Прості диференціальні рівняння. Довідник за звичайними диференціальними рівняннями - Камке Е

Камке Е. Довідник з диференціальних рівнянь у приватних похідних першого порядку: Довідник. За редакцією Н.X. Розова – М.: «Наука», 1966. – 258 c.
завантажити(пряме посилання) : kamke_es_srav_po_du.djvu Попередня 1 .. 4 > .. >> Наступна

Однак останнім часом інтерес до диференціальних рівнянь у приватних похідних першого порядку знову сильно зріс. Цьому сприяли дві обставини. Насамперед, виявилося, що так звані узагальнені рішення квазілінійних рівнянь першого порядку становлять винятковий інтерес для додатків (наприклад, теоретично ударних хвиль у газовій динаміці тощо). Крім того, далеко вперед зробила крок теорія систем диференціальних рівнянь у приватних похідних. Проте до нашого часу російською немає монографії, у якій було б зібрано і викладено всі факти, що накопичилися теоретично диференціальних рівнянь у приватних похідних першого порядку, якщо не брати до уваги відомої книги Н. М. Гюн-

ПЕРЕДМОВА ДО РОСІЙСЬКОГО ВИДАННЯ

тера, яка давно вже стала бібліографічною рідкістю. Справжня книга певною мірою заповнює цю прогалину.

Ім'я професора Тюбінгенського університету Е. Камке знайоме радянським математикам. Йому належить велике числоробіт з диференціальних рівнянь та інших розділів математики, і навіть кілька книжок навчального характеру. Зокрема, його монографія «Інтеграл Лебега - Стілтьєса» була перекладена російською мовою і вийшла 1959 року. Три видання російською мовою в 1951, 1961, 1965 роках витримав «Довідник за звичайними диференціальними рівняннями», що є перекладом першого тому «Gewohnliche Differenlialglelchungen» книги Е. Камке «Differentialgleichungen (Losung)».

«Довідник з диференціальних рівнянь у приватних похідних першого порядку» - переклад другого тома тієї ж книги. Тут зібрано близько 500 рівнянь із рішеннями. Крім цього матеріалу, цей довідник містить конспективне (без доказів) виклад низки теоретичних питань, у тому числі таких, які не включаються до звичайних курсів диференціальних рівнянь, наприклад теореми існування, єдиності та ін.

Під час підготовки російського видання було перероблено наявна у книзі велика бібліографія. Посилання на старі та малодоступні іноземні підручники були по можливості замінені посиланнями на вітчизняну та перекладну літературу. Були виправлені всі помічені неточності, помилки та друкарські помилки. Всі вставки, зауваження та доповнення, внесені в книгу під час редагування, укладені у квадратні дужки.

Цей довідник, створений на початку сорокових років (і з того часу неодноразово перевидавався в НДР без будь-яких змін), безсумнівно, вже не відображає повною мірою тих досягнень, які є зараз у теорії диференціальних рівнянь у приватних похідних першого порядку. Так, у довіднику не знайшла жодного відображення теорія узагальнених рішень квазілінійних рівнянь, розвинена у відомих роботах І. М. Гельфанда, О. А. Олійник та ін. Можна навести приклади останніх результатів, що не увійшли до книги, що стосуються безпосередньо порушених у довіднику питань. Не висвітлено у довіднику і теорія рівнянь Пфаффа. Проте, здається, що у цьому її вигляді книга виявиться безсумнівно корисним путівником з класичної теорії диференціальних рівнянь у приватних похідних першого порядку.

Наведене в книзі зведення рівнянь, рішення яких можна записати в кінцевому вигляді, дуже цікаве і корисне, але, звичайно, не є вичерпним. Вона була складена автором на основі робіт, що з'явилися на початок сорокових років.

ДЕЯКІ ПОЗНАЧЕННЯ

х, у; хі хп; уи.... уп - незалежні змінні, г-(х(, хп) а, Ь, с; А, В, С - константи, постійні коефіцієнти, @, @ (х, у), @ (г) - відкрита область, область на площині (х, у), в просторі змінних xt,...,xn [звичайно-область безперервності коефіцієнтів і розв'язання.

fi - довільна функція, г; г (х, у); z - ty(x....., хп) - потрібна функція, рішення,

Дг_дг_дг_дг

р~~дх " q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

х, |Л, k, п - індекси підсумовування,

\ п) ~ п! (п – т)! "

/ г„ ... zln \

det | zkv\ - визначник матриці I.....I.

