зворотна матриця- це матриця A −1при множенні на яку задана початкова матриця Aдає в результаті одиничну матрицю E:
АA −1 = A −1 A =E.
Метод зворотної матриці.
Метод зворотної матриці- це один з найпоширеніших методів вирішення матриць і застосовується для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) у випадках, коли число невідомих відповідає кількості рівнянь.
Нехай є система nлінійних рівнянь з nневідомими:
Таку систему можна записати як матричне рівняння A* X = B,
де 
- матриця системи,
- стовпець невідомих,
- Стовпець вільних коефіцієнтів.
З виведеного матричного рівняння виражаємо X шляхом множення обох частин матричного рівняння зліва A -1, внаслідок чого маємо:
A -1 * A * X = A -1 * B
Знаючи, що A -1 * A = Eтоді E * X = A -1 * Bабо X = A -1 * B.
Наступним кроком визначається зворотна матриця A -1і множиться на стовпець вільних членів B.
Зворотня матриця до матриці Aіснує лише тоді, коли det A≠ 0 . Зважаючи на це при вирішенні СЛАУ методом зворотної матриці насамперед перебуває det A. Якщо det A≠ 0 , то система має тільки одне рішення, яке можна отримати методом зворотної матриці, якщо ж det A = 0, то така система методом зворотної матриціне наважується.
Вирішення зворотної матриці.
Послідовність дій для рішення зворотної матриці:
- Отримуємо визначник матриці A. Якщо визначник більший за нуль, вирішуємо зворотну матрицю далі, якщо він дорівнює нулю, то тут зворотну матрицю знайти не вдасться.
- Знаходимо транспоновану матрицю AT.
- Шукаємо додатки алгебри, після чого замінюємо всі елементи матриці їх алгебраїчними доповненнями.
- Збираємо зворотну матрицю з додатків алгебри: всі елементи отриманої матриці ділимо на визначник вихідно заданої матриці. Підсумкова матриця буде шуканою зворотною матрицею щодо вихідної.
Наведений нижче алгоритм рішення зворотної матриціпо суті такий самий, як і наведений вище, різниця лише за кілька кроків: насамперед визначаємо алгебраїчні доповнення, а вже після цього обчислюємо союзну матрицю C.
- Зрозуміти, чи квадратна дана матриця. Що стосується негативного відповіді стає ясно, що зворотної матриці не може бути.
- Зрозуміти, чи квадратна дана матриця. Що стосується негативного відповіді стає ясно, що зворотної матриці не може бути.
- Обчислюємо додатки алгебри.
- Складаємо союзну (взаємну, приєднану) матрицю C.
- Складаємо зворотну матрицю з додатків алгебри: всі елементи приєднаної матриці Cділимо на визначник початкової матриці. Підсумкова матриця буде шуканою зворотною матрицею щодо заданої.
- Перевіряємо виконану роботу: множимо початкову та отриману матриці, результатом має стати одинична матриця.
Це краще робити за допомогою приєднаної матриці.
Теорема: Якщо до квадратної матриці з правої сторониприписати одиничну матрицю такого ж порядку і за допомогою елементарних перетворень над рядками перетворити початкову матрицю, що стоїть зліва, на одиничну, то отримана з правого боку буде зворотною до початкової.
Приклад знаходження зворотної матриці.
Завдання. Для матриці 
знайти зворотну методом приєднаної матриці.
Рішення. Дописуємо до заданої матриці Асправа одиничну матрицю 2-го порядку:
З 1-го рядка віднімаємо 2:
Від другого рядка віднімаємо 2 перших:
Для того, щоб знайти зворотну матрицю онлайн, вам потрібно вказати розмір самої матриці. Для цього клацніть на іконки «+» або «-» доти, доки значення кількості стовпців та рядків вас не влаштує. Далі введіть у поля потрібні елементи. Нижче знаходиться кнопка "Обчислити" - натиснувши її, ви отримаєте на екрані відповідь з докладним рішенням.
У лінійній алгебрі часто доводиться стикатися з процесом обчислення зворотної матриці. Вона існує тільки для невиражених матриць і для квадратних матриць за умови відмінного від нуля детермінанту. В принципі, розрахувати її не є особливою складністю, особливо якщо ви маєте справу з невеликою матрицею. Але якщо потрібні складніші розрахунки або ретельна перевірка свого рішення, краще скористайтеся даним онлайн калькулятором. З його допомогою ви оперативно та з високою точністю вирішите зворотну матрицю.
За допомогою даного онлайн калькулятора ви зможете значно полегшити собі завдання щодо розрахунків. Крім того, він допомагає закріпити матеріал, отриманий теоретично – це своєрідний тренажер для мозку. Не варто розглядати його як заміну обчисленням вручну, він може дати вам набагато більше, полегшивши розуміння самого алгоритму. До того ж, зайва перевірка себе ніколи не завадить.
Знаходження зворотної матриці – процес, що складається з досить простих дій. Але ці дії повторюються так часто, що процес виходить досить тривалим. Головне – не втратити увагу при вирішенні.
При вирішенні найпоширенішим методом - додатків алгебри - знадобиться:
Під час вирішення прикладів ми розберемо ці дії докладніше. А поки що дізнаємося, що говорить теорія про зворотну матрицю.
