Світлана Тюлякова
Дидактичні ігри з клубу «Цікава логіка»

Дидактичні ігри з клубу "Цікава логіка"

Приводом для написання цієї посади послужив мій роздум про те, що на сайті розміщено багато матеріалу, який через давність складно знайти. і коментар Ажар Тукжанової до моєї посади, в якій вона написала наступне:

Світлано, я дуже рада нашому знайомству. Ви чудова і творча людина. У вашому блогу завжди стільки цікавого. Ви підтримали мене на початку, коли мені дуже складно було орієнтуватися на сайті. Справді, новачкам завжди потрібна допомога, і Ви надаєте її, незважаючи на зайнятість. Дуже потрібний клуб Методична робота"Вами створено. І те, що Ви полегшили пошук новачкам по сайту, наприклад, у пошуку дидактичних ігор -"Дидактичні та інші ігри в блогах колег" вже з посиланнями.

Світлана, дякую за увагу та інформацію, Ваші матеріали завжди своєчасні та дуже потрібні (я думаю, що багато колег мене підтримають).

Ось і сьогодні я зайшла до одного з таких клубів, який зараз майже не діє і знайшла там трохи такої інформації. Вирішила витягнути її всім користувачів. Написавши спільну посаду з посиланнями на ігри. Не знаю чи пропустять модератори, але спробую.

У блозі МАРІЇ ЧЕРЕНКОВОЇ та її клубі «Цікава логіка» Ви знайдете чудові дидактичні ігри.

Сподіваюся і Марія не образиться на моє розміщення, тому що вважаю, що це привабить більше користувачів до її клубу і надасть йому більшого рейтингу її клубу.

ГРА «ГОРИТ – НЕ ГОРИТ», «ТОНЕ – НЕ ТОНЕ»

Дидактичні ігри "Розмірковуй".

Дидактична гра «Підбери, що підходить» до заняття з зв'язного мовлення «Три дроворуби»

Дидактична гра "Що згорить, а що ні?"

Дидактична гра «Важкий – легкий»

Дидактична гра «Підбери пару»

Ігри для тренування логічного мислення

Дидактична гра «Холодно – гаряче»

Завдання для дошкільнят розвитку логічного мислення.

***

ФГТ у роботі гуртка. Планування роботи на тему «День знань. Школа»

ФГТ у роботі гуртка. Комплексно-тематичне планування на тему «День знань. Школа»

Матеріали роботи Д/І «Четвертий зайвий»

Матеріали роботи Д/І «Закінчи пропозицію»

Матеріали роботи Д/І "Підбери пару"

***

Комплексно-тематичне планування на тему «Овочі. Город»

Планування роботи на тему «Овочі. Город»

Матеріали роботи: картки до гри «Договори фразу» на тему «Овочі. Город»

Матеріали роботи: картки до гри «Розклади правильно» на тему «Овочі. Город»

Матеріали роботи: картки до гри «Вибери потрібний овоч» на тему «Овочі. Город»

***

Комплексно-тематичне планування на тему «Фрукти. Сад»

Планування роботи на тему «Фрукти. Сад»

Матеріали роботи: картки до гри «Заповни порожні клітини» на тему «Фрукти. Сад»

Матеріали роботи: картки до гри «Закрий лише фрукти» на тему «Фрукти. Сад»

Матеріали роботи: картки до гри «Порівняй між собою» на тему «Фрукти. Сад»

Дехто з читачів, знайомих із характером колишнього викладання логіки у школі, можливо, поставить під сумнів доцільність цікавої логіки. Проте читач, мабуть, погодиться з тим, що мислити послідовно, судити доказово, спростовувати неправильні висновки має вміти кожен: фізик та поет, тракторист та хімік. Особливо в наш час, що постійно приносить безліч незвичайних та дивовижних відкриттів та винаходів у різноманітних галузях: у географії, політиці, у суспільному житті.

Автоматичний сортувальник палива.
На склад, що має два приміщення для зберігання великих кількостей двох видів палива - вугілля та коксу, кожного окремо, надходять вантажівки, щоразу з одним із цих видів палива. До механізму, що відкриває шахти, висувається вимога, щоб він відкрив шахту в приміщення для вугілля, якщо прибуває вантажівка з цим паливом, і шахту в приміщення для коксу, якщо прибуває вантажівка з коксом. Для забезпечення хорошого сортування палива було пред'явлено додаткову вимогу: щоразу в приміщення складу впускається лише одна вантажівка та відкривається лише одна шахта.

Постає питання, чи має цей механізм також таку властивість: якщо не в'їхала в приміщення складу вантажівка з вугіллям, то шахта для вугілля не відкриється, а якщо не в'їхала вантажівка з коксом, то не відкриється шахта для коксу.

Примітка. Це завдання можна вирішити і без засобів логіки висловлювань, простим міркуванням. Більш важким, а можливо, і уявно нездійсненним виявиться рішення у випадку, коли кількість видів палива перевищує два і коли на склад може одночасно в'їжджати кілька вантажівок. Нехай читач намагатиметься вирішити це завдання також для трьох видів палива.

Безкоштовно завантажити електронну книгу у зручному форматі, дивитися та читати:
Завантажити книгу Займальна логіка, Кольман Е., Зіх О., 1966 - fileskachat.com, швидке та безкоштовне скачування.

• Математика та Конструювання, 1 клас, Навчальний посібник для загальноосвітніх організацій, Волкова С.І., 2016
• Математика, Усні вправи, 1 клас, Навчальний посібник для загальноосвітніх організацій, Волкова С.І., 2016
• Курс лекцій з теорії та технології навчання математики у початкових класах, Частина 2, Ручкіна В.П., 2019

Наступні підручники та книги:

• Математика, Алгебра та початку математичного аналізу, 11 клас, Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І., 2014

Ці завдання можна задавати дітям дорогою до школи, подорожі або влаштувати конкурс на дитячому святі. Рідко хто зможе відразу відповісти на запитання, тому слід поступово давати невеликі підказки, це зробить розгадування більш цікавим та цікавим.

Ми сподіваємося, що ви не просто посадите дитину за комп'ютер, щоб вона відразу переглянула всі відповіді. Не забувайте, що жодна машина не зможе замінити сину чи доньці батьківського кохання та уваги.

1. Яке слово завжди пишеться неправильно? (Завдання-жарт.)

Правильну відповідь

2. Скільки місяців на рік мають 28 днів?

Усі місяці

Правильну відповідь

3. З якою швидкістю повинен рухатися собака (у можливих для нього межах), щоб не чути дзвону сковорідки, прив'язаної до її хвоста?

З нульової. Собаці потрібно стояти на місці

Правильну відповідь

4. Собака був прив'язаний до десятиметрової мотузки, а пройшов по прямій двісті метрів. Як це їй вдалося?

Її мотузка не була ні до чого прив'язана

Правильну відповідь

5. Як зістрибнути з десятиметрових сходів і не забитися?

Потрібно стрибати з нижнього ступеня

Правильну відповідь

6. Що можна бачити із заплющеними очима?

Правильну відповідь

7. Що у вогні не горить і у воді не тоне?

Правильну відповідь

8. Кого австралійці називають морською осою?

Правильну відповідь

9. Що потрібно робити, коли бачиш зеленого чоловічка?

Переходити вулицю (це малюнок на зеленому сигналі світлофора)

Правильну відповідь

10. Москву раніше називали білокам'яною. А яке місто називали чорним?

Чернігів

Правильну відповідь

11. Мешканці середньовічної Європиіноді прив'язували до підошв дерев'яні цурки. З якою метою вони це робили?

Для захисту від бруду, т.к. каналізації не було і помої виливали прямо на вулицю

Правильну відповідь

12. У якому процесі вода замінила сонце, через 600 років її замінив пісок, а ще через 1100 років їх замінив механізм?

У процесі вимірювання часу – годинник

Правильну відповідь

13. У колишні часи комори будували на околиці, подалі від житла. З якою метою?

Щоб пожежа не знищила запаси продовольства

Правильну відповідь

14. За Петра I на гербі Російської імперіїбув зображений орел, що тримає в лапах карти чотирьох морів. Перерахуйте їх.

Біле, Каспійське, Азовське, Балтійське

Правильну відповідь

15. Назва якого німецького племені дало ім'я цілій європейській країні?

Німецьке плем'я франків дало ім'я Франції

Правильну відповідь

16. Чому в дикій природі, білі ведмеді не їдять пінгвінів

Білі ведмеді живуть на Північному полюсі, а пінгвіни – на Південному.

Правильну відповідь

17. Не бажаючи визнавати, що Червона армія могла завдати їм поразки, німці стверджували, що Велику Вітчизняну війну виграли генерал Мороз, генерал Бруд та генерал Миша. З приводу морозу та бруду все зрозуміло. А ось до чого тут миша?

Миші перегризали електропроводку німецьких танків

Правильну відповідь

18. Назвіть п'ять днів, не називаючи чисел (1, 2, 3,..) та назв днів (понеділок, вівторок, середа…)

Позавчора, вчора, сьогодні, завтра, післязавтра

Правильну відповідь

19. У тридцяти двох воїнів один командир.

Зуби та мова

Правильну відповідь

20. Дванадцять братів

Друг за одним бродять,
Один одного не оминають.

Правильну відповідь

21. Як правильно говорити: "не бачу білий жовток" або "не бачу білого жовтка"?

Жовток зазвичай жовтий

Правильну відповідь

22. Чи можна запалити звичайний сірник під водою, щоб він догорів до кінця?

Так, у підводному човні

Правильну відповідь

23. Коли чорній кішці краще пробратися в будинок?

Коли двері відчинені

Правильну відповідь

24. Ішли два батьки та два сини, знайшли три апельсини. Стали ділити – усім по одному дісталося. Як це могло бути?

Правильну відповідь

25. З якого посуду не можна нічого поїсти?

З порожньої

Правильну відповідь

26. Маленький, сіренький на слон схожий. Хто це?

Слоненя

Правильну відповідь

27. Якою рукою краще розмішувати чай?

Тієї, в якій ложка

Правильну відповідь

28. Стукають, стукають - не велять нудьгувати.
Ідуть, ідуть, а все як тут.

Правильну відповідь

29. Дуже швидких два коні
По снігах несуть мене - Через луг до берізки,

Тягнуть дві смужки.

Правильну відповідь

30. Коли людина буває у кімнаті без голови?

Коли висуне її із кімнати (наприклад, у вікно).

Правильну відповідь

31. На яке питання не можна відповісти так?

Ти спиш?

Правильну відповідь

32. На яке питання не можна відповісти «ні»?

Правильну відповідь

33. Коли мережа може витягти воду?

Коли вода замерзне і перетвориться на лід.

Правильну відповідь

34. Сміливий як …,
підступна як …,
боягузливий як …,
хитрий як …,
злий як …,
голодний як …,
працьовитий як …,
вірний як …,
впертий як …,
безглуздий як …,
тихий як …,
вільний як ….

Лев, змія, заєць, лисиця, собака, вовк, мураха, пес, осел, баран, миша, птах

Правильну відповідь

35. Чим закінчуються день і ніч?

М'яким знаком

Правильну відповідь

36. Сорока летить, а собака сидить на хвості. Чи це може бути?

Так, собака сидить на власному хвості, поряд сорока літає

Правильну відповідь

37. Що треба зробити, щоб п'ять хлопців залишилися в одному чоботі?

Кожному з них зняти по чоботі

Правильну відповідь

38. Скільки буде 2+2*2?

Правильну відповідь

39. У якому місяці балакуча Світочка каже найменше?

У лютому – найкоротшому місяці

Правильну відповідь

40. Що належить вам, проте інші користуються ним частіше, ніж ви?

Правильну відповідь

41. Як знайти минулорічний сніг?

Вийти надвір відразу після початку нового року.

Правильну відповідь

42. Яке слово завжди звучить неправильно?

Правильну відповідь

43. У людини – одне, у корови – два, у яструба – жодного. Що це?

Правильну відповідь

44. Сидить людина, але ви не можете сісти на її місце, навіть якщо вона встане і піде. Де він сидить?

На Ваших колінах

Правильну відповідь

45. Якого каміння в морі немає?

Правильну відповідь

46. ​​Який знак потрібно поставити між 4-ма і 5-ма, щоб результат виявився більшим за 4-і і меншими за 5-ти?

Правильну відповідь

47. Чи може півень назвати себе птахом?

Ні, т.к. він не вміє казати.

Правильну відповідь

48. Якою хворобою землі ніхто не хворів?

Правильну відповідь

49. Чи можна передбачити рахунок будь-якого матчу до початку?

Правильну відповідь

50. Що можна приготувати, але не можна з'їсти?

Правильну відповідь

51. Яке число зменшиться на третину, якщо його перевернути?

