У кожній матриці можна пов'язати два ранги: рядковий ранг (ранг системи рядків) та стовпцевий ранг (ранг системи стовпців).
Теорема
Рядковий ранг матриці дорівнює її стовпцевому рангу.
Ранг матриці
Визначення
Рангом матриці$A$ називається ранг її системи рядків чи стовпців.
Позначається $\operatorname(rang) A$
Насправді знаходження рангу матриці використовують таке твердження: ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків після приведення матриці до ступінчастому виду.
Елементарні перетворення над рядками (стовпцями) матриці не змінюють її рангу.
Ранг ступінчастої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.
Приклад
Завдання.Знайти ранг матриці $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $
Рішення.За допомогою елементарних перетворень над її рядками наведемо матрицю $A$ до ступінчастого вигляду. Для цього спочатку від третього рядка заберемо дві другі:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Від другого рядка віднімаємо четвертий рядок, помножений на 4; від третьої – дві четверті:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
До другого рядка додамо п'ять перших, до третього - три треті:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Міняємо місцями перший і другий рядки:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Відповідь.$ \operatorname(rang) A = 2 $
Метод облямівки мінорів
На цій теоремі базується ще один метод знаходження рангу матриці. метод облямування мінорів. Суть цього методу полягає у знаходженні мінорів, починаючи з нижчих порядків та рухаючись до вищих. Якщо мінор $n$-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори $n+1$-го дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюватиме $n$ .
Приклад
Завдання.Знайти ранг матриці $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ , використовуючи метод облямування мінорів.
Рішення.Мінорами мінімального порядку є мінори першого порядку, які дорівнюють елементам матриці $A$ . Розглянемо, наприклад, мінор $M_(1)=1\neq0$. розташований у першому рядку та першому стовпці. Облямовуємо його за допомогою другого рядка та другого стовпця, отримуємо мінор $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; розглянемо ще один мінор другого порядку, для цього мінор $M_1$ обрамляємо за допомогою другого рядка та третього стовпця, тоді маємо мінор $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , тобто ранг матриці не менше двох. Далі розглядаємо мінори третього порядку, які облямовують мінор $ M_(2)^(2) $ . Таких мінорів два: комбінація третього рядка з другим стовпцем або з четвертим стовпцем. Обчислюємо ці мінори.
Будь-яка матриця Aпорядку m×nможна розглядати як сукупність mвекторів рядків або nвекторів стовпців.
Рангомматриці Aпорядку m×nназивається максимальна кількість лінійно-незалежних векторів стовпців або векторів рядків.
Якщо ранг матриці Aдорівнює r, То пишеться:
Знаходження рангу матриці
Нехай Aдовільна матриця порядку m× n. Для знаходження рангу матриці Aзастосуємо до неї спосіб виключення Гауса.
Відзначимо, що якщо на якомусь етапі виключення провідний елемент виявиться рівним нулю, то міняємо місцями цей рядок з рядком, в якому провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо виявиться, що немає такого рядка, то переходимо до наступного стовпця тощо.
Після прямого ходу виключення Гауса отримаємо матрицю, елементи якої під головною діагоналлю дорівнюють нулю. Крім цього, можуть виявитися нульові вектори рядка.
Кількість ненульових векторів рядків і буде рангом матриці A.
Розглянемо це на простих прикладах.
приклад 1.
Помноживши перший рядок на 4 і додавши до другого рядка та помноживши перший рядок на 2 та додавши до третього рядка маємо:
Другий рядок помножимо на -1 і додамо до третього рядка:
Отримали два ненульові рядки і, отже, ранг матриці дорівнює 2.
приклад 2.
Знайдемо ранг наступної матриці:
Помножимо перший рядок на -2 і додамо до другого рядка. Аналогічно обнулили елементи третього та четвертого рядка першого стовпця:
Обнуливши елементи третього та четвертого рядків другого стовпця додаючи відповідні рядки до другого рядка помноженого на число -1.
Розглянемо прямокутну матрицю. Якщо у цій матриці виділити довільно kрядків та kстовпців, то елементи, що стоять на перетині виділених рядків та стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінором k-го порядкуматриці А. Очевидно, що матриця А має мінори будь-якого порядку від 1 до найменшого з чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться, принаймні, один мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший із порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангомматриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, то це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор порядку, більшого ніж r, дорівнює нулю. Ранг матриці позначається через r(A). Очевидно, що виконується співвідношення
Обчислення рангу матриці за допомогою мінорів
Ранг матриці знаходиться або методом облямівки мінорів, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом слід переходити від мінорів нижчих порядків до мінорів вищого порядку. Якщо вже знайдено мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінор (k+1)-го порядку, що облямовують мінор D, тобто. що містять його як мінор. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k.
приклад 1.Знайти методом облямівки мінорів ранг матриці
.
Рішення.Починаємо з мінорів 1-го порядку, тобто. з елементів матриці А. Виберемо, наприклад, мінор (елемент) М 1 = 1, розташований у першому рядку та першому стовпці. Облямуючи за допомогою другого рядка і третього стовпця, отримуємо мінор M 2 = відмінний від нуля. Переходимо тепер до мінорів 3-го порядку, що облямовує М 2 . Їх лише два (можна додати другий стовпець або четвертий). Обчислюємо їх: 
=
0. Таким чином, всі мінери третього порядку, що облямовують, виявилися рівними нулю. Ранг матриці А дорівнює двом.
Обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетворень
Елементарниминазиваються такі перетворення матриці:
1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпців),
2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,
3) додавання до одного рядка (або стовпця) іншого рядка (або стовпця), помноженого на деяке число.
Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них виходить з іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.
Еквівалентні матриці є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і еквівалентні, це записується так: A~ B.
Канонічноїматрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад,
.
За допомогою елементарних перетворень рядків та стовпців будь-яку матрицю можна призвести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює кількості одиниць на її головній діагоналі.
Приклад 2Знайти ранг матриці
та привести її до канонічного вигляду.
Рішення.З другого рядка віднімемо перший і переставимо ці рядки:
.
Тепер з другого та третього рядків віднімемо перший, помножений відповідно на 2 та 5:
;
з третього рядка віднімемо перший; отримаємо матрицю
яка еквівалентна матриці А, оскільки отримана з неї за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці дорівнює 2, а отже, і r(A)=2. Матрицю легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, крім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:
.
Визначення. Рангом матриціназивається максимальне число лінійно незалежних рядків, що розглядаються як вектори.
Теорема 1 про ранг матриці. Рангом матриціназивається максимальний порядок відмінного від нуля мінора матриці.
Поняття мінора ми вже розбирали на уроці за визначниками, а зараз узагальнимо його. Візьмемо в матриці скільки рядків і скільки стовпців, причому це "скільки-то" має бути менше числа рядків і стовпців матриці, а для рядків і стовпців це "скільки-то" має бути одним і тим же числом. Тоді на перетині скільки рядків і скільки стовпців виявиться матриця меншого порядку, ніж наша вихідна матриця. Визначник це матриці і буде мінором k-го порядку, якщо згадане "скількись" (кількість рядків і стовпців) позначимо через k.
Визначення.Мінор ( r+1)-го порядку, всередині якого лежить обраний мінор r-го порядку, називається називається облямовуючим для даного мінору.
Найчастіше використовуються два способи відшукання рангу матриці. Це спосіб окаймляючих міноріві спосіб елементарних перетворень(Методом Гауса).
При способі облямівних мінорів використовується наступна теорема.
Теорема 2 про ранг матриці.Якщо з елементів матриці можна скласти мінор r-го порядку, не рівний нулю, то ранг матриці дорівнює r.
При способі елементарних перетворень використовується така властивість:
Якщо шляхом елементарних перетворень отримано трапецієподібну матрицю, еквівалентну вихідній, то рангом цієї матриціє число рядків у ній крім рядків, що повністю складаються з нулів.
Знаходження рангу матриці способом обрамляють мінорів
Облямовуючим мінором називається мінор більшого порядку по відношенню до даного, якщо цей мінорм більшого порядку містить у собі мінор.
Наприклад, дана матриця
Візьмемо мінор
оздоблюватимуть такі мінори:
Алгоритм знаходження рангу матрицінаступний.
1. Знаходимо не рівні нулю мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюватиме одиниці ( r =1 ).
2. Якщо існує хоча б один мінор другого порядку, не рівний нулю, то складаємо мінеральні мінори третього порядку. Якщо всі облямівні мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом ( r =2 ).
3. Якщо хоча б один з облямовливих мінорів третього порядку не дорівнює нулю, то складаємо мінори, що його облямовують. Якщо всі облямівні мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює трьом ( r =2 ).
4. Продовжуємо так, поки дозволяє розмір матриці.
приклад 1.Знайти ранг матриці
.
Рішення. Мінор другого порядку 
.
Облямовуємо його. Окаймляючих мінорів буде чотири:
,
,
Таким чином, усі обрамляючі мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг даної матриці дорівнює двом ( r =2 ).
приклад 2.Знайти ранг матриці
Рішення. Ранг даної матриці дорівнює 1, так як всі мінори другого порядку цієї матриці дорівнюють нулю (у цьому, як і у випадках обрамляють мінорів у двох наступних прикладах, дорогим студентам пропонується переконатися самостійно, можливо, використовуючи правила обчислення визначників), а серед мінорів першого порядку тобто серед елементів матриці, є не рівні нулю.
Приклад 3.Знайти ранг матриці
Рішення. Мінор другого порядку цієї матриці , у всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю. Отже, ранг цієї матриці дорівнює двом.
Приклад 4.Знайти ранг матриці
Рішення. Ранг цієї матриці дорівнює 3, так як єдиний мінор третього порядку цієї матриці дорівнює 3.
Знаходження рангу матриці способом елементарних перетворень (методом Гауса)
Вже на прикладі 1 видно, що завдання визначення рангу матриці способом обрамляють мінорів вимагає обчислення великої кількостівизначників. Існує, однак, спосіб, що дозволяє звести обсяг обчислень до мінімуму. Цей спосіб заснований на використанні елементарних перетворень матриць і називається також методом Гауса.
Під елементарними перетвореннямиматриці розуміються такі операції:
1) множення будь-якого рядка або якогось стовпця матриці на число, відмінне від нуля;
2) додавання до елементів будь-якого рядка або будь-якого стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, помножених на те саме число;
3) зміна місцями двох рядків чи стовпців матриці;
4) видалення "нульових" рядків, тобто таких, всі елементи яких дорівнюють нулю;
5) видалення всіх пропорційних рядків, крім одного.
Теорема.При елементарному перетворенні ранг матриці змінюється. Іншими словами, якщо ми є елементарними перетвореннями від матриці Aперейшли до матриці B, то.
Завантаження...