Для зворотної матриці існує доречна аналогія зі зворотним числом. Для кожного числа a, не рівного нулю, існує таке число b, що твір aі bодно одиниці: ab= 1. Число bназивається зворотним для числа b. Наприклад, число 7 зворотним є число 1/7, оскільки 7*1/7=1.
Зворотною матрицею , яку потрібно знайти для цієї квадратної матриці А, називається така матриця
твір на яку матриці Асправа є одиничною матрицею, тобто,
. (1)
Одиничною матрицею називається діагональна матриця, яка має всі діагональні елементи рівні одиниці.
Знаходження зворотної матриці- завдання, яке найчастіше вирішується двома методами:
- методом алгебраїчних доповнень, при якому, як було помічено на початку уроку, потрібно знаходити визначники, мінори та алгебраїчні доповнення та транспонувати матриці;
- методом виключення невідомих Гаусса, у якому потрібно проводити елементарні перетворення матриць (складати рядки, множити рядки одне й те число і т. д.).
Для особливо допитливих існують інші методи, наприклад, метод лінійних перетворень. На цьому уроці розберемо три згадані методи та алгоритми знаходження зворотної матриці цими методами.
Теорема.Для кожної неособливої (невиродженої, несингулярної) квадратної матриці можна знайти зворотну матрицю, і до того ж лише одну. Для особливої (виродженої, сингулярної) квадратної матриці обернена матриця не існує.
Квадратна матриця називається неособливою(або невиродженою, несингулярною), якщо її визначник не дорівнює нулю, та особливою(або виродженою, сингулярною), якщо її визначник дорівнює нулю.
Зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратної матриці. Звичайно, зворотна матриця також буде квадратною і того ж порядку, що і ця матриця. Матриця, на яку може бути знайдена зворотна матриця, називається оборотною матрицею.
Знаходження зворотної матриці методом виключення невідомих Гаусса
Перший крок для знаходження зворотної матриці методом виключення невідомих Гаус - приписати до матриці Aодиничну матрицю того ж порядку, відокремивши їх вертикальною межею. Ми отримаємо здвоєну матрицю. Помножимо обидві частини цієї матриці на , тоді отримаємо
,
Алгоритм знаходження зворотної матриці методом виключення невідомих Гаусса
1. До матриці Aприписати одиничну матрицю того самого порядку.
2. Отриману здвоєну матрицю перетворити так, щоб у лівій її частині вийшла одинична матриця, тоді у правій частині на місці одиничної матриці автоматично вийде зворотна матриця. Матриця Aу лівій частині перетворюється на одиничну матрицю шляхом елементарних перетворень матриці.
2. Якщо у процесі перетворення матриці Aв одиничну матрицю в якомусь рядку або в якомусь стовпці виявляться тільки нулі, то визначник матриці дорівнює нулю, і, отже, матриця Aбуде виродженою, і вона не має зворотної матриці. І тут подальше перебування зворотної матриці припиняється.
приклад 2.Для матриці
знайти зворотну матрицю.
і будемо її перетворювати, так щоб у лівій частині вийшла поодинока матриця. Починаємо перетворення.
Помножимо перший рядок лівої та правої матриці на (-3) і складемо її з другим рядком, а потім помножимо перший рядок на (-4) і складемо її з третім рядком, тоді отримаємо
.
Щоб якомога не було дробових чисел при наступних перетвореннях, створимо попередньо одиницю у другому рядку в лівій частині здвоєної матриці. Для цього помножимо другий рядок на 2 і віднімемо з нього третій рядок, тоді отримаємо
.
Складемо перший рядок з другим, а потім помножимо другий рядок на (-9) і складемо його з третім рядком. Тоді отримаємо
.
Розділимо третій рядок на 8, тоді
.
Помножимо третій рядок на 2 і складемо його з другим рядком. Виходить:
.
Переставимо місцями другий та третій рядок, тоді остаточно отримаємо:
.
Бачимо, що у лівій частині вийшла одинична матриця, отже, у правій частині вийшла зворотна матриця . Таким чином:
.
Можна перевірити правильність обчислень, помножимо вихідну матрицю на знайдену зворотну матрицю:
В результаті повинна вийти зворотна матриця.
Перевірити рішення можна за допомогою онлайн калькулятора для знаходження зворотної матриці .
Приклад 3.Для матриці
знайти зворотну матрицю.
Рішення. Складаємо здвоєну матрицю
і будемо її перетворювати.
Перший рядок множимо на 3, а другий на 2, і віднімаємо з другого, а потім перший рядок множимо на 5, а третій на 2 і віднімаємо з третього рядка, тоді отримаємо
Ця тема є однією з найненависніших серед студентів. Гірше, мабуть, лише визначники.
Фішка в тому, що саме поняття зворотного елемента (і я зараз не лише про матриці) відсилає нас до операції множення. Навіть у шкільній програмі множення вважається складною операцією, а множення матриць — взагалі окрема тема, якій у мене присвячений цілий параграф і відеоурок.
Сьогодні ми не будемо вдаватися до подробиць матричних обчислень. Просто згадаємо: як позначаються матриці, як вони множаться і що з цього випливає.