Правильну відповідь

52. Біля квадратного столу відпилили один кут прямої лінії. Скільки тепер кутів за столом?

Правильну відповідь

53. Який вузол не можна розв'язати?

Залізничний

Правильну відповідь

54. Що в корови попереду, а в бика позаду?

Правильну відповідь

55. Яка річка найстрашніша?

Правильну відповідь

56. Що немає довжини, глибини, ширини, висоти, а можна виміряти?

Температуру, час

Правильну відповідь

57. Що всі люди на землі роблять одночасно?

Стають старшими

Правильну відповідь

58. Двоє людей грали в шашки. Кожен зіграв по п'ять партій та виграв по п'ять разів. Це можливо?

Обидві люди грали різні партії з іншими людьми.

Правильну відповідь

59. Як може кинуте яйце пролетіти три метри і не розбитися?

Потрібно кинути яйце більше ніж на три метри, тоді перші три метри воно пролетить цілим.

Правильну відповідь

60. Чоловік вела велику вантажівку. Фари на машині були запалені. Місяця теж не було. Жінка почала переходити дорогу перед машиною. Як вдалося водієві розглянути її?

Був яскравий сонячний день.

Правильну відповідь

61. Де край світу?

Там, де кінчається тінь.

Правильну відповідь

62. Людина навчилася у павуків будувати підвісні мости, у кішок перейняла діафрагму у фотоапараті і світловідбивні дорожні знаки. А який винахід виник завдяки зміям?

Правильну відповідь

63. Що з землі легко піднімеш, але далеко не закинеш?

Тополиний пух.

Правильну відповідь

64. Яким гребенем голову не розчешеш?

Півня.

Правильну відповідь

65. Що кидають, коли потребують цього, і піднімають, коли цього немає потреби?

Правильну відповідь

66. Що може подорожувати світом, залишаючись в тому самому кутку?

Поштова марка.

Правильну відповідь

67. Ви сидите в літаку, попереду кінь, позаду автомобіль. Де ви знаходитесь?

На каруселі

Правильну відповідь

68. Якими нотами можна виміряти відстань?

Правильну відповідь

69. Що не увійде до найбільшої каструлі?

Її кришка.

Правильну відповідь

70. Російська загадка. Дерев'яна річка, дерев'яний катер, а над катером струмує дерев'яний димок. Що це?

Правильну відповідь

71. Один оберт навколо Землі супутник робить за 1 годину 40 хвилин, а інший за 100 хвилин. Як таке може бути?

Одна година сорок хвилин дорівнює ста хвилинам.

Правильну відповідь

72. Назвіть хоча б трьох тварин, яких Мойсей узяв у свій ковчег?

Пророк Мойсей не брав тварин у ковчег, це робив праведний Ной.

Правильну відповідь

73. В одній руці хлопчик ніс один кілограм заліза, а в іншій стільки ж пуху. Що було важче нести?

однаково.

Правильну відповідь

74. У 1711 року у кожному полку російської армії виник новий підрозділ чисельністю 9 людина. Що це за підрозділ?

Полковий оркестр.

Правильну відповідь

Авіакатастроф.

Правильну відповідь

76. Відома історія про маленького хлопчика, який отримавши новорічний подарунок, попросив маму: «Зніми, будь ласка, кришку. Я хочу подарунок погладити». Що це за подарунок?

Черепаха

Правильну відповідь

77. Які тварини завжди сплять з розплющеними очима?

Правильну відповідь

78. Відомо, що свого часу під страхом смерті з Китаю було вивезено яйця тутового шовкопряда. А яка тварина була вивезена в 1888 році з таким же ризиком з Афганістану?

Афганська хорт.

Правильну відповідь

79. Які комахи одомашнені людиною?

Правильну відповідь

80. Завдання, придумане вченим ченцем та математиком з Ірландії Алкуїном (735–804).
Селянину треба перевезти через річку вовка, козу та капусту. Але човен такий, що в ньому може поміститися тільки селянин, а з ним чи один вовк, чи одна коза, чи одна капуста. Але якщо залишити вовка з козою, то вовк з'їсть козу, а якщо залишити козу з капустою, то коза з'їсть капусту. Як перевіз свій вантаж селянин?

Рішення 1: Ясно, що доводиться почати з кози. Селянин, перевіз козу, повертається і бере вовка, якого перевозить на інший берег, де його і залишає, зате бере і везе назад на перший берег козу. Тут він залишає її та перевозить до вовка капусту. Потім, повернувшись, він перевозить козу, і переправа закінчується благополучно. Рішення 2: Спочатку селянин знову-таки перевозить козу. Але другим можна взяти капусту, відвезти на інший берег, залишити там і повернути на перший берег козу. Потім перевезти на інший берег вовка, повернутись за козою і знову відвести її на інший берег.

Правильну відповідь

81. За старих часів на Русі заміжні жінкиносили головний убір кокошник, назва якого походить від слова «кокоша», що означає тварина. Яке?

Курка (пам'ятаєте, що вона вимовляє, коли мчить?).

Правильну відповідь

82. Чому дикобраз не може потонути?

У нього голки порожні.

Правильну відповідь

83. Назвіть п'яту за площею країну після Росії, Китаю, Канади та США.

Бразилія.

Правильну відповідь

84. Чоловік пішов на базар і купив там коня за 50 рублів. Але незабаром він помітив, що коні подорожчали і продав її за 60 рублів. Потім він зрозумів, що їхати йому нема на чому, і купив того ж коня за 70 рублів. Потім він задумався, як би не отримати від дружини наганяй за таку дорогу покупку, і продав її за 80 руб. Що він заробив у результаті маніпуляцій?

Відповідь: -50 +60-70 +80 = 20

Правильну відповідь

85. Єдиний птах, який має вушні раковини?

Правильну відповідь

86. Двоє одночасно підійшли до річки. Човен, на якому можна переправитися, витримує лише одну людину. І все ж таки без сторонньої допомоги кожен переправився на цьому човні на інший берег. Як їм це вдалося?

Вони пливли з різних берегів.

Правильну відповідь

87. У китайській мові поєднання трьох ієрогліфів «дерево» означає слово «ліс». А що означає поєднання двох ієрогліфів «дерево»?

Правильну відповідь

88. Жителі штату Канзас дуже люблять російські горішки. Що це таке, якщо відомо, що ми їх можна зустріти на будь-якому ринку?

Правильну відповідь

89. Римляни внесли у конструкцію вилки революційне нововведення – всі наступні моделі стали лише варіаціями знайденого рішення. А яка вилка була до цього нововведення?

Однозубий.

Правильну відповідь

90. Китайські майстри бойових мистецтв казали, що бійка – для дурнів, для розумних – перемога. А що, на їхню думку, для мудрих?

Правильну відповідь

91. Назвіть мову, яка є рідною для найбільшої кількості людей.

Китайська.

Правильну відповідь

92. У Стародавню Русьїх називали ламаними числами. Як їх називають нині?

Правильну відповідь

93. Цегла важить два кілограми та підлогу цегли. Скільки кілограмів важить цегла?

На одну чашку терезів кладемо цеглу. На іншу кладемо 2-х кілограмову гирю та пів-цегли. Тепер розламаємо цілу цеглу навпіл і приберемо по півцегли з кожної чашки терезів. Отримуємо: зліва півцегли, праворуч - 2-х кілограмова гиря. Тобто пів-цегли важить два кілограми. А дві півцегли, тобто ціла цегла, важить чотири кілограми.

Правильну відповідь

94. Ці люди для чогось, повертаючись до себе на батьківщину, привозили з собою гілки екзотичних рослин, за що отримали своє прізвисько. Що за люди?

Прочани, вони привозили листя пальми.

Правильну відповідь

95. За обсягом виробництва банани займають перше місце у світі, на другому місці – цитрусові. Які фрукти на третьому?

Правильну відповідь

96. В американському штаті Арізона почали охороняти пустелю від злодіїв. Крадуть те, без чого пустелі загрожує запустіння та спустошення. Що ж вивозять злодії з пустелі?

Правильну відповідь

97. Назвіть рослину, яка має найбільші плоди.

Правильну відповідь

98. Ні риба ні м'ясо – про що ця російська приказка була спочатку?

Правильну відповідь

99. В Іспанії їх називають португальцями, у Пруссії – русаками. А як їх називають у Росії?

Таргани.

Правильну відповідь

100. Кого ловлять малайці за допомогою замкненої бумбукової клітки з живим поросям усередині?

Пітонів, вони, з'ївши порося, вже не могли вилізти з клітки.

Правильну відповідь

101. У їжака 4 г, у собаки – 100 г, у коня – 500 г, у слона – 4-5 кг, у людини – 1,4 кг. Чого?

Маса мозку.

Правильну відповідь

102. В 1825 вулиці Філадельфії очищалися від сміття домашніми тваринами. Якими?

Свині.

Правильну відповідь

103. Яку страву вигадав у 17 столітті Марко Ароні?

Макарони.

Правильну відповідь

104. Що втрачає у польоті будь-який космонавт?

Правильну відповідь

105. Як відомо, всі споконвічно російські жіночі (повні) імена закінчуються або А, або Я: Ганна, Марія, Ольга тощо. Однак є одне жіноче ім'я, яке не закінчується ні А, ні Я. Назвіть його.

Правильну відповідь

106. Галльські жерці знайшли безвідмовний спосіб швидкої мобілізації воїнів у разі війни. Для цього вони приносили в жертву лише одну людину. Якого?

Того, хто прийшов останнім.

Правильну відповідь

107. Якось у місті Ніцці провели конкурс на найвитривалішого курця. Один із учасників встановив рекорд, викуривши 60 цигарок поспіль. Проте призу він не одержав. Чому?

Правильну відповідь

108. Людина має дванадцять пар ребер. А у кого ребер понад триста?

Правильну відповідь

109. У роті – дудка, у руці – бубон, під пахвою – харя. Так зображували на Русі скоморохи. Щодо дудки та бубна все ясно, а ось що таке харя?

Правильну відповідь

110. Всім відомо, що «не можна виносити сміття з хати». А що ж з ним потрібно робити, якщо виносити не можна?

Правильну відповідь

111. Де російські мужики одягали шапки і рукавиці, незалежно від пори року?

Правильну відповідь

112. Чим риба колюшка схожа на птахів?

Вона в'є гнізда, відкладаючи туди ікру.

Правильну відповідь

113. Яка трава найвища?

Правильну відповідь

114. Назвіть сільськогосподарську культуру, що на 90% згорає, а на 10% викидається.

Правильну відповідь

115. Греки використовували це захисту певних частин свого тіла. Це виготовлялося із кори сандалового дерева. Назвіть це.

Сандалі.

Правильну відповідь

116. Перші оранжереї з'явилися у Франції. Як ви вважаєте, для чого?

Вирощування апельсинів (оранж – апельсин).

Правильну відповідь

117. Власником найбільшого рогу є білий носоріг (до 158 см). А у якої тварини найм'якіші роги?

Правильну відповідь

118. Саме це використовували футбольні арбітри до того, як почали застосовувати свисток.

Дзвіночок.

Правильну відповідь

119. Що вважається брудним, коли воно біле, і чистим, коли воно зелене?

Класна дошка.

Правильну відповідь

120. На практиці при русі по кривій ця кулька робить 5000 оборотів за хвилину, а при русі по прямій більше 20000 оборотів за хвилину. Де ця кулька знаходиться?

У кульковій ручці.

Правильну відповідь

121. У великого Гіппократа запитали: "Чи правда, що геніальність - це хвороба?" "Безумовно, - відповів Гіппократ, - але дуже рідкісна." Яку ще властивість цієї хвороби відзначив із жалем Гіппократ?

Незаразна.

Правильну відповідь

122. Як називалося місто в Англії, де в 1873 році вперше була продемонстрована, популярна і досі індійська гра?

Бадмінтон.

Правильну відповідь

123. Де, судячи з назви, давні слов'яни кріпили чохол для мисливської холодної зброї?

На нозі. Це піхви.

Правильну відповідь

124. У трьох малярів був брат Іван, а в Івана братів не було. Як це могло бути?

Іван мав трьох сестер.

Правильну відповідь

125. У російських князів були різні прізвиська, які походили від назв міст (Володимирський, Чернігівський, Галицький), від яскравих особистих якостей (Удалий, Мудрий, Калита). Яке прізвисько отримав князь Всеволод, який мав дванадцятьох дітей?

Всеволод Велике Гніздо.

Правильну відповідь

126. У 1240 р. у Київській Русі вперше було проведено перепис населення. Хто і з якою метою це зробив?

Чингізхан (щоб збирати з населення данину).

Правильну відповідь

127. Ішов 988 рік… Численний натовп мешканців давнього Києва для чогось рухався до Дніпра. Як назвали дорогу, якою йшли городяни?

