Від абстрактності математичних понять часом настільки віє і відстороненістю, що мимоволі виникає думка: «Навіщо це все?». Але, попри перше враження, всі теореми, арифметичні операції, функції тощо. - Не більше, ніж бажання задовольнити насущні потреби. Особливо чітко це можна побачити з прикладу появи різних множин.
Все почалося з натуральних чисел. І, хоча, навряд чи зараз хтось зможе відповісти, як це було, але швидше за все, ноги у цариці наук ростуть звідкись із печери. Тут, аналізуючи кількість шкур, каміння та одноплемінників, людина безліч «чисел для рахунку». І цього йому вистачило. До якогось моменту, звісно ж.
Далі потрібно було шкури та каміння ділити та віднімати. Так виникла потреба в арифметичних операціях, а разом з ними і раціональних, які можна визначити як дріб типу m/n, де, наприклад, m – кількість шкур, n – кількість одноплемінників.
Здавалося б, вже відкритого математичного апарату цілком достатньо, щоб тішитися життям. Але незабаром виявилося, що випадки, коли результат не те, що не ціле число, але навіть не дріб! І, дійсно, квадратний корінь із двох ніяк інакше не висловити за допомогою чисельника та знаменника. Або, наприклад, усім відоме число Пі, відкрите давньогрецьким вченим Архімедом, так само не є раціональним. І таких відкриттів з часом стало настільки багато, що всі «раціоналізації» числа, що не піддаються, об'єднали і назвали ірраціональними.
Властивості
Розглянуті раніше множини належать набору фундаментальних понять математики. Це означає, що їх не вдасться визначити через простіші математичні об'єкти. Але це можна зробити за допомогою категорій (з грец. «Висловлювання») або постулатів. У разі найкраще було позначити властивості даних множин.
o Ірраціональні числа визначають Дедекіндові перерізи в безлічі раціональних чисел, у яких у нижньому немає найбільшого, а у верхньому немає найменшого числа.
o Кожне трансцендентне число є ірраціональним.
o Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним.
o Безліч ірраціональних чисел усюди щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число.
o Безліч ірраціональних чисел незліченна, є безліччю другої категорії Бера.
o Це безліч впорядковане, тобто для кожних двох різних раціональних чисел a і b можна вказати, яке їх менше іншого.
o Між кожними двома різними раціональними числами існує ще принаймні одне раціональне число, а отже, і безліч раціональних чисел.
o Арифметичні дії (складання, віднімання, множення і розподіл) над будь-якими двома раціональними числами завжди можливі і дають у результаті певне раціональне число. Винятком є поділ на нуль, який неможливий.
o Кожне раціональне число може бути представлене у вигляді десяткового дробу (кінцевого або нескінченного періодичного).
Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I (\displaystyle \mathbb (I) )у напівжирному контурі без заливки. Таким чином: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.
Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, несумірних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.
Енциклопедичний YouTube
-
1 / 5
Іраціональними є:
Приклади доказу ірраціональності
Корінь з 2
Допустимо неприємне: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))раціональний, тобто представляється у вигляді дробу m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), де m (\displaystyle m)- ціле число, а n (\displaystyle n)- натуральне число .
Зведемо передбачувану рівність у квадрат:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).Історія
Античність
Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками у VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. – бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені [ ] .
Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппас з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е.), піфагорійця. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок [ ] .
Немає точних даних про те, ірраціональність якого числа було підтверджено Гіппасом. Згідно з легендою, він знайшов його вивчаючи довжини сторін пентаграми. Тому розумно припустити, що це було золоте перетин [ ] .
Грецькі математики назвали це відношення непорівнянних величин алогос(невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.
З відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа .
Іраціональними є:
Приклади доказу ірраціональності
Корінь з 2
Допустимо неприємне: раціональний , тобто представляється у вигляді нескоротного дробу , де і - цілі числа . Зведемо передбачувану рівність у квадрат:
.Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді
Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і – ірраціональне число.
Двійковий логарифм 3
Допустимо неприємне: раціональний , тобто представляється у вигляді дробу , де і - цілі числа . Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді
Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.
e
Історія
Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками у VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. – бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.
Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 р. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас обгрунтував, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що й гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить цілу кількість одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:
- Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
- За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
- Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
- Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
- Так як aпарне, позначимо a = 2y.
- Тоді a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
- Проте було доведено, що bнепарне. Протиріччя.
Грецькі математики назвали це відношення непорівнянних величин алогос(невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.
Див. також
Примітки
Числові системи Рахункові
множиниНатуральні числа () Усі раціональні числа можна у вигляді звичайного дробу. Це стосується і цілих чисел (наприклад, 12, -6, 0), і кінцевих десяткових дробів (наприклад, 0,5; -3,8921) і нескінченних періодичних десяткових дробів (наприклад, 0,11 (23); -3 , (87)).
Проте нескінченні неперіодичні десяткові дробиуявити у вигляді звичайних дробів неможливо. Вони то й є ірраціональними числами(тобто нераціональними). Приклад такого числа є число π, яке приблизно дорівнює 3,14. Однак чому воно точно одно, визначити не можна, так як після цифри 4 йде нескінченний ряд інших цифр, в яких не можна виділити періоди, що повторюються. При цьому, хоча число π не можна точно виразити, він має конкретний геометричний сенс. Число π – це відношення довжини будь-якого кола до довжини її діаметра. Таким чином, ірраціональні числа дійсно існують у природі, також як раціональні.