Повторення: множення матриць
Насамперед домовимося про позначення. Матрицею $A$ розміру $\left[ m\times n \right]$ називається просто таблиця з чисел, в якій рівно $m$ рядків і $n$ стовпців:
\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]
Щоб випадково не переплутати рядки та стовпці місцями (повірте, на іспиті можна і одиницю з двійкою переплутати — що вже казати про якісь рядки), просто погляньте на картинку:
Визначення індексів для клітин матриці Що відбувається? Якщо розмістити стандартну систему координат $OXY$ у лівому верхньому кутку і направити осі так, щоб вони охоплювали всю матрицю, то кожній клітині цієї матриці можна однозначно зіставити координати $\left(x;y \right)$ — це буде номер рядка і номер стовпця.
Чому система координат розміщена саме у верхньому лівому кутку? Тому що саме звідти ми починаємо читати будь-які тексти. Це дуже просто запам'ятати.
А чому вісь $x$ спрямована саме вниз, а не праворуч? Знову все просто: візьміть стандартну систему координат (вісь $x$ йде вправо, вісь $y$ вгору) і поверніть її так, щоб вона охоплювала матрицю. Це поворот на 90 градусів за годинниковою стрілкою – його результат ми й бачимо на картинці.
Загалом, як визначити індекси у елементів матриці, ми розібралися. Тепер давайте розберемося з множенням.
Визначення. Матриці $A=\left[ m\times n \right]$ і $B=\left[ n\times k \right]$, коли кількість стовпців у першій збігається з кількістю рядків у другій, називаються узгодженими.
Саме так. Можна сумніватися і сказати, мовляв, матриці $A$ і $B$ утворюють впорядковану пару $\left(A;B \right)$: якщо вони узгоджені в такому порядку, то необов'язково, що $B$ і $A$, тобто. пара $\left(B;A \right)$ - теж узгоджена.
Помножувати можна лише узгоджені матриці.
Визначення. Твір узгоджених матриць $A=\left[ m\times n \right]$ і $B=\left[ n\times k \right]$ — це нова матриця $C=\left[ m\times k \right]$ елементи якої $((c)_(ij))$ вважаються за формулою:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Іншими словами: щоб отримати елемент $((c)_(ij))$ матриці $C=A\cdot B$, потрібно взяти $i$-рядок першої матриці, $j$-й стовпець другої матриці, а потім попарно перемножити елементи з цього рядка та стовпця. Результати скласти.
Так, ось таке суворе визначення. З нього відразу випливає кілька фактів:
- Розмноження матриць, взагалі кажучи, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Однак множення асоціативно: $ \ left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $;
- І навіть дистрибутивно: $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
- І ще раз дистрибутивно: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $.
Дистрибутивність множення довелося окремо описувати для лівого та правого множника-суми саме через некомутативність операції множення.
Якщо все ж таки виходить так, що $A\cdot B=B\cdot A$, такі матриці називаються перестановочними.
Серед усіх матриць, які там на щось множаться, є особливі ті, які при множенні на будь-яку матрицю $A$ знову дають $A$:
Визначення. Матриця $E$ називається одиничною, якщо $A\cdot E=A$ або $E\cdot A=A$. У випадку із квадратною матрицею $A$ можемо записати:
Поодинока матриця - частий гість під час вирішення матричних рівнянь. І взагалі частий гість у світі матриць.:)
А ще через цю $E$ дехто вигадав всю ту дичину, яка буде написана далі.
Що таке зворотна матриця
Оскільки множення матриць - дуже трудомістка операція (доводиться перемножувати купу рядків і стовпців), то поняття зворотної матриці теж виявляється не найтривіальнішим. І вимагають деяких пояснень.
Ключове визначення
Що ж, настав час пізнати істину.
Визначення. Матриця $B$ називається зворотною до матриці $A$, якщо
Зворотна матриця позначається через $((A)^(-1))$ (не плутати зі ступенем!), тому визначення можна переписати так:
Здавалося б, все дуже просто і ясно. Але при аналізі такого визначення одразу виникає кілька запитань:
- Чи завжди є зворотна матриця? І якщо не завжди, то як визначити: коли вона існує, а коли ні?
- А хто сказав, що така матриця одно? Раптом для деякої вихідної матриці $A$ знайдеться ціла юрба зворотних?
- Як виглядають усі ці «зворотні»? І як, власне, їх рахувати?
Щодо алгоритмів обчислення – про це ми поговоримо трохи згодом. Але на інші питання відповімо зараз. Оформимо їх у вигляді окремих тверджень.
Основні властивості
Почнемо з того, як у принципі має виглядати матриця $A$, щоб для неї існувала $((A)^(-1))$. Зараз ми переконаємося в тому, що обидві ці матриці повинні бути квадратними, причому одного розміру: $ \ left [n \ times n \ right] $.
Лемма 1 . Дана матриця $A$ і обернена їй $((A)^(-1))$. Тоді обидві ці матриці квадратні, причому однакового порядку $ n $.
Доказ. Все просто. Нехай матриця $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Оскільки твір $A\cdot ((A)^(-1))=E$ за визначенням існує, матриці $A$ і $((A)^(-1))$ узгоджені у вказаному порядку:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( align)\]
Це прямий наслідок алгоритму перемноження матриць: коефіцієнти $n$ і $a$ є «транзитними» і повинні бути рівними.