988 - рік хрещення Русі. Вулиця називається Хрещатик.

Правильну відповідь

128. Росія складалася з Великоросії (власне Росії), Малоросії (України), Білої Русі (Білорусії). А як називали Маньчжурію, яка входила до складу цієї держави?

Жовторосія.

Правильну відповідь

129. Італійський прапор червоно-біло-зеленого кольору. Яка ягода у розрізі допомогла італійцям вибрати ці кольори?

Правильну відповідь

130. Сократ займався цим «з метою загострення думки». Так само чинив і Сенека. Горація у такий спосіб вилікували від тяжкої хвороби. Великим любителем цього був Суворов. Любили займатися цим А.С.Пушкін і Л.Н.Толстой. Чим вони займалися?

Ходили босоніж.

Правильну відповідь

131. Як раніше в Росії називали філософа?

Любомудрий.

Правильну відповідь

132. Яка квітка вважалася символом королівської влади?

Правильну відповідь

133. Якщо тюрки хотіли сказати «охоронюй селище», вони говорили «кара авил». А як ми говоримо зараз?

Правильну відповідь

134. Стародавні римляни носили туніку. А що вони носили, коли настали холоди?

Декілька тунік, одягнених одна поверх іншої.

Правильну відповідь

135. Як по-татарськи буде «взуття»?

Правильну відповідь

136. Ми, в основному, користуємося лише початком цієї приказки, а її кінець: «...лише хвостом подавився»?

Собаку з'їв.

Правильну відповідь

137. Скажіть по-датськи «Оле, закрий очі».

Оле Лукойє.

Правильну відповідь

138. З цього предмета одягу легко пізнавали варварів.

Правильну відповідь

139. Який літературний персонаж мав 300-річні мозолі?

Старий Хоттабич.

Правильну відповідь

140. Цих трьох братів можна назвати архітекторами.

Три порося.

Правильну відповідь

141. Як відомо, дід Мазай врятував від повені безліч зайців. Назвіть людину, яка врятувала під час пожежі вісімнадцять голубів та горобця.

Дядько Степа.

Правильну відповідь

142. Якими словами починається прислів'я, якщо його закінчення звучить так: «…а корови яйця несуть»?

Кажуть, що курей доять.

Правильну відповідь

143. Якими словами починається прислів'я, якщо його закінчення звучить так: «...буде і Великий піст»?

Не все коту масляна…

Правильну відповідь

144. Як починається прислів'я: «…великий пень та дуплист»?

Мала штучка червінчик, а ціна велика.

Правильну відповідь

145. Всім відомий вислів «Берегти як зіницю ока». А що таке «зіниця ока»?

Очна зіниця.

Правильну відповідь

146. Це слово буквально означає "те, що буде після ранку". Що це за слово?

Завтра – завтра.

Правильну відповідь

147. Він дуже хотів стати справжнім хлопчиком і, зрештою, став ним. Хто він?

Піноккіо.

Правильну відповідь

148. Який казковий герой від народження володів трьома мовами?

Змій Горинич.

Правильну відповідь

149. На Русі його їли повсюдно, римляни називали його смердючою рослиною, а Піфагор називав королем прянощів. Назвіть його.

Правильну відповідь

150. До появи картоплі це служило головною їжею бідних верств населення Європи. А нам це більш відомо за коротким твором із шістьма персонажами.

Правильну відповідь

151. Що це за рослина, яка уособлює собою одночасно і рідного, і прийомного родича?

Мати й мачуха.

Правильну відповідь

152. Серед усіх городніх бур'янів вона, на думку народної медицини, є дуже корисною, особливо якщо з нею приготувати салат.

Правильну відповідь

153. Російська загадка: "Червона дівчина, а серце - кам'яне". Що це?

Правильну відповідь

154. Які мирні кораблі не мають капітанів, а командирів?

Космічні.

Правильну відповідь

155. Назвіть найпопулярніший вид транспорту на лісозаготівлі у важкодоступних районах Азії.

Правильну відповідь

156. Колись у російській армії служив офіцер на прізвище Сіверст-Мерінг, який прославився, подібно барону Мюнхаузену, невгамовною фантазією. Який фразеологізм народився у зв'язку з його ім'ям?

Бреше як сивий мерин.

Правильну відповідь

157. У нього є чотири, але якщо їх усе відрізати, то в нього буде цілих вісім. Про що йде мова?

Про кути чотирикутника.

Правильну відповідь

158. Катерина II скуповувала по всьому світу витвори мистецтва, щоб помістити їх у «відокремленому притулку». Як ми його тепер називаємо?

Правильну відповідь

159. Юлій Цезар наказав своїм солдатам прикрасити щити та зброю коштовностями. Навіщо?

Щоб шкода було кидати.

Правильну відповідь

160. Чим біг відрізняється від ходьби? Перш ніж відповісти на це питання, згадайте, що біг може бути повільнішим, ніж інша ходьба, і що буває навіть біг на місці.

Біг відрізняється від ходьби не швидкістю руху. При ходьбі наше тіло весь час стикається із землею якоюсь точкою ніг. При бігу ж бувають моменти, коли тіло наше зовсім відокремлюється від землі, не стикаючись з нею в жодній точці.

Правильну відповідь

161. До лікарні міста Кукуєва направляли всіх постраждалих унаслідок нещасних випадків у місті. Найбільше було водіїв та пасажирів, які постраждали в ДТП. Щоб зменшити їх кількість, міська влада зробила обов'язковим користування ременями безпеки. Водії та пасажири стали пристібатися цими ременями, але кількість ДТП залишилася незмінною, а кількість постраждалих у них людей, які надходили до лікарні, навіть збільшилася. Чому?

Користування ременями безпеки зменшило кількість людей, що гинули при ДТП. Багато людей, які без ременя безпеки загинули (і потрапили б у морги), залишалися живими, але отримували травми, і їм потрібно лікування. Тому кількість тих, хто потрапляє до лікарні, побільшало.

Правильну відповідь

162. Біля дороги на посту стоять два вартових. Один дивиться в один бік дороги, а другий – у протилежний, але при цьому вони бачать одне одного. Як таке може бути? Варіанти із відображеннями тощо. - Виключені.

Хоча вартові дивляться в протилежні сторонистоять вони не спиною до спини, а обличчями один до одного.

Правильну відповідь

163. Якщо о 12 годині ночі йде дощ, то чи можна очікувати, що за 72 години буде сонячна погода?

Ні, тому що через 72 години знову опівночі.

Правильну відповідь

164. Є кругле глибоке озеродіаметром 200 метрів та два дерева, одне з яких росте на березі біля самої води, інше – по центру озера на невеликому острівці. Людині, яка не вміє плавати, потрібно перебратися на острівець за допомогою мотузки, довжина якої трохи більше ніж 200 метрів. Як це йому зробити?

Прив'язавши мотузок одним кінцем до дерева, що росте на березі, необхідно обійти озеро з натягнутою над водою мотузкою і прив'язати другий кінець мотузки до того ж дерева. В результаті між деревами буде натягнута здвоєна мотузка для переправи на острів.

Правильну відповідь

165. Людина мешкає на 17-му поверсі. На свій поверх він піднімається на ліфті лише у дощову погоду або тоді, коли хтось із сусідів із ним їде у ліфті. Якщо погода хороша і він один у ліфті, то він їде до 9-го поверху, а далі до 17-го поверху йде пішки сходами… Чому?

Правильну відповідь

166. Одну людину запитали:

Скільки вам років?
- Добре, - відповів він.
- Я старший за деяких своїх родичів майже в шістсот разів. Як таке може бути?

Наприклад, якщо людині 50 років, а її онуку чи онуці 1 місяць.

Правильну відповідь

167. Люди, які приїжджали в одне село, часто дивувалися місцевому дурнику. Коли йому пропонували вибір між блискучою 10-рублевою монетою і м'ятою сторублевою купюрою, він завжди вибирав монету, хоча вона коштує вдесятеро менше за купюру. Чому він ніколи не обирав купюру?

Він був зовсім не дурний: він розумів, що, поки він вибиратиме десятирублеву монету, люди пропонуватимуть йому гроші на вибір, а якщо він обере сторублеву купюру, пропозиції грошей припиняться, і він не отримуватиме нічого.

Правильну відповідь

168. Позавчора Петі було 17 років. Наступного року йому виповниться 20 років. Як таке може бути?

Якщо цей день 1 січня, а День Народження у Петі 31 грудня. Позавчора (30 грудня) йому було ще 17 років, учора (31 грудня) виповнилося 18 років, цього року виповниться 19 років, а наступного 20 років.

Правильну відповідь

169. Один король хотів усунути свого прем'єр-міністра, але при цьому не хотів його занадто образити. Він покликав прем'єр-міністра до себе, поклав при ньому два аркуші паперу в портфель і сказав: «На одному аркуші я написав «Ідіть», а на другому – «Залиштеться». Листок, який ви витягнете, вирішить вашу долю». Прем'єр-міністр здогадався, що на обох листках було написано «Ідіть». Як же, однак, примудрився він за цих умов зберегти своє місце?

Прем'єр-міністр витягнув аркуш паперу і, не дивлячись на нього, скачав з нього кульку і проковтнув. Оскільки на листку, що залишився, стояло -Ідіть-те, то королю довелося визнати, що на проковтнутому листку значилося -Залиштеся-.

Правильну відповідь

170. Один джентльмен, показуючи своєму другові портрет, намальований на замовлення одним художником, сказав: «У мене немає ні сестер, ні братів, але батько цієї людини був сином мого батька».

На портреті зображено сина цього джентльмена.

Правильну відповідь

171. У парку 8 лавок. Три пофарбували. Скільки лавок стало у парку?

Правильну відповідь

172. Термометр показує плюс 15 градусів. Скільки градусів покажуть два такі термометри?

15 градусів.

Правильну відповідь

173. Батон розрізали на три частини. Скільки зробили розрізи?

Два розрізи.

Правильну відповідь

174. Що легше за 1 кг вати або 1 кг заліза?

однаково.

Правильну відповідь

175. Вантажівка їхала до села. Дорогою він зустрів 4 легкові машини. Скільки машин їхало до села?

Правильну відповідь

176. Двічі народиться, один раз помирає. Хто це?

Курча.

Правильну відповідь

177. Що з підлоги за хвіст не піднімеш?

Правильну відповідь

178. Що завжди збільшується та ніколи не зменшується?

Правильну відповідь

179. Що більше з неї береш, то більше стає. Що це?

Правильну відповідь

180. У 9-поверховому будинку є ліфт. На першому поверсі живе 2 особи, на другому 4 особи, на третьому 8 осіб, на четвертому 16, на п'ятому 32 тощо. Яка кнопка в ліфті цього будинку натискається найчастіше?

Кнопка першого поверху.

Правильну відповідь

181. Що йде в гору, то з гори, але залишається на місці?

Правильну відповідь

182. На дереві сиділо 7 горобців, одного з них з'їла кішка. Скільки горобців залишилося на дереві?

Жодного: горобці, що залишилися в живих, розлетілися.

Правильну відповідь

183. До тебе прийшли гості, а в холодильнику пляшка лимонаду, пакет із яблучним соком та пляшка мінеральної води. Що ти відкриєш насамперед?

Холодильник

Правильну відповідь

184. Яке російське місто літає?

Правильну відповідь

185. Що сирим не їдять, а зварять – викинуть?

Лавровий лист.

Правильну відповідь

186. Які два слова російською мовою пишеться з трьома літерами «е» поспіль?

Довгоший і змієїд.

Правильну відповідь

187. Коли європейці привезли її на Таїті, то остров'яни, які ніколи раніше не бачили нічого подібного, охрестили її свинею із зубами на голові. Як називаємо її ми?

Правильну відповідь

188. У Таїланді є школи для мавп. Чому в них навчають?

Збирати кокосові горіхи.

Правильну відповідь

189. Як, на думку вчених, крокодил позбавляється надлишку солей в організмі?

Правильну відповідь

190. Одна з японських авіакомпаній малює на носі своїх літаків величезні очі. Навіщо?

Відлякувати птахів.

Правильну відповідь

191. Чому птахи для відльоту восени обирають холодний день, а навесні прилітають у теплий?

Вибирають попутний вітер.

Правильну відповідь

192. На думку письменника О'Генрі, вона – єдина тварина, в яку забивають цвяхи. Хто це?

Правильну відповідь

193. Зі шкіри саме цієї тварини були вперше виготовлені напилки, якими полірували дерево і навіть мармур.

Правильну відповідь

194. Яка тварина посідає друге місце після людини за кількістю зображень на п'єдесталах?

Правильну відповідь

195. Відсутність якогось органу не дозволяє акулам зупинятися хоч на мить, інакше вони просто втопляться?

Плавальний міхур.