\ гш - гпп I

ПРИЙНЯТІ СКОРОЧЕННЯ В БІБЛІОГРАФІЧНИХ ВКАЗІВКАХ

Гюнтер - Н. М. Гюнтер, Інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку у приватних похідних, ГТТІ, 1934.

Камке - Еге. Камке, Довідник по звичайним диференціальним рівнянням, «Наука», 1964.

Курант - Р. Курант, Рівняння з приватними похідними, "Світ", 1964.

Петровський - І. Р. Петровський, Лекції з теорії звичайних диференціальних рівнянь, "Наука", 1964.

Степанов - В. Ст Степанов, Курс диференціальних рівнянь, Фізмат-гіз, 1959.

Камка, DQlen-Е. Камке, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig, 1944.

Скорочення найменувань періодичних видань відповідають загальноприйнятим і тому під час перекладу опущені; див., проте, К а м к е. - Прим. ред.]

ЧАСТИНА ПЕРША

ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ

[Питанням, що розглядається в першій частині, присвячена наступна література:

Передмова до четвертого видання
Деякі позначення
Прийняті скорочення у бібліографічних вказівках
ЧАСТИНА ПЕРША
ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ
§ 1. Диференціальні рівняння, дозволені щодо похідної: (формула)
1.1. Позначення та геометричний сенсдиференціального рівняння
1.2. Існування та єдиність рішення
§ 2. Диференціальні рівняння, дозволені щодо похідної: (формула); методи вирішення
2.1. Метод ламаних
2.2. Метод послідовних наближень Пікара – Лінделефа
2.3. Застосування статечних рядів
2.4. Більш загальний випадок розкладання в ряд
2.5. Розкладання в ряд за параметром
2.6. Зв'язок із рівняннями у приватний похідних
2.7. Теореми про оцінки
2.8. Поведінка рішень при великих значеннях (?)
§ 3. Диференціальні рівняння, не дозволені щодо похідної: (формула)
3.1. Про рішення та методи вирішення
3.2. Регулярні та особливі лінійні елементи
§ 4. Розв'язання окремих видів диференціальних рівнянь першого порядку
4.1. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.
4.2. (формула)
4.3. Лінійні диференціальні рівняння
4.4. Асимптотична поведінка рішень лінійних диференціальних рівнянь
4.5. Рівняння Беднуллі (формула)
4.6. Однорідні диференціальні рівняння та приведені до них
4.7. Узагальнено-однорідні рівняння
4.8. Спеціальне рівняння Ріккаті: (формула)
4.9. Загальне рівняння Ріккаті: (формула)
4.10. Рівняння Абеля першого роду
4.11. Рівняння Абеля другого роду
4.12. Рівняння у повних диференціалах
4.13. Інтегруючий множник
4.14. (Формула), «інтегрування за допомогою диференціювання»
4.15. (формула)
4.16. (формула)
4.17. (формула)
4.18. Рівняння Клеро
4.19. Рівняння Лагранжа – Даламбера
4.20. (Формула). Перетворення Лежандра
Розділ II. Довільні системи диференціальних рівнянь, дозволених щодо похідних
§ 5. Основні поняття
5.1. Позначення та геометричний сенс системи диференціальних рівнянь
5.2. Існування та єдиність рішення
5.3. Теорема існування Каратеодорі
5.4. Залежність рішення від початкових умов та параметрів
5.5. Питання стійкості
§ 6. Методи вирішення
6.1. Метод ламаних
6.2. Метод послідовних наближень Пікара – Лінделефа
6.3. Застосування статечних рядів
6.4. Зв'язок із рівняннями у приватних похідних
6.5. Редукція системи за допомогою відомого співвідношення між рішеннями
6.6. Редукція системи за допомогою диференціювання та виключення
6.7. Теореми про оцінки
§ 7. Автономні системи
7.1. Визначення та геометричний сенс автономної системи
7.2. Про поведінку інтегральних кривих на околиці особливої точки у разі n = 2
7.3. Критерії визначення типу особливої точки
Розділ III. Системи лінійних диференціальних рівнянь
§ 8. Довільні лінійні системи
8.1. Загальні зауваження
8.2. Теореми існування та єдиності. Методи вирішення
8.3. Зведення неоднорідної системи до однорідної
8.4. Теореми про оцінки
§ 9. Однорідні лінійні системи
9.1. Властивості рішень. Фундаментальні системи рішень
9.2. Теореми існування та методи вирішення
9.3. Редукція системи до системи З меншою кількістю рівнянь
9.4. Сполучена система диференціальних рівнянь
9.5. Самосполучені системи диференціальних рівнянь
9.6. Сполучені системи диференціальних форм; тотожність Лагранжа, формула Гріна
9.7. Фундаментальні рішення
§ 10. Однорідні лінійні системи з особливими точками
10.1. Класифікацій спеціальних точок
10.2. Слабко особливі точки
10.3. Особливі точки
§ 11. Поведінка рішень при великих значеннях
§ 12. Лінійні системи, що залежать від параметра
§ 13. Лінійні системи із постійними коефіцієнтами
13.1. Однорідні системи
13.2. Системи більш загального виду
Розділ IV. Довільні диференціальні рівняння n-го порядку
§ 14. Рівняння, дозволені щодо старшої похідної: (формула)
§ 15. Рівняння, не дозволені щодо старшої похідної: (формула)
15.1. Рівняння у повних диференціалах
15.2. Узагальнено-однорідні рівняння
15.3. Рівняння, що не містять явно х або у
Глава V. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку
§ 16. Довільні лінійні диференціальні рівняння n-го порядку
16.1. Загальні зауваження
16.2. Теореми існування та єдиності. Методи вирішення
16.3. Виняток похідної (n-1)-го порядку
16.4. Зведення неоднорідного диференціального рівняння до однорідного
16.5. Поведінка рішень при великих значеннях