Водночас визначено і зворотне множення: $((A)^(-1))\cdot A=E$, тому матриці $((A)^(-1))$ і $A$ також узгоджені у зазначеному порядку:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( align)\]
Отже, без обмеження спільності можемо вважати, що $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Однак згідно з визначенням $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, тому розміри матриць суворо збігаються:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
Ось і виходить, що всі три матриці - $ A $, $ ((A) ^ (-1)) $ і $ E $ - є квадратними розміром $ \ left [n \ times n \ right] $. Лемма доведена.
Що ж, уже непогано. Ми, що оборотними бувають лише квадратні матриці. Тепер переконаємося, що зворотна матриця завжди одна.
Лемма 2 . Дана матриця $A$ і обернена їй $((A)^(-1))$. Тоді ця зворотна матриця – єдина.
Доказ. Підемо від протилежного: нехай матриця $A$ має хоча б два екземпляри зворотних —$B$ і $C$. Тоді, згідно з визначенням, вірні такі рівності:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \end(align)\]
З леми 1 ми укладаємо, що всі чотири матриці - $ A $, $ B $, $ C $ і $ E $ - є квадратними однакового порядку: $ \ left [n \ times n \ right] $. Отже, визначено твір:
Оскільки множення матриць асоціативно (але не комутативно!), ми можемо записати:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \ \ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ left (A \ cdot C \ right) = B \ cdot E = B; \ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ Rightarrow B = C. \\ \end(align)\]
Отримали єдино можливий варіант: два екземпляри зворотної матриці рівні. Лемма доведена.
Наведені міркування майже дослівно повторюють доказ єдиність зворотного елемента всім дійсних чисел $b\ne 0$. Єдине істотне доповнення - облік розмірності матриць.
Втім, ми досі нічого не знаємо про те, чи квадратна матриця є оборотною. Тут нам на допомогу приходить визначник це ключова характеристика для всіх квадратних матриць.
Лемма 3 . Дано матрицю $A$. Якщо зворотна до неї матриця $((A)^(-1))$ існує, то визначник вихідної матриці відмінний від нуля:
\[\left| A \right|\ne 0\]
Доказ. Ми вже знаємо, що $A$ і $((A)^(-1))$ — квадратні матриці розміру $\left[ n\times n \right]$. Отже, кожної з них можна обчислити визначник: $\left| A \right|$ і $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Проте визначник твору дорівнює твору визначників:
\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]
Але згідно з визначенням $A\cdot ((A)^(-1))=E$, а визначник $E$ завжди дорівнює 1, тому
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E \right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]
Добуток двох чисел дорівнює одиниці тільки в тому випадку, коли кожне з цих чисел відмінне від нуля:
\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Ось і виходить, що $ \ left | A \right|\ne 0$. Лемма доведена.
Насправді ця вимога є цілком логічною. Зараз ми розберемо алгоритм знаходження зворотної матриці - і стане зрозуміло, чому за нульового визначника ніякої зворотної матриці в принципі не може існувати.
Але для початку сформулюємо «допоміжне» визначення:
Визначення. Вироджена матриця - це квадратна матриця розміру $ \ left [n \ times n \ right] $, чий визначник дорівнює нулю.
Таким чином, ми можемо стверджувати, що будь-яка оборотна матриця є невиродженою.
Як знайти зворотну матрицю
Зараз розглянемо універсальний алгоритм знаходження зворотних матриць. Взагалі, існує два загальноприйняті алгоритми, і другий ми також сьогодні розглянемо.
Той, який буде розглянутий зараз, дуже ефективний для матриць розміру $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і - частково - розміру $ \ left [3 \ times 3 \ right] $. А ось починаючи з розміру $ \ left [4 \ times 4 \ right] $ його краще не застосовувати. Чому зараз самі все зрозумієте.
Алгебраїчні доповнення
Готуйтеся. Нині буде біль. Ні, не переживайте: до вас не йде красива медсестра у спідниці, панчохах з мереживом і не зробить укол у сідницю. Все куди прозаїчніше: до вас йдуть алгебраїчні доповнення та її Величність «Союзна Матриця».
Почнемо із головного. Нехай є квадратна матриця розміру $ A = \ left [n \ times n \ right] $, елементи якої називаються $ ((a)_ (ij)) $. Тоді для кожного такого елемента можна визначити додаток алгебри:
Визначення. Додаток алгебри $((A)_(ij))$ до елемента $((a)_(ij))$, що стоїть у $i$-му рядку і $j$-м стовпці матриці $A=\left[ n \times n \right]$ - це конструкція виду
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Де $M_(ij)^(*)$ — визначник матриці, отриманої з вихідної $A$ викреслюванням того самого $i$-го рядка і $j$-го стовпця.
Ще раз. Додаток алгебри до елемента матриці з координатами $\left(i;j \right)$ позначається як $((A)_(ij))$ і вважається за схемою:
- Спочатку викреслюємо з вихідної матриці $i$-рядок і $j$-й стовпець. Отримаємо нову квадратну матрицю і її визначник ми позначаємо як $M_(ij)^(*)$.
- Потім множимо цей визначник на $((\left(-1 \right))^(i+j))$ — спочатку цей вираз може здатися мозковиносним, але по суті ми просто з'ясовуємо знак перед $M_(ij)^(*) $.
- Вважаємо - отримуємо конкретне число. Тобто. Додаток алгебри — це саме число, а не якась нова матриця і т.д.