Правильну відповідь

196. У кого зуби у шлунку?

Правильну відповідь

197. До XVI ст. у природі існували її сорти лише білого та жовтого кольору. Проте голландські селекціонери, шанувальники герцога Оранського, вивели відомий нині сорт патріотичного кольору. Про що мова?

Про моркву.

Правильну відповідь

198. Судячи з назви цієї країни, вона має складатися переважно з рівнин і степів. Проте більша частина рівнин їй уже не належить, а нині близько половини її території займають гори, пагорби та ліси. Що це за країна?

Польща (від слова поле).

Правильну відповідь

199. Територія Фінляндії на 8% вкрита озерами. Хоча вона і називається країною тисячі озер (а їхня кількість значно більша), але першість належить іншій. Який?

Правильну відповідь

200. Який метал зустрічається в природі рідше ніж платина чи уран, проте досі був майже в кожному будинку?

Ртуть у термометрі.

Правильну відповідь

201. У якому штаті США на 50 чоловіків припадає одна жінка?

Правильну відповідь

202. Існує щось таке тендітне, що навіть вимовивши його ім'я, ви його порушите. Що це?

Правильну відповідь

203. У 1086 році сестра Володимира Мономаха відкрила школу при одному з київських монастирів. Чим ця школа відрізнялася від усіх, що існували на Русі до цього?

Правильну відповідь

204. Де вперше було виявлено картоплю?

Правильну відповідь

205. Як написати "дев'ятнадцять", а потім, прибравши одиницю, отримати

"двадцять"?

Правильну відповідь

206. Нагодуйте його, і він оживе. Напоїте його, і він помре. Що це таке?

Правильну відповідь

207. Що має 5 пальців, але при цьому не є живою істотою.

Рукавичка

Правильну відповідь

208. Я – ніщо, але я маю назву. Іноді буваю великою, іноді

маленькою і не можу існувати на самоті. Хто я?

Правильну відповідь

209. На що найбільше схожа половина апельсина?

На другу половину.

Правильну відповідь

210. Яка деталь книжкової шафи складається з половини приголосної літери?

Правильну відповідь

211. Скільки кінців у трьох палиць? У чотирьох із половиною? у двох із чвертю?

У трьох – 6, у чотирьох із половиною – 10, у двох із чвертю – 6.

Правильну відповідь

212. Скільки яєць можна з'їсти натще?

Одне (інші вже будуть не натще).

Правильну відповідь

213. Яке слово починається з трьох літер "Г" і закінчується трьома літерами "Я"?

Тригонометрія.

Правильну відповідь

214. Назвіть середнє арифметичне між велосипедом та мотоциклом.

Правильну відповідь

215. Маленький, сіренький, схожий на слона?

Слоненя.

Правильну відповідь

216. Удомбри їх дві, уарфиїх п'ять, у гітари – шість. А скільки їх у піаніно?

Сім (октав).

Правильну відповідь

217. Який малюк народжується із вусами?

Наприклад, кошеня.

Правильну відповідь

218. Коли людина може мчати зі швидкістю гоночного автомобіля?

Коли він у ньому.

Правильну відповідь

219. Що є у слонів і більше у яких тварин?

Правильну відповідь

220. Перед ким усі люди знімають капелюх?

Перед перукарем.

Правильну відповідь

221. Як написати мишоловка п'ятьма літерами?

Правильну відповідь

222. Син мого батька, а мені не брат?

Правильну відповідь

223. З якого полотна не можна пошити сорочку?

Із залізничного.

Правильну відповідь

224. Яке місто є у компоті?

Ізюм (Місто в Україні, в Харківській області).

Правильну відповідь

225. У світильнику було 20 лампочок, 5 із них перегоріли. Скільки лампочок лишилося?

Двадцять лампочок (15 працюючих та 5 перегорілих).

Правильну відповідь

226. Тато на рибалці за 10 хвилин упіймав 3-х рибок. За який час він упіймає ще 10 рибок?

Завдання немає однозначної відповіді.

Правильну відповідь

227. На таці лежали 9 булочок. 9 дівчаток взяли по булочці. Але на таці залишилася одна булочка. Як таке вийшло?

Остання дівчинка взяла булочку разом із тацею.

Правильну відповідь

228. Васі 5 років. А Ані 9 років. Яка різниця у віці буде між ними через три роки?

Чотири роки (різниця з віком не змінюється).

Правильну відповідь

229. З лісу Міша приніс бабусі для грибного супу 2 білих гриби, 3 подосиновики, 4 мухомори та 5 сироїжок. Скільки грибів знадобиться бабусі на суп?

10 грибів, мухомор – неїстівний гриб.

Правильну відповідь

230. Літак, пароплав, повітряна куля, вертоліт. Яке слово тут зайве?

Пароплав (не літає).

Правильну відповідь

231. До під'їзду одночасно зайшли двоє людей. В одного квартира на 3-му поверсі, в іншого – на 9-му. У скільки разів перший доїде швидше за другий?

У 4 рази,т.к.1-му треба подолати 2 проміжки між поверхами, а 2-му - 8.

Правильну відповідь

232. Який об'єкт, зроблений людиною раніше 20-го століття, може рухатися швидше за звук?

Кінчик батога. Характерне клацання (бавовна) ми чуємо саме тому, що кінчик долає звуковий бар'єр.

Правильну відповідь

233. Колесо автомобіля котиться праворуч; обід його крутиться за годинниковою стрілкою. В яку сторону переміщується при цьому повітря всередині гумової шини колеса - назустріч обертанню колеса чи тому напрямі?

Повітря всередині шини рухається від місця стиснення в обидва боки – уперед і назад.

Правильну відповідь

234. Що у Росії першому місці, тоді як у Франції другою?

Правильну відповідь

235. Верблюд протягом години витримує ношу до 10 пудів. Протягом якого часу він витримає ношу до 1000 пудів?

Жодного. Верблюд не витримає такої ваги.

Правильну відповідь

236. Чому загадки небезпечні для голови?

Бо люди ламають над ним голову.

Правильну відповідь

237. Що загальне може бути у снігу та у чагарника бузку?

Колір. Квітки бузку бувають і білого кольору.

Правильну відповідь

238. Що робить сторож, коли в нього на голові сидить горобець?

Правильну відповідь

239. Де знаходяться міста без будинків, річки без води та ліси без дерев?

На географічній карті

Правильну відповідь

240. У назві якого боку світу сто одна літера?

Правильну відповідь

241. Хто говорить усіма мовами?

Правильну відповідь

242. З вантажем ідуть, без вантажу зупиняються.

Годинник з гирями.

Правильну відповідь

243. У кого вуса довші за ноги?

У раку, у таргана.

Правильну відповідь

244. Що було завтра, а буде вчора?

Правильну відповідь

245. Шість ніг, дві голови, а хвіст один. Що це?

Вершник на коні.

Правильну відповідь

246. Який годинник показує правильний час лише двічі на добу?

Які зупинились.

Правильну відповідь

247. Зібралися якось хлопці на пікніку, лише 6 людей. Дивляться, а замість 6 яблук вони взяли 5. Як поділити яблука порівну між усіма, щоб нікому не було прикро? Ні різати, ні ламати їх не можна.

Потрібно зварити із яблук компот.

Правильну відповідь

248. Якщо Еріка живе у Вашингтоні, а Тіна живе у Буенос-Айресі, то де живе Тай?

У Пекіні. Імена людей – частина назв країни, у столиці яких кожен із них живе.

Правильну відповідь

249. У 1849 році одна людина поїхала до Каліфорнії, де вирувала «золота лихоманка». Він сподівався розбагатіти, продаючи золотошукачам намети. Однак погода була прекрасною, і золотошукачі спали просто просто неба. Ніхто не купував намету. Проте продавець розбагатів, і його продукція продається й досі. Як йому це вдалося і як його звали?

Правильну відповідь

250. Шпигун засів у кущах і оцінює ситуацію на КПП. Підходить офіцер, вартовий йому: "Пароль".

Офіцер: "26".

Вартовий: «Відгук».

Офіцер: "13".

Вартовий: «Проходь».

Підходить другий: "Пароль!" - "22".

"Відгук" - "11".

"Проходь."

Ну, шпигун вирішив, що розгадав систему пароля, біжить до вартового.

Вартовий: «Пароль».

Шпигун: "100".

Вартовий: «Відгук».

Шпигун: "50".

Загалом, упіймали шпигуна. Яка відповідь була б правильною?

Правильна відповідь – 3. Ця кількість букв у слові сто.

Правильну відповідь

251. Для кожного з наступних слів придумайте слово, що має таке ж значення і починається з літери К:

Багатство, Друк, Всесвіт, Решітка, Осередок, Затишок, Вінець, Герцог, Замок, Молот.

1. Капітал. 2. Клеймо. 3. Космос. 4. Клітина. 5. Камін. 6. Комфорт. 7. Корона. 8. Князь. 9. Фортеця. 10. Кувалда.

Правильну відповідь

252. Лікар прописав хворому три таблетки і велів приймати їх через кожні півгодини. Скільки часу піде прийом таблеток?

На перший погляд може здатися, що людина вип'є останню таблетку за півтори години, адже це саме тричі по півгодини. Насправді він вип'є останню таблетку не через півтори години, а через годину. Людина одразу ж випиває першу пігулку. Минає півгодини. Він випиває другу пігулку. Минає ще півгодини. Він випиває третю пігулку. Отже, людина вип'є останню таблетку за годину після початку лікування.

Правильну відповідь

253. Якій комахі аплодує весь світ?

Правильну відповідь

254. Вона червона? - Ні, чорна. А чому вона біла? Бо зелена. Що це?

Чорна смородина.

Правильну відповідь

255. Як можна помістити два літри молока у літрову банку?

Зварити з нього згущене молоко.

Правильну відповідь

256. Жартівне завдання. Їде мисливець у автобусі, бачить – біжить заєць. Він вистрілив. Куди він потрапив?

У міліцію (Стрільба у транспорті заборонена).

Правильну відповідь

257. Хто на всі руки майстер?

Рукавичник.

Правильну відповідь

258. Як кинути тенісний м'яч так, щоб він, пролетівши коротку відстань, зупинився і почав рухатись у протилежному напрямку? При цьому м'яч не повинен ударятися про перешкоду, його не можна вдаряти чимось або прив'язувати до чогось.

Кинути його вгору.

Правильну відповідь

259. Ставлення віку одного хлопчика до віку іншого хлопчика кілька років тому було таким самим, як і зараз. Яке це відношення?

Один до одного, тобто хлопчики одного віку.

Правильну відповідь

260. Яке найбільша кількістьли написати чотирма одиницями?

Одинадцять в одинадцятому ступені.

Правильну відповідь

261. У дрімучому Муромському лісі з-під землі б'ють десять джерел мертвої води, вони пронумеровані від №1 до №10.

З перших дев'яти джерел мертву воду може взяти кожен, але джерело № 10 перебуває у печері Кощея, куди ніхто, крім самого Кощея, потрапити неспроможна.

На смак і колір мертва вода нічим не відрізняється від звичайної, однак, якщо людина вип'є з якогось джерела, вона помре. Врятувати його може лише одне: якщо він зап'є отрутою з джерела, номер якого більший. Наприклад, якщо він вип'є з сьомого джерела, то йому треба обов'язково запитати отрутою №8, №9 або №10. Якщо він вип'є не сьому отруту, а дев'яту, йому може допомогти тільки отрута №10. то йому вже нічого не допоможе.

Іванко-дурник викликав Кощія на дуель. Умови дуелі були такі: кожен приносить із собою кухоль із рідиною і дає його випити своєму противнику. Кощій зрадів: «Я дам отруту № 10, і Іванко-дурник не зможе врятуватися! А сам вип'ю отруту, яку Іванушка-дурник мені принесе, зап'ю її своїм десятим і врятуюсь!»

У призначений день обидва супротивники зустрілися в обумовленому місці. Вони чесно обмінялися кухлями та випили те, що в них було. Виявилося, що Кощій помер, а Іванко-дурник залишився живим! Як це відбулося?

Іванко дав Кащею просту воду, і вийшло, що Кащей випив отруту з 10-го джерела. Сам Іванко перед дуеллю випив отруту з одного будь-якого джерела і вийшло що він запив отруту Кащеєвим 10, і в результаті ця отрута нейтралізувався.

Правильну відповідь

262. Розділіть у думці на два наступне число: один секстильярд сім

Підлога сикстильярда три з половиною

Правильну відповідь

263. Як поділити п'ять яблук між п'ятьма людьми таким чином, щоб одне яблуко залишилося в кошику? (Завдання-жарт)

Одна з п'яти людей має забрати своє яблуко разом із кошиком. Ефект цього не дуже серйозного завдання ґрунтується на двозначності виразу «яблуко залишилося лежати в кошику». Адже його можна розуміти і в тому сенсі, що воно нікому не дісталося, і в тому, що воно просто не залишало місце свого перебування, а це зовсім різні речі. Виділене жовтим додати як примітки в таку ж задачу, вона має.