§ 17. Однорідні лінійні диференціальні рівняння n-го порядку
17.1. Властивості рішень та теореми існування
17.2. Зниження порядку диференціального рівняння
17.3. Про нулі рішень
17.4. Фундаментальні рішення
17.5. Сполучені, самосполучені та антисамоспряжені диф-ференвдальні форми
17.6. Тотожність Лагранжа; формули Діріхле та Гріна
17.7. Про рішення сполучених рівнянь та рівнянь у повних диференціалах
§ 18. Однорідні лінійні диференціальні рівняння з особливими точками
18.1. Класифікація спеціальних точок
18.2. Випадок, коли точка (?) регулярна чи слабко особлива
18.3. Випадок, коли точка (?) регулярна чи слабко особлива
18.4. Випадок, коли точка (?) дуже особлива
18.5. Випадок, коли точка (?) дуже особлива
18.6. Диференціальні рівняння з поліноміальними коефіцієнтами
18.7. Диференціальні рівняння з періодичними коефіцієнтами
18.8. Диференціальні рівняння з двоякоперіодичними коефіцієнтами
18.9. Випадок дійсного змінного
§ 19. Вирішення лінійних диференціальних рівнянь за допомогою певних інтегралів
19.1. Загальний принцип
19.2. Перетворення Лапласа
19.3. Спеціальне перетворення Лапласа
19.4. Перетворення Меліна
19.5. Перетворення Ейлера
19.6. Рішення за допомогою подвійних інтегралів
§ 20. Поведінка рішень при великих значеннях
20.1. Поліноміальні коефіцієнти
20.2. Коефіцієнти більш загального виду
20.3. Безперервні коефіцієнти
20.4. Осциляційні теореми
§ 21. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку, що залежать від параметра
§ 22. Деякі спеціальні типи лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку
22.1. Однорідні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами
22.2. Неоднорідні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами
22.3. Рівняння Ейлера
22.4. Рівняння Лапласа
22.5. Рівняння з поліноміальними коефіцієнтами
22.6. Рівняння Похгаммера
Розділ VI. Диференціальні рівняння другого порядку
§ 23. Нелінійне диференціальні рівняння другого порядку
23.1. Методи розв'язання приватних типів нелінійних рівнянь
23.2. Деякі додаткові зауваження
23.3. Теореми про граничні значення
23.4. Осциляційна теорема
§ 24. Довільні лінійні диференціальні рівняння другого порядку
24.1. Загальні зауваження
24.2. Деякі методи вирішення
24.3. Теореми про оцінки
§ 25. Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку
25.1. Редукція лінійних диференціальних рівнянь другого порядку
25.2. Подальші зауваження щодо редукції лінійних рівнянь другого порядку
25.3. Розкладання рішення в безперервний дріб
25.4. Загальні зауваження щодо нулів рішень
25.5. Нулі рішень на кінцевому інтервалі
25.6. Поведінка рішень при (?)
25.7. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з особливими точками
25.8. Наближені рішення. асимптотичні рішення; дійсне змінне
25.9. асимптотичні рішення; комплексне змінне
25.10. Метод ВБК
Розділ VII. Лінійні диференціальні рівняння третього та четвертого порядків
§ 26. Лінійні диференціальні рівняння третього порядку
§ 27. Лінійні диференціальні рівняння четвертого порядку
Розділ VIII. Наближені методи інтегрування диференціальних рівнянь
§ 28. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку
28.1. Метод ламаних
28.2. Метод додаткового півкроку
28.3. Метод Рунге – Хейна – Кутта
28.4. Комбінування інтерполяції та послідовних наближень
28.5. Метод Адамса
28.6. Доповнення до методу Адамса
§ 29. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь вищих порядків
29.1. Методи наближеного інтегрування систем диференціальних рівнянь першого порядку
29.2. Метод ламаних для диференціальних рівнянь другого порядку
29.3. Метод Рунге*-Кутта для диференціальних рівнянь цього порядку
29.4. Метод Адамса – Штермера для рівняння (формула)
29.5. Метод Адамса – Штермера для рівняння (формула)
29.6. Метод Блеса для рівняння (формула)
ЧАСТИНА ДРУГА
КРАЄВІ ЗАВДАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ПРО ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ
Глава I. Крайові завдання та завдання про власні значення для лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку
§ 1. Загальна теорія крайових завдань
1.1. Позначення та попередні зауваження
1.2. Умови розв'язання крайового завдання
1.3. Сполучене крайове завдання
1.4. Самосполучені крайові завдання
1.5. Функція Гріна
1.6. Вирішення неоднорідного крайового завдання за допомогою функції Гріна
1.7. Узагальнена функція Гріна
§ 2. Крайові завдання та завдання про власні значення для рівняння (формула)
2.1. Власні значення та власні функції; характеристичний детермінант (?)
2.2. Пов'язана задача про власні значення н резольвента Грія; повна біоортогональна система
2.3. Нормовані крайові умови; регулярні завдання про власні значення
2.4. Власні значення для регулярних та нерегулярних завдань про власні значення
2.5. Розкладання заданої функції за власними функціями регулярних та нерегулярних завдань про власні значення
2.6. Самосполучені нормальні завдання про власні значення
2.7. Про інтегральні рівняння типу Фредгольма
2.8. Зв'язок між крайовими завданнями н інтегральними рівняннями типу Фредгольма
2.9. Зв'язок між завданнями про власні значення н інтегральними рівняннями типу Фредгольма