Саму матрицю $M_(ij)^(*)$ називають додатковим мінором до елемента $((a)_(ij))$. І в цьому сенсі наведене вище визначення алгебраїчного доповнення є окремим випадком складнішого визначення того, що ми розглядали в уроці про визначник.
Важливе зауваження. Загалом у «дорослій» математиці алгебраїчні доповнення визначаються так:
- Беремо в квадратній матриці $ k $ рядків і $ k $ стовпців. На їхньому перетині вийде матриця розміру $\left[k\times k \right]$ - її визначник називається мінором порядку $k$ і позначається $((M)_(k))$.
- Потім викреслюємо ці «вибрані» $k$ рядків і $k$ стовпців. Знову вийде квадратна матриця – її визначник називається додатковим мінором і позначається $M_(k)^(*)$.
- Помножуємо $M_(k)^(*)$ на $((\left(-1 \right))^(t))$, де $t$ — це (ось зараз увага!) сума номерів усіх вибраних рядків та стовпців . Це і буде додаток алгебри.
Погляньте на третій крок: там взагалі-то сума $2k$ доданків! Інша річ, що для $k=1$ ми отримаємо лише 2 доданків - це і будуть ті самі $i+j$ - «координати» елемента $((a)_(ij))$, для якого ми шукаємо додаток алгебри.
Таким чином, сьогодні ми використовуємо злегка спрощене визначення. Але як ми побачимо надалі, його виявиться більш ніж достатньо. Куди важливіша наступна штука:
Визначення. Союзна матриця $S$ до квадратної матриці $A=\left[ n\times n \right]$ — це нова матриця розміру $\left[ n\times n \right]$, яка виходить із $A$ заміною $(( a)_(ij))$ алгебраїчними доповненнями $((A)_(ij))$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]
Перша думка, що виникає в момент усвідомлення цього визначення - "це скільки ж доведеться всього рахувати!" Розслабтеся: рахувати доведеться, але не так вже й багато.:)
Що ж, все це дуже мило, але навіщо це потрібне? А ось навіщо.
Основна теорема
Повернемося трохи назад. Пам'ятайте, в Лемме 3 стверджувалося, що оборотна матриця $A$ завжди не вироджена (тобто її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).
Так ось, вірно і зворотне: якщо матриця $ A $ не вироджена, вона завжди оборотна. І навіть існує схема пошуку $((A)^(-1))$. Зацініть:
Теорема про зворотну матрицю. Нехай дана квадратна матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $, причому її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \right|\ne 0$. Тоді зворотна матриця $((A)^(-1))$ існує і вважається за формулою:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
А тепер — все те саме, але розбірливим почерком. Щоб знайти зворотну матрицю, потрібно:
- Порахувати визначник $ \ left | A \right|$ і переконатися, що він відмінний від нуля.
- Скласти союзну матрицю $S$, тобто. порахувати 100500 додатків алгебри $((A)_(ij))$ і розставити їх на місці $((a)_(ij))$.
- Транспонувати цю матрицю $S$, а потім помножити її на деяке число $q=(1)/(\left|A \right|)\;$.
І все! Зворотню матрицю $((A)^(-1))$ знайдено. Давайте подивимося на приклади:
\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]
Рішення. Перевіримо оборотність. Порахуємо визначник:
\[\left| A \right|=\left| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Визначник відмінний від нуля. Значить, матриця оборотна. Складемо союзну матрицю:
Порахуємо алгебраїчні доповнення:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \end(align)\]
Зверніть увагу: визначники | 2 |, | 5 |, | 1 | та |3| — це саме визначники матриць розміру $\left[1\times 1\right]$, а не модулі. Тобто. якщо в визначниках стояли негативні числа, забирати «мінус» не треба.
Отже, наша союзна матриця виглядає так:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]
Ну от і все. Завдання вирішено.
Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
Завдання. Знайдіть обернену матрицю:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
Рішення. Знову вважаємо визначник:
\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Визначник відмінний від нуля - матриця оборотна. А ось зараз буде найжорсткіша: треба порахувати аж 9 (дев'ять, мати їх!) алгебраїчних доповнень. І кожне з них міститиме визначник $\left[ 2\times 2 \right]$. Полетіли:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]
Коротше, союзна матриця виглядатиме так:
Отже, зворотна матриця буде такою:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]
Ось і все. Ось і відповідь.
Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
Як бачите, наприкінці кожного прикладу ми виконували перевірку. У зв'язку з цим важливе зауваження:
Не лінуйтеся виконувати перевірку. Помножте вихідну матрицю на знайдену зворотну - має вийти $E$.
Виконати цю перевірку набагато простіше та швидше, ніж шукати помилку у подальших обчисленнях, коли, наприклад, ви вирішуєте матричне рівняння.
Альтернативний спосіб
Як я і говорив, теорема про зворотну матрицю чудово працює для розмірів $\left[2\times 2\right]$ і $\left[3\times 3\right]$ (в останньому випадку - вже не так вже й "прекрасно" »), а ось для матриць великих розмірів починається прямий сум.
Але не переживайте: є альтернативний алгоритм, за допомогою якого можна знайти зворотну хоч для матриці $\left[ 10\times 10 \right]$. Але, як це часто буває, для розгляду цього алгоритму нам знадобиться невелика теоретична вступна.