Правильну відповідь

264. Як число 66 збільшити у півтора рази, не роблячи над ним жодних арифметичних дій?

Число 66 треба лише перевернути «вгору ногами». Вийде 99, а це і є 66, збільшене у півтора рази.

Правильну відповідь

265. У ставку росте один лист лілії. Щодня кількість листя подвоюється. На який день ставок буде покритий листям лілії наполовину, якщо відомо, що він повністю буде покритий ними через 100 днів?

Ставок буде покритий листям лілії наполовину на 99-й день. За умовою кількість листя щодня подвоюється, і якщо на 99-й день ставок покритий листям наполовину, то наступного дня й друга половина ставка буде покрита листям лілії, тобто. повністю ставок покриється ними за 100 днів.

Правильну відповідь

266. Чи можна літаком долетіти до Місяця? (Треба взяти до уваги, що літаки мають реактивні двигуни, як і космічні ракети, і працюють на тому ж паливі, що й вони.)

Літак у польоті «тримається» на повітрі, тому долетіти літаком до Місяця неможливо, адже повітря у відкритому космосі немає.

Правильну відповідь

267. Дівчина впустила своє кільце в чашку, в якій була розчинна кава. Чому кільце залишилося сухим?

У чашку ще не встигли налити води.

Правильну відповідь

268. Місіонер потрапив у полон до дикунів, які посадили його до в'язниці і сказали: «Звідси тільки два виходи – один на волю, другий до загибелі; вибратися тобі допоможуть два воїни, один говорить завжди правду, інший завжди бреше, але невідомо, хто з них брехун, а хто правдолюбець; ти можеш поставити кожному з них лише одне запитання». Яке питання потрібно поставити, щоб вибратися на волю?

Потрібно звернутися до будь-якого воїна з наступним питанням: «Якщо я запитаю тебе, чи цей вихід веде на волю, то ти відповість мені «так»?» За такої постановки питання той воїн, який весь час бреше, буде змушений говорити правду. Допустимо, ви, показуючи йому на вихід до свободи, кажіть: «Якщо я запитаю тебе, чи цей вихід веде на свободу, то ти даси мені «так»?» Правдою в цьому випадку буде, якщо він відповість «ні», але ж йому треба збрехати і тому він змушений сказати «так».

Правильну відповідь

269. Якщо три дні тому був день, що передує понеділку, то який день буде післязавтра?

Перед понеділком була неділя. Якщо три дні тому була неділя, то сьогодні – середа. Якщо сьогодні – середа, значить, післязавтра буде п'ятниця.

Правильну відповідь

270. Дівчина їхала у таксі. По дорозі вона так багато говорила, що шофер занервував. Він сказав їй, що дуже шкодує, але не чує жодного слова, оскільки його слуховий апарат не працює - він глухий як пробка. Дівчина замовкла, але коли вони доїхали до місця, зрозуміла, що водій над нею пожартував. Як вона здогадалась?

Якщо таксист глухий, як він зрозумів, куди везти дівчину? І ще: як він тоді зрозумів, що вона взагалі щось каже?

Правильну відповідь

271. Ви знаходитесь в каюті океанського лайнера, що стоїть на якорі. Опівночі вода була на 4 м нижче за ілюмінатор і піднімалася на півметра на годину. Якщо ця швидкість подвоюється щогодини, то який час вода досягне ілюмінатора?

Вода ніколи не досягне ілюмінатора, тому що лайнер піднімається разом із водою.

Правильну відповідь

272. З Москви до Владивостока щодня виходить поїзд. Так само щодня з Владивостока до Москви виходить поїзд. Переїзд триває 10 днів. Якщо ви виїхали з Владивостока до Москви, скільки поїздів, що йдуть у зворотному напрямку, зустрінеться вам під час поїздки?

На перший погляд, може здатися, що під час поїздки ми зустрінемо десять поїздів. Але це не так: ми зустрінемо не тільки ті десять поїздів, які вийшли з Москви після нашого відправлення, але й ті, що на момент нашого від'їзду вже були в дорозі. Виходить, ми зустрінемо не десять, а двадцять поїздів.

Правильну відповідь

273. Існує простий і дешевий спосіб подорожувати, яким, як це не дивно, ніхто не користується. Як відомо, Земля обертається навколо своєї осі, причому досить швидко (загалом за 24 години кожна точка земного екватора проходить приблизно 40 000 км - шлях, що дорівнює довжині екватора). Значить, замість того, щоб кудись їхати поїздом або летіти літаком, або плисти кораблем, нам достатньо піднятися високо над землею на повітряній кулі чи дирижаблі і якийсь час там нерухомо перебувати. За цей час Земля повернеться до нас іншою частиною своєї поверхні і треба буде лише спуститися в потрібне місце. Чи вірна ця міркування? Якщо ні, яка помилка в ньому припущена?

Такий спосіб подорожей, звичайно, непридатний. Атмосфера, що притягується Землею, обертається разом із нею. А якби навіть атмосфера була нерухомою, то, піднявшись у неї з Землі, що обертається, ми деякий час продовжували б земний рух за інерцією. Крім того, якби атмосфера була нерухомою, а Земля продовжувала б у ній обертатися (причому досить швидко: див. умову завдання), то в цьому випадку на Землі не переставав би вирувати грандіозний ураган, який унеможливив не тільки якісь подорожі , але й саме людське життя.

Правильну відповідь

274. Чи можливо закип'ятити воду на відкритому полум'ї у паперовій коробці?

Питання завдання, на перший погляд, здається дуже дивним, адже якщо тримати папір над вогнем, то він обов'язково спалахне. Але річ у тому, що температура кипіння води набагато нижча за температуру займання паперу. Оскільки теплоту полум'я забирає кипляча вода, папір не може нагрітися до потрібної температури і тому не спалахує. Треба тільки, щоб папір був досить щільним, інакше вода просто порве його і виллється на полум'я. Для кип'ятіння води цілком підійде картонна коробка. Те саме пояснення лежить в основі такого явища, як вогнетривкий папірець, щільно намотаний на металевий стрижень (або сталевий цвях) і внесений в полум'я свічки. Теплоту вогню забиратиме стрижень, не даючи папірцю нагрітися до потрібної температури і загорітися.

Правильну відповідь

275. У одному класі учні розділилися на дві групи. Одні мали завжди говорити тільки правду, а інші – лише неправду. Всі учні класу написали твір на вільну тему, яке мало закінчуватися фразою: «Все, тут написане, правда» або «Все, тут написане, брехня». У класі було 17 правдолюбців та 18 брехунів. Скільки вийшло творів із твердженням про правдивість написаного?

Всі правдолюбці вірно стверджували, що все написане ними – правда, але й усі брехуни хибно стверджували, що все написане ними – правда. Таким чином, усі 35 творів містили твердження про правдивість написаного.

Правильну відповідь

276. Скільки у вас було всього прапрадідусь і прапрабабусь?

У кожної людини 2 батьки, 2 бабусі та 2 дідусі, 4 прабабусі та 4 прадіди, 8 прапрабабусь і 8 прапрадідусь.

Правильну відповідь

277. Діалог у магазині господарських товарів:

Скільки коштує один?
- 20 рублів, - відповів продавець.

Скільки коштує 12?
- 40 рублів.

Добре, дайте мені сто двадцять.
– Будь ласка, з вас 60 рублів.

Що купував відвідувач?

Номер квартири.

Правильну відповідь

278. Пляшка із пробкою коштує 1 р. 10 к. Пляшка дорожча за пробку на 1 р. Скільки коштує пляшка та скільки коштує пробка?

На перший погляд може здатися, що пляшка коштує 1 р., а пробка 10 к., але тоді пляшка дорожча за пробку на 90 к., а не на 1 р., як за умовою. Насправді, пляшка коштує 1 р. 05 к., а пробка коштує 5 к.

Правильну відповідь

279. Катя живе на четвертому поверсі, а Оля – на другому. Піднімаючись на четвертий поверх, Катя долає 60 сходинок. Скільки сходинок треба пройти Олі, щоби піднятися на другий поверх?

На перший погляд може здатися, що Оля проходить 30 сходинок – у два рази менше, ніж Катя, тому що вона живе вдвічі нижче за неї. Насправді, це не так. Коли Катя піднімається на четвертий поверх, вона долає 3 сходові прольоти між поверхами. Значить між двома поверхами 20 сходинок: 60: 3 = 20. Оля піднімається з першого поверху на другий, отже, вона долає 20 сходинок.

Правильну відповідь

280. Яким чином з кухля, ковшика, каструлі та будь-якого іншого посуду правильної циліндричної форми, наповненої до країв водою, відлити рівно половину, не використовуючи жодних вимірювальних приладів?

Будь-який посуд правильної циліндричної форми, якщо дивитися на нього збоку, є прямокутником. Як відомо, діагональ прямокутника поділяє його на дві рівні частини. Так само циліндр ділиться навпіл еліпсом. З наповненої водою посуду циліндричної форми треба відливати воду доти, поки поверхня води з одного боку не досягне кута посуду, де її дно замикається зі стінкою, а з іншого боку краю посуду, через який вона виливається. У цьому випадку в посуді залишиться рівно половина води:

Правильну відповідь

281. Три курки несуть три яйця за три дні. Скільки яєць знесуть 12 курок за 12 днів?

Можна відразу відповісти, що 12 курок за 12 днів знесуть 12 яєць. Однак, це не так. Якщо три курки за три дні несуть три яйця, то одна курка за ті ж три дні несе одне яйце. Отже, за 12 днів вона знесе: 12:3 = 4 яйця. Якщо ж курок буде 12, то за 12 днів вони знесуть: 12 · 4 = 48 яєць.

Правильну відповідь

282. Назвіть два числа, у яких кількість цифр дорівнює кількості букв, що становлять назву кожного з цих чисел.

Сто (100) та мільйон (1000000)

Правильну відповідь

283. «Ручусь, – сказав продавець у зоомагазині, – що цей папуга повторюватиме будь-яке почуте слово». Втішний покупець придбав чудо-птаха, але, прийшовши додому, виявив, що папуга ним, як риба. Проте продавець не брехав. Як таке можливо? (Завдання-жарт.)

Папуга справді може повторювати кожне почуте слово, але він глухий і не чує жодного слова.

Правильну відповідь

284. У кімнаті є свічка та гасова лампа. Що ви запалите першим, коли ввечері увійдете в цю кімнату?

Звичайно ж, сірник, тому що без нього не можна запалити ні свічку, ні гасову лампу. Питання завдання двозначний, адже його можна розуміти чи як вибір між свічкою і гасовою лампою, чи як послідовність у запаленні чогось (спочатку сірник, потім – від неї – все інше).

Правильну відповідь

285. Половина від половини числа дорівнює половині. Яке це число?

Правильну відповідь

286. Згодом людина обов'язково побуває на Марсі. Сашко Іванов – це людина. Відтак Сашко Іванов згодом обов'язково побуває на Марсі. Чи вірна ця міркування? Якщо ні, то яка помилка в ньому припущена?

Міркування неправильне. Вчинено необов'язково, що Сашко Іванов згодом побуває на Марсі. Зовнішня правильність цього міркування створюється рахунок вживання у ньому одного слова («людина») у різних сенсах: у широкому (абстрактний представник людства) й у вузькому (конкретний, даний, саме цей человек).

Правильну відповідь

287. Часто кажуть, що композитором, чи художником, чи письменником, чи вченим треба народитися. Чи це правда? Чи справді композитором (художником, письменником, вченим) треба народитись? (Завдання-жарт.)

Звичайно ж, композитором, так само як і художником, письменником чи вченим, треба народитися, адже якщо людина не народиться, то вона не зможе складати музику, малювати картини, писати романи чи робити наукові відкриття. Це жартівливе завдання полягає в двозначності питання: «Чи справді треба народитися?» Це питання можна розуміти буквально: чи треба народжуватися на світ для того, щоб займатися якимось видом діяльності; а також це питання можна розуміти в переносному сенсі: чи є талант композитора (художника, письменника, вченого) вродженим, даним від природи або ж він набувається під час життя наполегливою працею.

Правильну відповідь

288. Для того, щоб бачити, зовсім не обов'язково мати очі. Без правого ока ми бачимо. Без лівого теж бачимо. А оскільки крім лівого та правого ока інших очей у нас немає, то виявляється, що жодне око не є необхідним для зору. Чи правильне це твердження? Якщо ні, то яка помилка в ньому припущена?