2.10. Про інтегральні рівняння типу Вольтерра
2.11. Зв'язок між крайовими завданнями та інтегральними рівняннями типу Вольтерра
2.12. Зв'язок між завданнями про власні значення та інтегральними рівняннями типу Вольтерра
2.13. Зв'язок між завданнями про власні значення та варіаційним обчисленням
2.14. Застосування до розкладання за своїми функціями
2.15. Додаткові зауваження
§ 3. Наближені методи вирішення завдань про власні значення та крайові завдання
3.1. Наближений метод Галеркіна – Ритца
3.2. Наближений метод Граммелю
3.3. Розв'язання неоднорідного крайового завдання методом Галеркіна - Ритца
3.4. Метод послідовних наближень
3.5. Наближене розв'язання крайових задач та завдань про власні значення методом кінцевих різниць
3.6. Метод обурень
3.7. Оцінки для власних значень
3.8. Огляд способів обчислення власних значень та власних функцій
§ 4. Самосполучені задачі про власні значення для рівняння (формула)
4.1. Постановка задачі
4.2. Загальні попередні зауваження
4.3. Нормальні завдання про власні значення
4.4. Позитивно визначені завдання про власні значення
4.5. Розкладання за власними функціями
§ 5. Крайові та додаткові умови більш загального виду
Розділ II. Крайові задачі та завдання про власні значення для систем лінійних диференціальних рівнянь
§ 6. Крайові завдання та завдання про власні значення для систем лінійних диференціальних рівнянь
6.1. Позначення та умови дозвільності
6.2. Сполучене крайове завдання
6.3. Матриця Гріна
6.4. Завдання про власні значення
6.5. Самосполучені завдання про власні значення
Розділ III. Крайові завдання та завдання про власні значення для рівнянь нижчих порядків
§ 7. Завдання першого порядку
7.1. Лінійні завдання
7.2. Нелінійні завдання
§ 8. Лінійні крайові завдання другого порядку
8.1. Загальні зауваження
8.2. Функція Гріна
8.3. Оцінки для вирішення крайових завдань першого роду
8.4. Крайові умови при (?)
8.5. Знаходження періодичних рішень
8.6. Одна крайова задача, пов'язана з вивченням перебігу рідини
§ 9. Лінійні завдання про власні значення другого порядку
9.1. Загальні зауваження
9.2 Самосполучені завдання про власні значення
9.3. (формула) та крайові умови самосполучені
9.4. Завдання про власні значення та варіаційний принцип
9.5. Про практичне обчислення власних значень та власних функцій
9.6. Завдання про власні значення, не обов'язково самосполучені
9.7. Додаткові умови більш загального виду
9.8. Завдання про власні значення, що містять кілька параметрів
9.9. Диференціальні рівняння з особливостями у граничних точках
9.10. Завдання про власні значення на нескінченному інтервалі
§ 10. Нелінійні крайові завдання та завдання про власні значення другого порядку
10.1. Крайові завдання для кінцевого інтервалу
10.2. Крайові завдання для напівобмеженого інтервалу
10.3. Завдання про власні значення
§ 11. Крайові завдання та завдання про власні значення третього – восьмого порядків
11.1. Лінійні завдання про власні значення третього порядку
11.2. Лінійні завдання про власні значення четвертого порядку
11.3. Лінійні задачі для системи двох диференціальних рівнянь другого порядку
11.4. Нелінійні крайові завдання четвертого порядку
11.5. Завдання про власні значення вищого порядку
ЧАСТИНА ТРЕТЯ ОКРЕМІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ
Попередні зауваження
Глава I. Диференціальні рівняння першого порядку
1-367. Диференціальні рівняння першого ступеня щодо (?)
368-517. Диференціальні рівняння другого ступеня щодо (?)
518-544. Диференціальні рівняння третього ступеня щодо (?)
545-576. Диференціальні рівняння більш загального виду
Розділ II. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
1-90. (формула)
91-145. (формула)
146-221. (формула)
222-250. (формула)
251-303. (формула)
304-341. (формула)
342-396. (формула)
397-410. (формула)
411-445. Інші диференціальні рівняння
Розділ III. Лінійні диференціальні рівняння третього порядку
Розділ IV. Лінійні диференціальні рівняння четвертого порядку
Глава V. Лінійні диференціальні рівняння п'ятого та більш високих порядків
Розділ VI. Нелінійні диференціальні рівняння другого порядку
1-72. (формула)
73-103. (формула)
104-187. (формула)
188-225. (формула)
226-249. Інші диференціальні рівняння
Розділ VII. Нелінійні диференціальні рівняння третього та більш високих порядків
Розділ VIII. Системи лінійних диференціальних рівнянь
Попередні зауваження
1-18. Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку із постійними коефіцієнтами
19-25. Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку із змінними коефіцієнтами
26-43. Системи двох диференціальних рівнянь порядку вище за перший
44-57. Системи більш ніж двох диференціальних рівнянь
Розділ IX. Системи нелінійних диференціальних рівнянь
1-17. Системи двох диференціальних рівнянь
18-29. Системи більш ніж двох диференціальних рівнянь
ДОДАТКИ
Про вирішення лінійних однорідних рівнянь другого порядку (І. Збірник)
Доповнення до книги Е. Камке (Д. Митрінович)
Новий спосіб класифікації лінійних диференціальних рівнянь та побудови їх загального вирішення за допомогою рекурентних формул (І. Збірник)
Предметний покажчик