Елементарні перетворення
Серед різноманітних перетворень матриці є кілька особливих їх називають елементарними. Таких перетворень рівно три:
- Множення. Можна взяти $i$-й рядок (стовпець) і помножити його на будь-яке число $k\ne 0$;
- Додавання. Додати до $i$-го рядка (стовпця) будь-який інший $j$-й рядок (стовпець), помножений на будь-яке число $k\ne 0$ (можна, звичайно, і $k=0$, але який у цьому сенс ? Нічого не зміниться ж).
- Перестановка. Взяти $i$-ю і $j$-ю рядки (стовпці) і поміняти місцями.
Чому ці перетворення називаються елементарними (для великих матриць вони виглядають не такими вже й елементарними) і чому їх лише три — ці питання виходять за рамки сьогоднішнього уроку. Тому не будемо вдаватися до подробиць.
Важливо інше: всі ці збочення нам належить виконувати над приєднаною матрицею. Так, так: ви не дочули. Зараз буде ще одне визначення – останнє у сьогоднішньому уроці.
Приєднана матриця
Напевно, у школі ви вирішували системи рівнянь методом складання. Ну, там, відняти з одного рядка інший, помножити якийсь рядок на число - ось це все.
Так ось: зараз буде все те саме, але вже «по-дорослому». Чи готові?
Визначення. Нехай дана матриця $A = \ left [n \ times n \ right] $ і одинична матриця $ E $ такого ж розміру $ n $. Тоді приєднана матриця $\left[A\left| E \right. \right]$ - це нова матриця розміру $\left[ n\times 2n \right]$, яка виглядає так:
\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
Коротше кажучи, беремо матрицю $A$, праворуч приписуємо до неї поодиноку матрицю $E$ потрібного розміру, розділяємо їх вертикальною рисою для краси - ось вам і приєднана.
У чому прикол? А ось у чому:
Теорема. Нехай матриця $A$ оборотна. Розглянемо приєднану матрицю $ \ left [ A \ left | E \right. \right]$. Якщо за допомогою елементарних перетворень рядківпривести її до вигляду $ \ left [ E \ left | B \right. \right]$, тобто. шляхом множення, віднімання та перестановки рядків отримати з $A$ матрицю $E$ праворуч, то отримана зліва матриця $B$ - це зворотна до $A$:
\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
Ось так просто! Коротше кажучи, алгоритм знаходження зворотної матриці виглядає так:
- Записати приєднану матрицю $\left[ A\left| E \right. \right]$;
- Виконувати елементарні перетворення рядків доти, доки права замість $A$ не з'явиться $E$;
- Зрозуміло, ліворуч теж щось з'явиться якась матриця $B$. І це буде зворотна;
- PROFIT!:)
Звісно, сказати набагато простіше, ніж зробити. Тому давайте розглянемо кілька прикладів: для розмірів $\left[ 3\times 3 \right]$ і $\left[ 4\times 4 \right]$.
Завдання. Знайдіть обернену матрицю:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
Рішення. Складаємо приєднану матрицю:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Оскільки останній стовпець вихідної матриці заповнений одиницями, віднімемо перший рядок з інших:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Більше одиниць немає, крім першого рядка. Але її ми не чіпаємо, інакше в третьому стовпці почнуть «розмножуватися» щойно прибрані одиниці.
Зате можемо відняти другий рядок двічі з останнього — отримаємо одиницю в нижньому лівому кутку:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Тепер можна відняти останній рядок з першого і двічі з другого — таким чином ми «занулимо» перший стовпець:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Помножимо другий рядок на −1, а потім віднімемо його 6 разів з першого і додамо 1 раз до останнього:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix)\to \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Залишилося лише поміняти місцями рядки 1 та 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]
Готово! Справа - шукана зворотна матриця.
Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
Завдання. Знайдіть обернену матрицю:
\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \right]\]
Рішення. Знову складаємо приєднану:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1&4&2&3&1&0&0&0 \\ 1&-2&1&-2&0&1&0&0\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Трохи позалимаємо, потурбуємося від того, скільки зараз доведеться рахувати... і почнемо рахувати. Для початку «обнулили» перший стовпець, віднімаючи рядок 1 з рядків 2 та 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Спостерігаємо дуже багато «мінусів» у рядках 2—4. Помножимо всі три рядки на −1, а потім випалимо третій стовпець, віднімаючи рядок 3 з інших:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Тепер саме час «підсмажити» останній стовпець вихідної матриці: віднімаємо рядок 4 з інших:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Фінальний кидок: «випалюємо» другий стовпець, віднімаючи рядок 2 з рядка 1 та 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 &0&0&0&0&33&-6&-26&-17 \\0&1&0&0&6&-1&-5&3\\0&0&1&0&-25&5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
І знову зліва одинична матриця, значить праворуч - зворотна.:)
Відповідь. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$
Ну от і все. Перевірку зробіть самі - мені в брухт.
У цій статті розберемося з поняттям зворотної матриці, її властивостями та способами знаходження. Детально зупинимося на рішенні прикладів, у яких потрібно побудувати обернену матрицю для заданої.
Навігація на сторінці.
Зворотна матриця – визначення.
Поняття зворотної матриці вводиться лише квадратних матриць, визначник яких відмінний від нуля, тобто для невироджених квадратних матриць.