Міркування, звичайно ж, неправильне. Його зовнішня правильність заснована на майже непомітному виключенні ще одного варіанту, який у даному міркуванні також необхідно було розглянути. Це варіант, коли не бачить жодне око. Саме він і був пропущений: "Без правого ока ми бачимо, без лівого теж, отже, очі необов'язкові для зору". Правильне твердження має бути таким: «Без правого ока ми бачимо, без лівого теж бачимо, але без двох разом не бачимо, значить, ми бачимо або одним оком, або іншим, або двома разом, але ми не можемо бачити без очей, які, таким чином, необхідні для зору.

Правильну відповідь

289. Папуга прожив менше 100 років і вміє відповідати лише на запитання «так» та «ні». Скільки запитань йому треба поставити, щоб дізнатися про його вік?

На перший погляд може здатися, що папузі можна поставити до 99 запитань. Насправді можна обійтися набагато меншою кількістю питань. Запитаємо його так: "Тобі більше 50 років?" Якщо він відповість «так», його вік від 51 до 99 років; якщо ж він відповість "ні", то йому від 1 до 50 років. Кількість варіантів його віку після першого ж питання скорочується вдвічі. Наступне подібне питання: «Тобі більше (можна запитати – менше) 25 років?», «Тобі більше (менше) 75 років?» (залежно від відповіді перше питання) скорочує кількість варіантів вчетверо тощо. буд. У результаті папузі треба поставити лише 7 питань.

Правильну відповідь

290. Одна людина, яка потрапила в неволю, розповідає таке: «Моя в'язниця знаходилася у верхній частині замку. Після багатоденних зусиль мені вдалося виламати один із лозин у вузькому вікні. У отвір, що утворився, можна було пролізти, але відстань до землі була занадто велика, щоб просто зістрибнути вниз. У кутку в'язниці я виявив забуту кимось мотузку. Проте вона виявилася надто короткою, щоб можна було спуститися нею. Тоді я згадав, як один мудрець подовжував надто коротку для нього ковдру, обрізавши частину її знизу і пришивши її зверху. Тому я поспішив розділити мотузку навпіл і знову зв'язати дві частини, що утворилися. Тоді вона стала досить довгою, і я спустився по ній вниз». Яким чином оповідача вдалося це зробити?

Оповідач розділив мотузку не поперек, як, швидше за все, може здатися, а вздовж, зробивши з неї дві мотузки однакової довжини. Коли він зв'язав дві частини разом, мотузка стала вдвічі довшою, ніж була спочатку.

Правильну відповідь

291. Складіть питання з п'яти літер російського алфавіту, що стоять поспіль. Підказка: можливо, це буде не одне слово.

Правильну відповідь

292. Перед вами електронний годинник. Скільки разів на добу вони показуватимуть час так, що всі осередки на циферблаті (години, хвилини, секунди) будуть заповнені однією і тією самою цифрою?

Тричі: 00.00.00; 11.11.11; 22.22.22

Правильну відповідь

293. Чоловік уночі довго повертався в ліжку і ніяк не міг заснути.
Потім він узяв телефон, набрав чийсь номер, прослухавши кілька довгих гудків — поклав люльку та спокійно заснув. Питання: чому він раніше не міг заснути?

Вантажівка витратила паливо, добираючись до центру мосту.

Правильну відповідь

298. Я був запрошений на вечірку. Там я побачив людину з дуже рідкісним годинником. Звідки я знаю, що цей годинник був вкрадений?

Тому що цей годинник був моїм.

Правильну відповідь

299. 8 + 7 = 13 чи 7 + 8 = 13?

8 + 7 = 15, а не 13

Правильну відповідь

300. У фрау та гер Майєрс є 4 дочки. Кожна дочка має одного брата. Скільки всього дітей у Майєрсів?

5. Чотири дочки та один син.

Правильну відповідь

Слова Шерлока Холмса: «Скільки разів я говорив вам, відкиньте все неможливе, тоді те, що залишиться, і буде відповіддю, якою б неймовірною вона не здавалася», - могли б послужити епіграфом до цього розділу.

Якщо для вирішення головоломки потрібно лише вміння логічно мислити і зовсім не потрібно робити арифметичні викладки, то таку головоломку зазвичай називають логічним завданням. Логічні завдання, зрозуміло, ставляться до математичних, оскільки логіку можна як дуже загальну, фундаментальну математику. Все ж таки логічні головоломки зручно виділити і вивчати окремо від їх більш численних арифметичних сестер. У цьому розділі ми розглянемо в загальних рисах три поширені типи логічних завдань і постараємося з'ясувати, як слід підходити до їх вирішення.

Найчастіше зустрічається тип завдання, який любителі головоломок іноді називають «завданням про Сміта - Джонса - Робінсона» (за аналогією зі старою головоломкою, придуманою Г. Дьюдені).

Вона складається з серії посилок, які зазвичай повідомляють ті чи інші відомості про дійових осіб; на підставі цих посилок потрібно зробити певні висновки. Ось, наприклад, як виглядає остання американська версія завдання Дьюдені:

1. Сміт, Джонс та Робінсон працюють в одній поїзній бригаді машиністом, кондуктором та кочегаром. Професії їх названі не обов'язково у тому порядку, як і прізвища. У поїзді, який обслуговує бригада, їдуть троє пасажирів із тими самими прізвищами.

Надалі кожного пасажира ми шанобливо називатимемо «містер» (м-р).

2. М-р Робінсон живе у Лос-Анджелесі.

3. Кондуктор живе в Омаху.

4. М-р Джонс давно забув всю алгебру, якій його навчали у коледжі.

5. Пасажир – однофамілець кондуктора живе в Чикаго.

6. Кондуктор та один із пасажирів, відомий спеціаліст з математичної фізики, ходять до однієї церкви.

7. Сміт завжди виграє у кочегара, коли їм трапляється зустрічатися за партією у більярд.

Як прізвище машиніста?

Ці завдання можна було б перекласти мовою математичної логіки, скориставшись її стандартними позначеннями, і шукати рішення з допомогою відповідних методів, проте такий підхід був надто громіздким. З іншого боку, без скорочених позначень тієї чи іншої проблеми важко зрозуміти логічну структуру завдання. Найзручніше скористатися таблицею, в порожні клітини якої ми будемо вписувати всілякі комбінації елементів множин, що розглядаються. У нашому випадку таких множин дві, тому нам знадобляться дві таблиці (рис. 139).

Рис. 139 Дві таблиці до завдання про Сміта, Джонса і Робінсона.

Кожну клітинку впишемо 1, якщо відповідна комбінація допустима, або 0, якщо комбінація суперечить умовам завдання. Подивимося, як це робиться. Умова 7, очевидно, виключає можливість того, що Сміт кочегар, тому в клітинку, що стоїть у верхньому правому куті лівої таблиці, ми вписуємо 0. Умова 2 повідомляє нам, що Робінсон живе в Лос-Анджелесі, тому в лівий нижній кут таблиці ми вписуємо 1, а у всі інші клітини нижнього рядка і лівого стовпця - 0, щоб показати, що м-р Робінсон не живе в Омаху чи Чикаго, а м-р Сміт і м-р Джонс не живуть у Лос-Анджелесі.

Тепер нам доведеться трохи подумати. З умов 3 та 6 відомо, що фахівець з математичної фізики живе в Омаху, але ми не знаємо його прізвища. Він може бути ні м-ром Робінсоном, ні м-ром Джонсом (адже той забув навіть елементарну алгебру).

Отже, ним має бути містер Сміт. Цю обставину ми відзначимо, поставивши 1 в середню клітинку верхнього рядка правої таблиці і 0 - в інші клітини того ж рядка та порожні клітини середнього стовпця. Третю одиницю можна вписати тепер тільки в одну клітку: це доводить, що пан Джонс живе в Чикаго. З умови 5 ми дізнаємося, що кондуктор теж носить прізвище Джонс, і вписуємо 1 в центральну клітину лівої таблиці і 0 -в решту клітин середнього рядка і середнього стовпця. Після цього наші таблиці набувають вигляду, показаного на рис. 140.

Рис. 140Табл іци, зображені на рис. 139 після попереднього заповнення.

Тепер неважко продовжити міркування, що призводять до остаточної відповіді. У стовпці з написом "Кочегар" одиницю можна поставити лише у нижній клітці. Звідси відразу випливає, що у лівому нижньому кутку має стояти 0. Порожній залишається лише клітина у лівому верхньому кутку таблиці, куди можна поставити лише 1. Отже, прізвище машиніста Сміт.

Надзвичайно складні та хитромудрі завдання такого роду любив винаходити Льюїс Керрол. Декан математичного факультету Дортмутського коледжу Джон Дж. Кемені запрограмував одну з жахливих (з 13 змінними та 12 умовами, з яких випливає, що «жоден суддя не нюхає тютюн») керролівських завдань для комп'ютера IBM-704. Машина впоралася з рішенням приблизно за 4 хвилини, хоча роздрук повної «таблиці істинності» задачі (таблиці, що показує, істинні або хибні можливі комбінації значень істинності змінних завдання) зайняла б 13 годин!

Читачам, які хочуть спробувати щастя у вирішенні складнішого завдання, ніж завдання про Сміта-Джонса - Робінсона, пропонуємо нову головоломку. Її автор Р. Смалліан із Прінстонського університету.

1. У 1918 році закінчилася перша світова війна. У день підписання мирного договору три подружні пари зібралися, щоб відсвяткувати цю подію за святковим столом.

2. Кожен чоловік доводився братом однієї з дружин, а кожна дружина була сестрою одного з чоловіків, тобто серед присутніх можна було вказати три родинні пари «брат із сестрою».

3. Елен рівно на 26 тижнів старший за свого чоловіка, який народився в серпні.

4. Сестра м-ра Уайта заміжня за свояком брата Елен і вийшла за нього заміж у день свого народження, у січні.

5. Маргарет Уайт на зріст нижче Вілльяма Блейка.

6. Сестра Артура красивіша, ніж Беатріс.

7. Джону виповнилося 50 років.

Як звати місіс Браун?

Не менш поширений і інший різновид логічних завдань, які за аналогією з наступним добре відомим прикладом можна назвати завданнями типу «завдання про різнокольорові ковпаки». Трьом людям (назвемо їх А, Ві З) зав'язують очі та кажуть, що кожному з них на голову одягли або червоний, або зелений ковпак. Потім очі їм розв'язують і просять підняти руку, якщо вони бачать червоний ковпак, і вийти з кімнати, якщо вони впевнені, що знають, якого кольору ковпак у них на голові. Усі три ковпаки виявилися червоними, тому всі троє підняли руку. Пройшло кілька хвилин, і З, який відрізняється більшою кмітливістю, ніж Аі В, вийшов з кімнати. Яким чином Ззміг встановити, якого кольору ковпак на ньому?

[Завдання про мудреців у зелених ковпаках сформульовано у тексті так, що вона не може мати рішення. Це особливо добре видно, коли число мудреців велике. Скільки часу знадобиться першому мудрецю, щоб здогадатися про справжню ситуацію?

Наприкінці сорокових років це завдання посилено обговорювалася у Москві шкільних математичних гуртках, і було придумано новий її варіант, у якому введено дискретний час. Завдання це виглядало так.

У давнину в одному місті жили мудреці. У кожного була дружина. Вранці вони приходили на базар і впізнавали там усі міські плітки. Вони й самі були пліткарями. Їм приносило велике задоволення дізнатися про невірність будь-якої з дружин - дізнавалися вони про це негайно. Однак одне негласне правило дотримувалося неухильно: чоловікові про його дружину ніколи нічого не повідомлялося, оскільки кожен з них, дізнавшись про свою ганьбу, вигнав би свою дружину з дому. Так вони й жили, отримуючи задоволення від задушевних бесід і залишаючись у повному невіданні щодо власних справ.

Але одного разу до міста приїхав справжній пліткар. Він з'явився на базар і щиро заявив: «А не у всіх мудреців дружини вірні!» Здавалося б, пліткар нічого нового не сказав - і так це все знали, знав це і кожен мудрець (тільки з єхидством думав не про себе, а про інше), тому ніхто з мешканців не звернув уваги на слова пліткаря. Але мудреці замислилися - на те вони і мудреці - і на n-й день після приїзду пліткаря п мудреців вигнали п невірних дружин (якщо їх всього було n).

Міркування мудреців відновити неважко. Важче відповісти на запитання: яку ж інформацію додав пліткар до тієї, яка була відома мудрецям і без нього?

Це завдання неодноразово зустрічалося у літературі].

З запитує себе, чи може його ковпак бути зеленим. Якби це було так, то Авідразу ж дізнався б, що на ньому червоний ковпак, бо тільки червоний ковпак на його голові міг би змусити Впідняти руку. Але тоді Авийшов би з кімнати. Встав би міркувати так само і теж вийшов би з кімнати. Оскільки ні той, ні другий не вийшли, Ззробив висновок, що його власний ковпак має бути червоним.