Назва: Довідник за звичайними диференціальними рівняннями

«Довідник за звичайними диференціальними рівняннями» відомого німецького математика Еріха Камке (1890 - 1961) є унікальним за охопленням матеріалу видання і займає гідне місце у світовій довідковій математичній літературі.
Перше видання російського перекладу цієї книги з'явилося 1951 року. Минули з того часу два десятиліття були періодом бурхливого розвитку обчислювальної математики та обчислювальної техніки. Сучасні обчислювальні засоби дозволяють швидко і з великою точністю вирішувати різноманітні завдання, які раніше здавались надто громіздкими. Зокрема, чисельні методи широко застосовуються у завданнях, пов'язаних із звичайними диференціальними рівняннями. Тим не менш, можливість записати загальне рішення того чи іншого диференціального рівняння або системи в замкнутому вигляді має в багатьох випадках значні переваги. Тому великий довідковий матеріал, який зібраний у третій частині книги Е. Камке, - близько 1650 рівнянь з рішеннями - зберігає велике значення і зараз.

Крім зазначеного довідкового матеріалу, книга Е. Камке містить виклад (щоправда, без доказів) основних понять та найважливіших результатів, що належать до звичайних диференціальних рівнянь. Тут висвітлюється і низка таких питань, які зазвичай не включаються до підручників з диференціальних рівнянь (наприклад, теорія крайових завдань та завдань про власні значення).
Книга Е. Камке містить безліч фактів та результатів, корисних у повсякденній роботі, вона виявилася цінною та необхідною для широкого кола науковців та фахівців у прикладних галузях, для інженерів та студентів. Три попередні видання перекладу цього довідника російською мовою були схвально зустрінуті читачами і давно розійшлися.
Переклад російською мовою був наново звірений з шостим німецьким виданням (1959); виправлені помічені неточності, помилки та помилки. Усі вставки, зауваження та доповнення, зроблені у тексті редактором та перекладачем, укладені у квадратні дужки. Наприкінці книги під заголовком «Доповнення» вміщено скорочені переклади (виконані Н. X. Рожевим) тих кількох журнальних статей, що доповнюють довідкову частину, які автор згадав у шостому німецькому виданні.

