7 одиниць, а третя - 7 десятих часток одиниці.
Сама ж запис числа 757,7 означає скорочений запис виразу
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.
Будь-яка позиційна система числення характеризується своїм основою.
За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число – два, три, чотири тощо. Отже, можливе безліч позиційних систем: двійкова, трійкова, четвіркова та ін. Запис чисел у кожній із систем числення з основою qозначає скорочений запис виразу
a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,
де a i - цифри системи числення; n і m - число цілих та дробових розрядів, відповідно. Наприклад:
Які системи числення використовують фахівці спілкування з комп'ютером?
Крім десяткової широко використовуються системи з основою, що є цілим ступенем числа 2, а саме:
двійкова(використовуються цифри 0, 1);
вісімкова(використовуються цифри 0, 1, ..., 7);
шістнадцяткова(Для перших цілих чисел від нуля до дев'яти використовуються цифри 0, 1, ..., 9, а для наступних чисел - від десяти до п'ятнадцяти - як цифри використовуються символи A, B, C, D, E, F).
Корисно запам'ятати запис у цих системах численних перших двох десятків цілих чисел:
|
|
|
З усіх систем числення особливо простаі тому цікава для технічної реалізації в комп'ютерах двійкова система числення.
Завантаження...