Іншим прикладом ірраціональних чисел можуть бути квадратні корені з позитивних чисел. Вилучення коріння з одних чисел дає раціональні значення, з інших - ірраціональне. Наприклад, √4 = 2, тобто корінь із 4 - це раціональне число. А ось √2, √5, √7 та багато інших дають у результаті ірраціональні числа, тобто їх можна витягти лише з наближенням, округливши до певного знака після коми. При цьому дріб виходить неперіодичним. Тобто не можна точно і точно сказати, чому дорівнює корінь з цих чисел.
Так √5 - це число, що лежить між числами 2 і 3, так як √4 = 2, а √9 = 3. Можна також зробити висновок, що √5 ближче до 2, ніж до 3, т. к. √4 ближче до √5, ніж √9 до √5. Справді, √5 ≈ 2,23 або √5 ≈ 2,24.
Ірраціональні числа виходять також в інших обчисленнях (а не тільки при вилученні коріння), бувають негативними.
По відношенню до ірраціональних чисел можна сказати, що який би одиничний відрізок ми не взяли для вимірювання довжини, вираженої таким числом, ми не зможемо її виміряти.
В арифметичних операціях ірраціональні числа можуть брати участь поряд із раціональними. При цьому є низка закономірностей. Наприклад, якщо в арифметичній операції беруть участь лише раціональні числа, то в результаті завжди виходить раціональне число. Якщо ж операції беруть участь лише ірраціональні, то сказати однозначно, чи вийде раціональне чи ірраціональне число, не можна.
Наприклад, якщо помножити два ірраціональні числа √2 * √2, то вийде 2 – це раціональне число. З іншого боку, √2 * √3 = √6 – це ірраціональне число.
Якщо в арифметичній операції бере участь раціональне та ірраціональне числа, то вийде ірраціональний результат. Наприклад, 1 + 3,14 ... = 4,14 ...; √17 – 4.
Чому √17 – 4 – це ірраціональне число? Припустимо, що вийде раціональне число x. Тоді √17 = x + 4. Але x + 4 – це раціональне число, тому що ми припустили, що x раціональне. Число 4 також раціональне, значить x + 4 раціонально. Однак раціональне число не може бути рівним до ірраціонального √17. Тому припущення, що √17 – 4 дає раціональний результат не так. Результат арифметичної операції буде ірраціональним.
Однак із цього правила є виняток. Якщо ми множимо ірраціональне число 0, то вийде раціональне число 0.
Визначення ірраціонального числа
Ірраціональними називають такі числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами.
Так, наприклад, числа, отримані шляхом отримання квадратного кореня з натуральних чисел, є ірраціональними і не є квадратами натуральних чисел. Але не всі ірраціональні числа отримують шляхом вилучення квадратного коріння, адже отримане методом розподілу, число «пі», також є ірраціональним, і його ви навряд чи отримаєте, намагаючись витягти квадратний корінь з натурального числа.
Властивості ірраціональних чисел
На відміну від чисел, записаних нескінченним десятковим дробом, лише ірраціональні числа записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
Сума двох неотрицательных ірраціональних чисел у результаті то, можливо раціональним числом.
Ірраціональні числа визначають дедекіндові перерізи у безлічі раціональних чисел, у нижньому класі у яких немає самого великої кількості, а верхньому немає меншого.
Будь-яке речовинне трансцендентне число є ірраціональним.
Усі ірраціональні числа є або алгебраїчними, або трансцендентними.
Багато ірраціональних чисел на прямій розташовуються щільно, і між його будь-якими двома числами обов'язково знайдеться ірраціональне число.
Безліч ірраціональних чисел нескінченно, незліченно і є безліччю 2-ї категорії.
За виконання будь-якої арифметичної операції з раціональними числами, крім розподілу на 0, його результатом буде раціональне число.
При складанні раціонального числа з ірраціональним, у результаті виходить ірраціональне число.
При додаванні ірраціональних чисел у результаті ми можемо отримати раціональне число.
Безліч ірраціональних чисел не є парним.Числа, які не є ірраціональними
Іноді досить складно відповісти на питання, чи є число ірраціональним, особливо у випадках, коли число має вигляд десяткового дробу або у вигляді числового виразу, кореня чи логарифму.
Тому не зайвим буде знати, які числа не належать до ірраціональних. Якщо слідувати визначення ірраціональних чисел, то ми вже відомо, що раціональні числа не можуть бути ірраціональними.
Ірраціональними числами не є:
По-перше, усі натуральні числа;
По-друге, цілі числа;
По-третє, звичайні дроби;
По-четверте, різні змішані числа;
По-п'яте, це нескінченні періодичні десяткові дроби.Крім всього перерахованого, ірраціональним числом не може бути будь-яка комбінація раціональних чисел, яка виконується знаками арифметичних операцій, як +, -, , :, тому що при цьому підсумком двох раціональних чисел буде також раціональне число.
А тепер подивимося, які з чисел є ірраціональними:
А чи відомо вам про існування фан-клубу, де шанувальники цього загадкового математичного феномену шукають нові відомості про Пі, намагаючись розгадати його таємницю. Членом цього клубу може бути сталь будь-яка людина, яка знає напам'ять певну кількість чисел Пі після коми;
Чи знаєте ви, що в Німеччині під охороною ЮНЕСКО знаходиться палац Кастадель Монте, завдяки пропорціям якого можна вирахувати Пі. Цілий палац присвятив цьому числу король Фрідріх II.
Виявляється, число Пі намагалися використати під час будівництва Вавилонської вежі. Але на превеликий жаль, це призвело до краху проекту, тому що на той момент було недостатньо вивчене точне обчислення значення Пі.
Співачка Кейт Буш у своєму новому диску записала пісню під назвою «Пі», в якій прозвучало сто двадцять чотири числа зі знаменитого числового ряду 3, 141.
Завантаження...