ЧАСТИНА ПЕРША
ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ
Розділ I.
§ 1. Диференціальні рівняння, дозволені щодо
похідної: у" =f(x,y); основні поняття
1.1. Позначення та геометричний сенс диференціального
рівняння
1.2. Існування та єдиність рішення
§ 2. Диференціальні рівняння, дозволені щодо
похідної: у" =f(x,y); методи розв'язання
2.1. Метод ламаних
2.2. Метод послідовних наближень Пікара-Лінделефа
2.3. Застосування статечних рядів
2.4. Більш загальний випадок розкладання в ряд25
2.5. Розкладання в ряд за параметром 27
2.6. Зв'язок із рівняннями у приватних похідних27
2.7. Теореми про оцінки 28
2.8. Поведінка рішень при великих значеннях х 30
§ 3. Диференціальні рівняння, не дозволені относительно32
похідної: F(y", у,х)=0
3.1. Про рішення та методи рішення 32
3.2. Регулярні та особливі лінійні елементи33
§ 4. Розв'язання окремих видів диференціальних рівнянь першого 34
порядку
4.1. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Лінійні диференціальні рівняння 35.
4.4. Асимптотична поведінка рішень лінійних диференціальних рівнянь
4.5. Рівняння Бернуллі y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. Однорідні диференціальні рівняння та приведені до них38
4.7. Узагальнено-однорідні рівняння 40
4.8. Спеціальне рівняння Ріккаті: у"+ау2=Ьха 40
4.9. Загальне рівняння Ріккаті: y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. Рівняння Абеля першого роду44
4.11. Рівняння Абеля другого роду47
4.12. Рівняння у повних диференціалах 49
4.13. Інтегруючий множник 49
4.14. F(y",y,x)=0, "інтегрування за допомогою диференціювання" 50
4.15. (a) y=G(x, у"); (б) x=G(y, у") 50
4.16. (a) G(y ",х)=0; (б) G(y \y)=Q 51
4.17. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Рівняння Клеро 52
4.19. Рівняння Лагранжа-Даламбера 52
4.20. F(x, ху"-у, у")=0. Перетворення Лежандра53
Розділ II. Довільні системи диференціальних рівнянь, дозволених щодо похідних
§ 5. Основні поняття54
5.1. Позначення та геометричний сенс системи диференціальних рівнянь
5.2. Існування та єдиність рішення 54
5.3. Теорема існування Каратеодорі 5 5
5.4. Залежність рішення від початкових умов та параметрів56
5.5. Питання стійкості57
§ 6. Методи вирішення 59
6.1. Метод ламаних59
6.2. Метод послідовних наближень Пікара-Лінделефа59
6.3. Застосування статечних рядів 60
6.4. Зв'язок із рівняннями у приватних похідних 61
6.5. Редукція системи за допомогою відомого співвідношення між рішеннями
6.6. Редукція системи за допомогою диференціювання та виключення 62
6.7. Теореми про оцінки 62
§ 7. Автономні системи 63
7.1. Визначення та геометричний сенс автономної системи 64
7.2. Про поведінку інтегральних кривих на околиці особливої точки у разі п = 2
7.3. Критерії для визначення типу особливої точки 66
Розділ III.
§ 8. Довільні лінійні системи70
8.1. Загальні зауваження70
8.2. Теореми існування та єдиності. Методи розв'язання70
8.3. Зведення неоднорідної системи до однорідної71
8.4. Теореми про оцінки 71
§ 9. Однорідні лінійні системи72
9.1. Властивості рішень. Фундаментальні системи рішень 72
9.2. Теореми існування та методи вирішення 74
9.3. Редукція системи до системи З меншою кількістю рівнянь75
9.4. Сполучена система диференціальних рівнянь76
9.5. Самосполучені системи диференціальних рівнянь, 76
9.6. Сполучені системи диференціальних форм; тотожність Лагранжа, формула Гріна
9.7. Фундаментальні рішення78
§10. Однорідні лінійні системи з особливими точками 79
10.1. Класифікація спеціальних точок 79
10.2. Слабко особливі точки80
10.3. Особливі точки 82
§11. Поведінка рішень при великих значеннях х 83
§12. Лінійні системи, що залежать від параметра84
§13. Лінійні системи з постійними коефіцієнтами 86
13.1. Однорідні системи 83
13.2. Системи загального виду 87
Розділ IV. Довільні диференціальні рівняння n-го порядку
§ 14. Рівняння, дозволені щодо старшої похідної: 89
yin)=f(x,y,y\...,y(n-\))
§15. Рівняння, не дозволені щодо старшої похідної:90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. Рівняння у повних диференціалах90
15.2. Узагальнено-однорідні рівняння 90
15.3. Рівняння, що не містять явно х або 91
Розділ V. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку,
§16. Довільні лінійні диференціальні рівняння п-то порядку92