Визначення.
Матриця називається зворотною для матриці, визначник якої відмінний від нуля , якщо справедливі рівність 
, де E - Поодинока матриця порядку n на n.
Знаходження зворотної матриці за допомогою матриці з додатків алгебри.
Як же шукати зворотну матрицю для цієї?
По-перше, нам знадобляться поняття транспонованої матриці, мінору матриці та алгебраїчного доповнення елемента матриці.
Визначення.
Мінор k-ого порядкуматриці A порядку m на n – це визначник матриці порядку k на k , яка виходить із елементів матриці А , що у вибраних k рядках і k стовпцях. (k не перевищує найменшого з чисел m або n).
Мінор (n-1)-ого порядку, який складається з елементів всіх рядків, крім i-ої , і всіх стовпців, крім j-ого, квадратної матриці А порядку n на n позначимо як .
Іншими словами, мінор виходить з квадратної матриці А порядку n на n викреслюванням елементів i-го рядка і j-ого стовпця.
Наприклад запишемо, мінор другого порядку, який виходить з матриці 
вибором елементів її другого, третього рядків та першого, третього стовпців 
. Також покажемо мінор, який виходить із матриці викреслюванням другого рядка та третього стовпця 
. Проілюструємо побудову цих мінорів: і .
Визначення.
Алгебраїчним доповненнямелемента квадратної матриці називають мінор (n-1)-ого порядку, який виходить з матриці А , викреслювання елементів її i-го рядка і j-ого стовпця, помножений на .
Алгебраїчне доповнення елемента позначається як . Таким чином, 
.
Наприклад, для матриці Алгебраїчне доповнення елемента є.
По-друге, нам знадобляться дві властивості визначника, які ми розібрали у розділі обчислення визначника матриці:
На підставі цих властивостей визначника, визначення операції множення матриці на число та поняття зворотної матриці справедлива рівність 
, де - транспонована матриця, елементами якої є додатки алгебри .
Матриця 
дійсно є зворотною для матриці А , так як виконуються рівності . Покажемо це 
Складемо алгоритм знаходження зворотної матриціз використанням рівності .
Розберемо алгоритм знаходження зворотної матриці з прикладу.
приклад.
Дана матриця 
. Знайдіть обернену матрицю.
Рішення.
Обчислимо визначник матриці А, розклавши його за елементами третього стовпця: 
Визначник відмінний від нуля, тому матриця А оборотна.
Знайдемо матрицю з додатків алгебри: 
Тому 
Виконаємо транспонування матриці з додатків алгебри: 
Тепер знаходимо зворотну матрицю як :
Перевіряємо отриманий результат: 
Рівності виконуються, отже, зворотна матриця знайдено правильно.
Властивості зворотної матриці.
Поняття зворотної матриці, рівність , визначення операцій над матрицями та властивості визначника матриці дозволяють обґрунтувати наступні властивості зворотної матриці:
Знаходження зворотної матриці методом Гаус-Жордана.
Існують альтернативні методи знаходження зворотної матриці, наприклад, метод Гауса - Жордана.
Суть методу Гауса-Жордана полягає в тому, що якщо з одиничною матрицею Е провести елементарні перетворення, якими невироджена квадратна матриця А наводиться до Е, то вийде зворотна матриця.
Опишемо алгоритм приведення матриці А порядку n на n, визначник якої не дорівнює нулю, до одиничної матриці методом Гауса - Жордана. Після опису алгоритму розберемо приклад, щоб усе зрозуміло.
Спочатку перетворимо матрицю так, щоб елемент став дорівнює одиниці, а решта елементів першого стовпця стали нульовими.
Якщо , то місце першого рядка ставиться k-ая рядок (k>1 ), у якій , але в місце k-го рядка ставиться перший. (Рядок з обов'язково існує, інакше матриця А – вироджена). Після перестановки рядків отримали «нову» матрицю А , яка має .
Тепер множимо кожен елемент першого рядка на . Так приходимо до «нової» матриці А, у якої . Далі до елементів другого рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на . До елементів третього рядка – відповідні елементи першого рядка, помножені на . І продовжуємо такий процес до n-го рядка включно. Так, всі елементи першого стовпця матриці А, починаючи з другого, стануть нульовими.
З першим стовпцем розібралися, переходимо до другого.
Перетворимо матрицю А так, щоб елемент став дорівнює одиниці, а всі інші елементи другого стовпця, починаючи з , стали нульовими.
Якщо , то місце другого рядка ставиться k-ая рядок (k>2 ), у якій , але в місце k-ого рядка ставиться друга. Так отримуємо перетворену матрицю А, у якої. Помножуємо всі елементи другого рядка на . Після цього до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на . До елементів четвертого рядка – відповідні елементи другого рядка, помножені на . І продовжуємо такий процес до n-го рядка включно. Так всі елементи другого стовпця матриці А, починаючи з третього, стануть нульовими, а дорівнюватиме одиниці.
З другим стовпцем закінчили, переходимо до третього та проводимо аналогічні перетворення.
Так продовжуємо процес, поки всі елементи головної діагоналі матриці А не стануть рівними одиниці, а всі елементи нижче за головну діагональ не стануть рівними нулю.