Це завдання допускає узагальнення на випадок, коли є будь-яка кількість людей і всіх на них одягнені червоні ковпаки. Припустимо, що в задачі постала четверта дійова особа D, ще більш проникливе, ніж С. Dміг би міркувати так: «Якби мій ковпак був зелений, то А, Ві Звиявилися б точно в такій самій ситуації, яка щойно була описана, і через кілька хвилин найдогадливіший з тріо неодмінно вийшов би з кімнати.

Але минуло вже п'ять хвилин, а ніхто з них не виходить, отже, мій червоний ковпак».

Якби з'явився п'ятий учасник, ще кмітливіший, ніж D, то він зміг би зробити висновок, що на ньому червоний ковпак, почекавши хвилин десять. Зрозуміло, наші міркування втрачають у переконливості через припущення про різний рівень кмітливості А, В, С… і досить невиразних міркувань щодо того, скільки часу має вичікувати найдогадливіша людина, перш ніж вона зможе з упевненістю назвати колір свого ковпака.

Деякі інші завдання «про кольорові ковпаки» містять меншу невизначеність. Такою, наприклад, є наступне завдання, також придумане Смалліаном. Кожен із трьох - А, Ві З- Досконало володіє логікою, тобто вміє миттєво витягувати всі наслідки з даного набору посилок і знає, що інші також мають цю здатність.

Беремо чотири червоні та чотири зелені марки, зав'язуємо нашим «логікам» очі та кожному з них наклеюємо на лоб по дві марки. Потім знімаємо з очей пов'язки і по черзі задаємо А, Ві Зодне й те саме питання: «Чи знаєте ви, якого кольору марки у вас на лобі?» Кожен із них відповідає негативно. Потім ми питаємо ще раз у Аі знову отримуємо негативну відповідь. Але коли ми вдруге ставимо те саме питання В, Той відповідає ствердно.

Якого кольору марки на лобі у В?

Третій різновид популярних логічних головоломок складають завдання про брехунів і тих, хто завжди говорить правду. У класичному варіанті завдання йдеться про мандрівника, який потрапив у країну, населену двома племенами. Члени одного племені завжди брешуть, члени іншого кажуть лише правду. Мандрівник зустрічає двох тубільців. «Ви завжди кажете тільки правду?» - Запитує він високого тубільця. Той відповідає: Тарабара. «Він сказав «так», - пояснює тубільець менший на зріст, який знає англійську мову, - але він жахливий брехун». До якого племені належить кожен із тубільців?

Систематичний підхід до рішення полягав у виписуванні всіх чотирьох можливостей: ІІ, ІЛ, ЛІ, ЛЛ (І означає «істина», Л-«брехня») - і виключення тих, які суперечать даним завданням. Відповідь можна отримати набагато швидше, якщо помітити, що високий тубільець повинен відповісти ствердно незалежно від того, чи він бреше чи каже правду. Оскільки тубільець менший на зріст сказав правду, він повинен належати до племені правдивих, а його високий приятель – до племені брехунів.

Найвідоміше завдання цього типу, ускладнене введенням імовірнісних терезів і не дуже чітким формулюванням, можна знайти досить несподівано в середині шостого розділу книги англійського астронома А. Еддінгтона «New Pathways in Science». «Якщо А, В, Сі Dкажуть правду в одному випадку з трьох (незалежно один від одного) та Астверджує, що Взаперечує, що Зкаже, ніби Dбрехун, то яка ймовірність того, що Dсказав правду?

Відповідь Еддінгтона, 25/71 була зустрінута градом протестів з боку читачів і породила смішну і плутану суперечку, яка так і не була вирішена остаточно. Англійський астроном Г. Дінгл, автор рецензії на книгу Еддінгтона, опублікованої в журналі Nature (March 1935), вважав, що завдання взагалі не заслуговує на увагу як безглузде і свідчить лише про те, що Еддінгтон недостатньо продумав основні ідеї теорії ймовірностей. Американський фізик Т. Стерн (Nature, June 1935) заперечив це, заявивши, що, на його думку, завдання зовсім на безглузде, але даних на її вирішення недостатньо.

У відповідь Дінгл зауважив (Nature, September 1935), що й стати на думку Стерна, то даних для вирішення цілком достатньо і відповідь буде 1/3. Тут у бійку вступив Еддінгтон, опублікувавши (Mathemetical gazette, October 1935) статтю із докладним поясненням того, як він отримав свою відповідь. Суперечка завершилася ще двома статтями, що з'явилися в тому ж журналі, автор однієї з них виступив на захист Еддінгтона, а в іншій висувався погляд, відмінний від усіх колишніх.

Труднощі криються головним чином у розумінні еддінгтонівського формулювання. Якщо В, висловлюючи своє заперечення, говорить правду, чи можемо ми з достатньою підставою припускати, що Зсказав, що Dпромовив істину? Еддінгтон вважав, що підстав для такого припущення замало. Так само якщо Абреше, то чи можемо ми бути впевненими в тому, що Ві Звзагалі щось сказали? На щастя, ми можемо обійти всі ці мовні труднощі, прийнявши такі припущення (Еддінгтон їх не робив):

1. Ніхто з чотирьох не промовчав.

2. Висловлювання А, Ві З(кожного їх окремо) або підтверджують, або заперечують наступне його висловлювання.

3. Хибне твердження збігається зі своїм запереченням, а хибне заперечення збігається із твердженням.

Всі четверо брешуть незалежно один від одного з ймовірністю 1/3, тобто в середньому будь-які два з трьох їхніх висловлювань помилкові. Якщо правдиве висловлення позначити літерою І, А хибне - буквою Л, то для А, В, Сі Dми отримаємо таблицю, що складається з восьмидесяти однієї різної комбінації. З цього числа слід виключити ті комбінації, які неможливі через умови завдання.

Число допустимих комбінацій, що закінчуються буквою І(тобто правдивим – істинним – висловлюванням D), слід розділити на загальну кількість всіх допустимих комбінацій, що й дасть відповідь.

Формулювання завдання про мандрівника і двох тубільців слід було б уточнити. Мандрівник зрозумів, що слово «тарабара» мовою тубільців означає чи «так», чи «ні», але не зміг здогадатися, що саме. Це дозволило б попередити кілька листів, один із яких я наводжу нижче.

Високий тубільець, мабуть, не зрозумів жодного слова з того, що йому сказав (англійською мовою) мандрівник, і не міг відповісти «так» чи «ні» англійською. Тому його «тарабара» означає щось на кшталт: «Я не розумію» або «Ласкаво просимо до Бонго-Бонго». Отже, маленький тубільець брехав, кажучи, ніби його приятель відповів «так», а оскільки маленький був брехуном, то він брехав і тоді, коли назвав брехуном високого тубільця. Тому правдивим слід вважати високого тубільця.

Так жіноча логіка завдала удару моєму чоловічому марнославству. Чи не зачіпає вона трошки і ваше авторське самолюбство?

Відповіді

Перше логічне завдання найкраще вирішувати за допомогою трьох таблиць: однієї – для комбінацій імен та прізвищ дружин, другий – для імен та прізвищ чоловіків та третьої – для родинних зв'язків.

Оскільки місіс Уайт звуть Маргарет (умова 5), для імен двох інших дружин у нас залишаються тільки дві можливості: а) Елен Блейк та Беатріс Браун або б) Елен Браун та Беатріс Блейк.

Припустимо, що має місце друга з можливостей. Сестрою Уайта має бути або Елен, або Беатріс. Але Беатріс не може бути сестрою Уайна, тому що тоді братом Елен був би Блейк, а двома діверами Блейк виявилися б Уайт (брат його дружини) та Браун (чоловік його сестри); Беатріс ж Блейк не одружується з жодним з них, що суперечить умові 4. Отже, сестрою Уайта має бути Елен. Звідси ми укладаємо, що сестру Брауна звуть Беатріс, а сестру Блейка - Маргарет.

З умови 6 випливає, що містера Уайта звуть Артур (Браун не може бути Артуром, так як подібна комбінація означала б, що Беатріс красивіший за саму себе, а Блейк не може бути Артуром, оскільки з умови 5 нам відоме його ім'я: Вільям). Отже, містер Браун може бути лише Джоном. На жаль, з умови 7 бачимо, що Джон народився 1868 року (за 50 років до підписання мирного договору). Але 1868 рік - високосний, тому Елен повинна бути старшою за свого чоловіка на один день більше тих 26 тижнів, про які йдеться в умові 3. (З умови 4 ми знаємо, що вона народилася в січні, а з умови 3 - що її чоловік народився у серпні, вона могла б бути рівно на 26 тижнів старша за свого чоловіка, якби її день народження припадав на 31 січня, а його - на 1 серпня і якби між цими датами не було 29 лютого!) Отже, другу з можливостей, з Якою ми почали, слід відкинути, що дозволяє нам назвати імена дружин: Маргарет Уайт, Елен Блейк та Беатріс Браун. Жодної суперечності тут немає, оскільки ми не знаємо року народження Блейка. З умов завдання можна зробити висновок, що Маргарет - сестра Брауна, Беатріс - сестра Блейка, а Елен - сестра Вайта, але питання про те, як звуть Вайта та Брауна, залишається невирішеним.

У задачі з марками у ВЄ три можливості. Його марки можуть бути: 1) обидві червоними; 2) обидві зеленими; 3) одна зелена, а інша червона. Припустимо, що обидві марки – червоні.

Після того як усі троє відповіли по одному разу, Аможе міркувати так: «Марки у мене на лобі не можуть бути обидві червоними (бо тоді Зпобачив би чотири червоні марки і відразу дізнався б, що у нього на лобі дві зелені марки, а якби у Зобидві марки були зеленими, то В, побачивши чотири зелені марки, зрозумів би, що у нього на лобі дві червоні марки). Тому у мене на лобі одна зелена та одна червона марки».

Але коли Аспитали вдруге, він не знав, якого кольору його марки. Це дозволило Ввідкинути можливість того, що обидві його власні марки — червоні. Розмірковуючи так само, як і А, Ввиключив випадок, коли обидві його марки зелені. Отже, у нього залишилася єдина нагода: одна марка зелена, інша червона.

Декілька читачів швидко помітили, що завдання можна вирішити дуже швидко, не займаючись аналізом питань та відповідей. Ось що написав із цього приводу один із читачів: «Умови завдання повністю симетричні щодо червоних та зелених марок.

Тому, розподіливши марки між А, Ві Зз дотриманням всіх умов завдання та замінивши червоні марки зеленими та, навпаки, зелені червоними, ми прийдемо до іншого розподілу, для якого всі умови також будуть виконані. Звідси випливає, що якщо рішення єдине, воно має бути інваріантним (не повинно змінюватися) при заміні зелених марок на червоні, а червоних на зелені. Таким рішенням може бути тільки такий розподіл марок, при якому В буде одна зелена і одна червона марка ».

Як висловився декан математичного факультету Бруклінського коледжу У. Манхеймер, це витончене рішення виходить з тієї обставини, що досконало володіють логікою не А, Ві З(як про те сказано за умови завдання), а Реймонд Смалліан!

У задачі Еддінгтона ймовірність того, що Dкаже правду, становить 13/41. Усі комбінації істини і брехні, які містять непарне число разів брехня (або істину), слід відкинути як завдання, що суперечать умовам. В результаті кількість можливих комбінацій знижується з 81 до 41, з них лише 13 закінчуються правдивим висловлюванням. D. Оскільки А, Ві Зкажуть правду у випадках, які відповідають такому ж числу допустимих комбінацій, ймовірність сказати правду у всіх чотирьох однакова.

Використовуючи символ еквівалентності

що означає, що з'єднані ним висловлювання або обидва істинні, або обидва хибні (тоді хибне висловлювання істинно, інакше воно хибне), і символ заперечення ~, завдання Еддінгтона мовою обчислення висловлювань можна записати так:

або після деяких спрощень так:

Таблиця істинності цього виразу підтверджує вже отриману відповідь.

Примітки:

Те frustrate- засмучувати, робити щось марним, безнадійним, прирікати на невдачу (англ.).

розділ, присвячений Реймонду Смалліану в книзі М. Гарднера«Подорож у часі» (М: Мир, 1990).

Eddington A. New Pathways in Science. - Cambridge: 1935; Мічіган: 1959.

Вступ

Логіка – це Бог мислячих.

Л. Фейхтвангер

Вміння правильно міркувати необхідно у будь-якій галузі людської діяльності: науці та техніці, юстиції та дипломатії, плануванні економіки та військовій справі. І це вміння перегукується з найдавніших часів, логіка, тобто. наука у тому, які форми міркувань правильні, виникла трохи більше двох тисяч років тому. Вона була розвинена у VI ст. до н.е. у працях великого давньогрецького філософа Аристотеля, його учнів та послідовників.