16.1. Загальні зауваження92
16.2. Теореми існування та єдиності. Методи вирішення92
16.3. Виняток похідної (п-1)-го порядку94
16.4. Зведення неоднорідного диференціального рівняння до однорідного
16.5. Поведінка рішень при великих значеннях х94
§17. Однорідні лінійні диференціальні рівняння п-то порядку 95
17.1. Властивості рішень та теореми існування 95
17.2. Зниження порядку диференціального рівняння96
17.3. 0 нулях рішень 97
17.4. Фундаментальні рішення 97
17.5. Сполучені, самосполучені та антисамоспряжені диференціальні форми
17.6. Тотожність Лагранжа; формули Діріхле та Гріна 99
17.7. Про рішення пов'язаних рівнянь і рівнянь у повних диференціалах
§18. Однорідні лінійні диференціальні рівняння з особливими101
точками
18.1. Класифікація спеціальних точок 101
18.2. Випадок, коли точка х = Е, регулярна або слабко особлива104
18.3. Випадок, коли точка x=inf регулярна або слабко особлива108
18.4. Випадок, коли точка х=% дуже особлива 107
18.5. Випадок, коли точка x=inf дуже особлива 108
18.6. Диференціальні рівняння з поліноміальними коефіцієнтами
18.7. Диференціальні рівняння з періодичними коефіцієнтами
18.8. Диференціальні рівняння з двоякоперіодичними коефіцієнтами
18.9. Випадок дійсного змінного112
§19. Розв'язання лінійних диференціальних рівнянь за допомогою 113
певних інтегралів
19.1. Загальний принцип 113
19.2. Перетворення Лапласа 116
19.3.Специальноеперетворення Лапласа 119
19.4. Перетворення Меліна 120
19.5. Перетворення Ейлера 121
19.6. Рішення за допомогою подвійних інтегралів 123
§ 20. Поведінка рішень при великих значеннях х 124
20.1. Поліноміальні коефіцієнти124
20.2. Коефіцієнти більш загального виду 125
20.3. Безперервні коефіцієнти 125
20.4. Осциляційні теореми126
§21. Лінійні диференціальні рівняння п-то порядку, що залежать від127
параметра
§ 22. Деякі спеціальні типи лінійних диференціальних129
рівнянь п-то порядку
22.1. Однорідні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами
22.2. Неоднорідні диференціальні рівняння з постійними130
22.3. Рівняння Ейлера 132
22.4. Рівняння Лапласа132
22.5. Рівняння з поліноміальними коефіцієнтами133
22.6. Рівняння Похгаммера134
Розділ VI. Диференціальні рівняння другого порядку
§ 23. Нелінійні диференціальні рівняння другого порядку 139
23.1. Методи розв'язання приватних типів нелінійних рівнянь 139
23.2. Деякі додаткові зауваження140
23.3. Теореми про граничні значення 141
23.4. Осциляційна теорема 142
§ 24. Довільні лінійні диференціальні рівняння другого 142
порядку
24.1. Загальні зауваження142
24.2. Деякі методи вирішення 143
24.3. Теореми про оцінки 144
§ 25. Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку 145
25.1. Редукція лінійних диференціальних рівнянь другого порядку
25.2. Подальші зауваження щодо редукції лінійних рівнянь другого порядку
25.3. Розкладання рішення в безперервний дріб 149
25.4. Загальні зауваження про нулі рішень150
25.5. Нулі рішень на кінцевому інтервалі151
25.6. Поведінка рішень при х->inf 153
25.7. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з особливими точками
25.8. Наближені рішення. Асимптотичні рішення дійсне змінне
25.9. асимптотичні рішення; комплексне змінне161
25.10. Метод ВБК 162
Розділ VII. Лінійні диференціальні рівняння третього та четвертого
порядків
§ 26. Лінійні диференціальні рівняння третього порядка163
§ 27. Лінійні диференціальні рівняння четвертого порядку 164
Розділ VIII. Наближені методи інтегрування диференціальних
рівнянь
§ 28. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь 165
першого порядку
28.1. Метод ламаних165.
28.2. Метод додаткового півкроку 166
28.3. Метод Рунге – Хейна – Кутта 167
28.4. Комбінування інтерполяції та послідовних наближень168
28.5. Метод Адамса 170
28.6. Доповнення до методу Адамса 172
§ 29. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь 174
вищих порядків
29.1. Методи наближеного інтегрування систем диференціальних рівнянь першого порядку
29.2. Метод ламаних для диференціальних рівнянь другого порядку 176
29.3. Метод Рунге-Кутта для диференціальних рівнянь другого порядку
29.4. Метод Адамса - Штермера рівняння y"=f(x,y,y) 177
29.5. Метод Адамса - Штермер для рівняння y"=f(x,y) 178
29.6. Метод Блеса для рівняння y" = f (x, y, y) 179