З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса-Жордана. Тепер перетворимо матрицю А так, щоб усі елементи n-ого стовпця, крім , стали нульовими. Для цього до елементів (n-1)-го рядка додаємо відповідні елементи n-ого рядка, помножені на . До елементів (n-2)-го рядка – відповідні елементи n-го рядка, помножені на . І продовжуємо такий процес до першого рядка включно. Так всі елементи n-ого стовпця матриці А (крім ) стануть нульовими.
З останнім стовпцем розібралися, переходимо до (n-1)-ого.
Перетворимо матрицю А так, щоб всі елементи (n-1)-ого стовпця до стали нульовими. Для цього до елементів (n-2)-ого рядка додаємо відповідні елементи (n-1)-ого рядка, помножені на . До елементів (n-3)-го рядка – відповідні елементи (n-1)-ого рядка, помножені на . І продовжуємо такий процес до першого рядка включно. Так всі елементи (n-1)-ого стовпця матриці А (крім ) стануть нульовими.
приклад.
Наведіть матрицю 
до одиничної з допомогою перетворень Гауса – Жордана.
Рішення.
Оскільки , а , то переставимо місцями перший і другий рядки матриці, отримаємо матрицю 
.
Помножимо всі елементи першого рядка матриці на: 
.
До елементів другого рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на 0, а до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на (-4) : 
Переходимо до другого стовпця.
Елемент отриманої матриці вже дорівнює одиниці, тому немає необхідності множити елементи другого рядка на . До елементів третього рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на : 
Переходимо до третього стовпця.
Помножимо елементи третього рядка на: 
.
Одиниці на головній діагоналі матриці отримані, тому приступаємо до зворотного ходу.
До елементів другого рядка додаємо відповідні елементи третього рядка, помножені на (-2) , а до елементів першого рядка додаємо відповідні елементи третього рядка, помножені на : 
В останньому стовпці отримані необхідні нульові елементи, переходимо до передостаннього (до другого) стовпця.
До елементів першого рядка додамо відповідні елементи другого рядка, помножені на : 
.
Так проведено всі перетворення матриці та отримано одиничну матрицю.
Настав час застосувати метод Гауса - Жордана до знаходження зворотної матриці.
приклад.
Знайдіть зворотну матрицю для 
методом Гауса – Жордана.
Рішення.
У лівій частині сторінки проводитимемо перетворення Гаусса – Жордана з матрицею А , а правої частини сторінки будемо робити ті самі перетворення з одиничною матрицею.
Оскільки , а , то переставимо перший і другий рядки місцями: 
Помножимо елементи першого рядка матриці на один другий, щоб елемент став дорівнює одиниці: 
До елементів другого рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на 0, до елементів третього рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на 2, до елементів четвертого рядка – елементи першого рядка, помножені на 5: 
Так, у першому стовпці матриці А ми отримали потрібні нульові елементи. Переходимо до другого стовпця. Досягнемо того, щоб елемент став дорівнює одиниці. Для цього помножимо елементи другого рядка матриці на , не забуваємо виконувати такі самі перетворення з матрицею у правій частині: 
Далі нам потрібно зробити елементи і нульовими, для цього до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на 0, а до елементів четвертого рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на : 
Так другий стовпець матриці А перетворено на потрібний вид. Переходимо до третього стовпця. Оскільки елемент нульовий, то міняємо місцями третій і четвертий рядки: 
Помножуємо елементи третього рядка на: 
Третій стовпець матриці А набув потрібного вигляду (елемент нульовий, тому не довелося до елементів четвертого рядка додавати відповідні елементи третього рядка, помножені на ). Залишилося помножити четвертий рядок на те, щоб всі елементи головної діагоналі стали рівні одиниці: 
Прямий хід методу Гауса-Жордана завершено, приступаємо до зворотного ходу. Отримуємо необхідні нульові елементи в останньому стовпці матриці А . Для цього до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи останнього рядка, помножені на , до елементів другого рядка – елементи останнього рядка, помножені на , до елементів першого рядка – елементи останнього рядка, помножені на 0 : 
Отримуємо нулі в передостанньому стовпці додаванням до елементів другого та першого рядків відповідні елементи третього рядка, помножені на 0 відповідно: 
Залишилося останнє перетворення. До елементів першого рядка додаємо елементи другого рядка, помножені на: 
Отже, матриця А перетвореннями Гауса – Жордана приведена до одиничної матриці, а одинична матриця за допомогою таких самих перетворень приведена до зворотної матриці. Таким чином, у правій частині отримано зворотну матрицю. Можете провести перевірку, виконавши множення матриці на зворотну матрицю.
Відповідь:
.
Знаходження елементів зворотної матриці за допомогою розв'язання відповідних систем лінійних рівнянь алгебри.
Розглянемо ще один спосіб знаходження зворотної матриці для квадратної матриці А порядку n на n.
Цей метод заснований на вирішенні n систем лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь з n дає нам три системи лінійних неоднорідних рівнянь алгебри: 
Не розписуватимемо рішення цих систем, при необхідності звертайтеся до розділу .
З першої системи рівнянь маємо, з другої -, з третьої -. Отже, шукана зворотна матриця має вигляд 
. Рекомендуємо зробити перевірку, щоб переконатися у правильності результату.
Підведемо підсумок.
Ми розглянули поняття зворотної матриці, її властивості та три методи її знаходження.
Завантаження...