У якийсь момент математики запитали: «У чому, власне, полягає математика, математична діяльність?» Проста відповідь полягає в тому, що математики доводять теореми, тобто з'ясовують деякі істини про реальний світ та «ідеальний математичний світ». Спроба відповісти на запитання, що таке математична теорема, математична істина і що таке математичне твердження істинно або доведено, це мережа вихідна точка математичної логіки. Ми повинні в школі навчитися аналізувати, порівнювати, виділяти головне, узагальнювати та систематизувати, доводити та спростовувати, визначати та пояснювати поняття, ставити та вирішувати проблеми. Опанування цими способами і означає вміння мислити. У науці доводиться шляхом міркувань виводити різноманітні формули, числові закономірності, правила, доводити теореми. Наприклад, у 1781 р. було відкрито планету Уран. Спостереження показали, що рух цієї планети відрізняється від теоретично обчисленого руху. Французький вчений Левер'є (1811-1877гг.), логічно розмірковуючи і виконавши досить складні обчислення, визначив вплив на Уран іншої планети та вказав місце знаходження. У 1846 р. астроном Галле підтвердив існування планети, яку назвали Нептун. При цьому вони використовували логіку математичних міркувань та обчислень.

Другою вихідною точкою наших розглядів є з'ясування того, що означає, що математична функція обчислювана і її можна обчислити за допомогою деякого алгоритму, формального правила точно описаної процедури. У цих двох вихідних постановок є багато спільного, вони природно поєднуються під загальною назвою «математична логіка», де під математичною логікою розуміється насамперед логіка математичних міркувань та математичних дій.

Я вибрала саме цю тему, тому що володіння елементами математичної логіки допоможе мені у моїй майбутній економічній професії. Адже маркетолог аналізує тенденціїринку,ціни, обсяг обороту та методи маркетингу, збирає дані про конкуруючі організації,видає поради. Для цього необхідно використовувати знання логіки.

Мета роботи: вивчити і використовувати можливості математичної логіки у вирішенні проблем у різних галузях та діяльності людини.

Завдання:

1. Проаналізувати літературу про сутність та виникнення математичної логіки.

2. Вивчити елементи математичної логіки.

3. Підібрати та вирішити задачі з елементами математичної логіки.

Методи: аналіз літератури, понять, метод аналогій у розв'язанні задач, самоспостереження.

1. З історії виникнення математичної логіки

Математична логіка тісно пов'язана з логікою та зобов'язана їй своїм виникненням. Основи логіки, науки про закони та форми людського мислення були закладені найбільшим давньогрецьким філософом Арістотелем (384-322 рр. до н. е.), який у своїх трактатах докладно досліджував термінологію логіки, докладно розібрав теорію висновків і доказів, описав ряд. сформулював основні закони мислення, у тому числі закони протиріччя та виключення третього. Внесок Арістотеля в логіку дуже великий, недарма інша її назва - арістотельова логіка. Ще сам Аристотель зауважив, що між створеною ним наукою та математикою (тоді вона називалася арифметикою) багато спільного. Він намагався поєднати ці дві науки, а саме звести роздум, або, вірніше, висновок, до обчислення на підставі вихідних положень. В одному зі своїх трактатів Арістотель впритул наблизився до одного з розділів математичної логіки – теорії доказів.

Надалі багато філософів і математиків розвивали окремі положення логіки і іноді навіть намічали контури сучасного обчислення висловлювань, але найближче до створення математичної логіки підійшов вже в другій половині XVII століття видатний німецький вчений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 - 1716). «Зі словесного царства, повного невизначеностей, в царство математики, де відносини між об'єктами або висловлюваннями визначаються точно». Лейбніц сподівався навіть, що в майбутньому філософи, замість безплідно сперечатися, братимуть папір і обчислюватимуть, хто з них має рацію. При цьому у своїх роботах Лейбніц торкався і двійкової системи числення. Слід зазначити, що ідея використання двох символів кодування інформації дуже стара. Австралійські аборигени вважали двійками, деякі племена мисливців-збирачів Нової Гвінеї та Південної Америки також користувалися двійковою системою рахунку. У деяких африканських племенах передають повідомлення з допомогою барабанів як комбінацій дзвінких і глухих ударів. Знайомий усім приклад двосимвольного кодування - азбука Морзе, де літери алфавіту представлені певними поєднаннями точок та тире. Після Лейбніца дослідження в цій галузі вели багато видатних учених, проте справжній успіх прийшов тут до англійського математика-самоучки Джорджа Буля (1815-1864), його цілеспрямованість не знала кордонів.

Матеріальне становище батьків Джорджа (батько якого був шевським майстром) дозволило йому закінчити лише початкову школу для бідняків. Згодом Буль, змінивши кілька професій, відкрив маленьку школу, де сам викладав. Він багато часу приділяв самоосвіті і незабаром захопився ідеями символічної логіки. У 1847 році Буль опублікував статтю «Математичний аналіз логіки, або Досвід обчислення дедуктивних умов», а в 1854 році з'явилася головна його праця «Дослідження законів мислення, на яких засновані математичні теорії логіки та ймовірностей». Буль винайшов своєрідну алгебру - систему позначень і правил, що застосовується до різноманітних об'єктів, від чисел та букв до речень. Користуючись цією системою, він міг закодувати висловлювання (ствердження, істинність чи хибність яких потрібно довести) за допомогою символів своєї мови, а потім маніпулювати ними, подібно до того, як у математиці маніпулюють числами. Основними операціями булевої алгебри є кон'юнкція (І), диз'юнкція (АБО) та заперечення (НЕ). Через деякий час стало зрозуміло, що система Буля добре підходить для опису електричних схем перемикання. Струм у ланцюгу може або протікати, або бути відсутнім, подібно до того, як твердження може бути або істинним, або помилковим. А ще через кілька десятиліть, вже в XX столітті, вчені об'єднали створений Джорджем Булем математичний апарат з двійковою системою числення, заклавши тим самим основи для розробки цифрового електронного комп'ютера. Окремі положення робіт Буля тією чи іншою мірою торкалися і до, і після нього іншими математиками та логіками. Однак сьогодні у цій галузі саме праці Джорджа Буля зараховуються до математичної класики, а сам він по праву вважається засновником математичної логіки і тим більше найважливіших її розділів – алгебри логіки (бульової алгебри) та алгебри висловлювань.

Великий внесок у розвиток логіки зробили і російські вчені П.С. Порецький (1846-1907), І.І. Жегалкін (1869-1947).

У XX столітті величезну роль розвитку математичної логіки зіграв

Д. Гільберт (1862-1943), який запропонував програму формалізації математики, пов'язану з розробкою основ самої математики. Нарешті, в останні десятиліття XX століття бурхливий розвиток математичної логіки був зумовлений розвитком теорії алгоритмів та алгоритмічних мов, теорії автоматів, теорії графів (С.К. Кліні, А. Черч, А.А Марков, П.С. Новіков та багато інших) .

У середині XX століття розвиток обчислювальної техніки призвело до появи логічних елементів, логічних блоків та пристроїв обчислювальної техніки, що було пов'язано з додатковою розробкою таких галузей логіки, як проблеми логічного синтезу, логічне проектування та логічного моделювання логічних пристроїв та засобів обчислювальної техніки. У 80-х роках XX століття почалися дослідження в галузі штучного інтелекту на базі мов та систем логічного програмування. Почалося і створення експертних систем з використанням та розвитком автоматичного доказу теорем, а також методів доказового програмування для верифікації алгоритмів та програм для ЕОМ. У 80-ті роки почалися також зміни освіти. Поява персональних комп'ютерів у середніх школах призвела до створення підручників інформатики з вивченням елементів математичної логіки для пояснення логічних принципів роботи логічних схем та пристроїв обчислювальної техніки, а також принципів логічного програмування для комп'ютерів п'ятого покоління та розробка підручників інформатики з вивчення мови. .

1. Основи теорії множин

Поняття множини - одна із тих фундаментальних понять математики, яким важко дати точне визначення, використовуючи елементарні поняття. Тому обмежимося описовим поясненням поняття множини.

Безліч називається сукупність певних цілком розрізняються об'єктів, що розглядаються як єдине ціле. Творець теорії множин Георг Кантор давав наступне визначення множини - «множина є багато, мислиме нами як ціле».

Окремі об'єкти, з яких складається безліч, називаютьсяелементами множини.

Безліч прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту, а елементи цих множин - маленькими літерами латинського алфавіту. Багато записуються у фігурних дужках ( ).

Прийнято використовувати такі позначення:

a∈ X - «елемент a належить множині X»;

a∉ X - «елемент a не належить множині X»;

∀ - квантор довільності, спільності, що означає «будь-який», «який би не був», «для всіх»;

∃ - квантор існування:∃ y∈ B - «існує (знайдеться) елемент y з множини B»;

∃! - квантор існування та єдиності:∃ !b∈ C - «є єдиний елемент b з множини C»;

: - «такий, що; що володіє властивістю»;

→ - символ слідства означає «тягне за собою»;

⇔ - квантор еквівалентності, рівносильності – «тоді й тільки тоді».

Безліч буваєкінцеві та нескінченні . Множини називаютьсякінцевим якщо кількість його елементів звичайно, тобто. якщо є натуральне число n, є числом елементів множини. А = (a 1 , a 2 ,a 3 , ..., a n ). Безліч називаєтьсянескінченним якщо воно містить нескінченну кількість елементів. B=(b 1 ,b 2 ,b 3 , ...). Наприклад, безліч літер російського алфавіту – кінцева множина. Безліч натуральних чисел - безліч.

Число елементів у кінцевій множині M називається потужністю множини M і позначається | M |.Пусте безліч - безліч, що не містить жодного елемента -∅ . Дві множини називаютьсярівними , якщо вони складаються з тих самих елементів, тобто. є одне і теж безліч. Множини не рівні X ≠ Y, якщо в Х є елементи, що не належать Y, або в Y є елементи, що не належать Х. Символ рівності множин має властивості:

Х = Х; - рефлексивність

якщо Х = Y, Y = X - симетричність

якщо X = Y, Y = Z, то X = Z - транзитивність.

Відповідно до такого визначення рівності множин ми природно отримуємо, що всі порожні множини рівні між собою або що те саме, що існує тільки одна порожня множина.

Підмножини. Відношення включення.

Безліч Х є підмножиною множини Y, якщо будь-який елемент множини Х∈ та множині Y. Позначається X⊆ Y.

Якщо необхідно підкреслити, що Y містить інші елементи, крім елементів з Х, то використовують символ строгого включення⊂ : X ⊂ Y. Зв'язок між символами⊂ і ⊆ дається виразом:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y та X≠Y

Зазначимо деякі властивості підмножини, що випливають із визначення:

X⊆ Х (рефлексивність);

→ X⊆ Z (транзитивність);

Вихідна множина А по відношенню до його підмножин називаєтьсяповним множиною і позначається I.

Будь-яке підмножина А i множини А називається власною множиною А.

Безліч, що складаються з усіх підмножин даної множини Х і порожньої множини∅ , називається булеаном Х та позначається β(Х). Потужність булеану | β (Х) | = 2 n.

Рахункова безліч- це така безліч А, всі елементи якого можуть бути занумеровані в послідовність (м.б. нескінченну) 1, а 2, а 3, ..., а n , ... так, щоб при цьому кожен елемент отримав один номер n і кожне натуральне число n було б як номер дано одному і лише одному елементу нашої множини.

Безліч, еквівалентне безлічі натуральних чисел, називається лічильною множиною.

приклад. Безліч квадратів цілих чисел 1, 4, 9, ..., n 2 є лише підмножина безлічі натуральних чисел N. Множина є лічильним, тому що наводиться у взаємно однозначні відповідності з натуральним рядом шляхом приписування кожному елементу номера того числа натурального ряду, квадратом якого він є.

Існує 2 основних способи завдання множин.

перерахуванням (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 m 2 m 3 ,..,m n });

описом - вказується характерна властивість, якою володіють всі елементи множини.

Безліч повністю визначено своїми елементами.

Перерахуванням можна задати лише кінцеві множини (наприклад, безліч місяців на рік). Нескінченні множини можна задати лише описом властивостей його елементів (наприклад, безліч раціональних чиселможна задати описом Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Способи завдання множини описом:

а) завданням процедури, що породжуєіз зазначенням множини (множин), що пробігає параметр (параметри) цієї процедури - рекурсивний, індуктивний.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k = 1,2,3, ...) - мн-во чисел Фібоніччі.

(мн-во елементів х, таких, що х 1 = 1, х 2 =1 і довільне х k+1 (при к=1,2,3,...) обчислюється за такою формулою х k+2 =х k +х k+1 ) або Х=)