ЧАСТИНА ДРУГА
КРАЄВІ ЗАВДАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ПРО ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ
Розділ I. Крайові задачі та завдання про власні значення для лінійних
диференціальних рівнянь п-то порядку
§ 1. Загальна теорія крайових задач182
1.1. Позначення та попередні зауваження 182
1.2. Умови розв'язання крайової задачі184
1.3. Пов'язана крайова задача 185
1.4. Самосполучені крайові завдання 187
1.5. Функція Гріна 188
1.6. Розв'язання неоднорідної крайової задачі за допомогою функції Гріна 190
1.7. Узагальнена функція Гріна 190
§ 2. Крайові завдання та завдання про власні значення для рівняння 193
£ШУ(У)+ЫХ)У = 1(Х)
2.1. Власні значення та власні функції; характеристичний детермінант А(Х)
2.2. Сполучене завдання про власні значення та резольвента Гріна; повна біоортогональна система
2.3. Нормовані крайові умови; регулярні завдання про власні значення
2.4. Власні значення для регулярних та нерегулярних завдань про власні значення
2.5. Розкладання заданої функції за власними функціями регулярних та нерегулярних завдань про власні значення
2.6. Самосполучені нормальні завдання про власні значення 200
2.7. Про інтегральні рівняння типу Фредгольма 204
2.8. Зв'язок між крайовими завданнями та інтегральними рівняннями типу Фредгольма
2.9. Зв'язок між завданнями про власні значення та інтегральними рівняннями типу Фредгольма
2.10. Про інтегральні рівняння типу Вольтерра211
2.11. Зв'язок між крайовими завданнями та інтегральними рівняннями типу Вольтерра
2.12. Зв'язок між завданнями про власні значення та інтегральними рівняннями типу Вольтерра
2.13. Зв'язок між завданнями про власні значення та варіаційним обчисленням
2.14. Застосування до розкладання за власними функціями218
2.15. Додаткові зауваження219
§ 3. Наближені методи вирішення завдань про власні значення і222-
крайових завдань
3.1. Наближений метод Галеркіна - Ритца222
3.2. Наближений метод Граммеля224
3.3. Розв'язання неоднорідного крайового завдання методом Галеркіна - Ритца
3.4. Метод послідовних наближень 226
3.5. Наближене розв'язання крайових задач та завдань про власні значення методом кінцевих різниць
3.6. Метод обурень 230
3.7. Оцінки для власних значень 233
3.8. Огляд способів обчислення власних значень та власних 236 функцій
§ 4. Самосполучені завдання про власні значення для рівняння238
F(y)=W(y)
4.1. Постановка задачі 238
4.2. Загальні попередні зауваження 239
4.3. Нормальні завдання про власні значення 240
4.4. Позитивно визначені завдання про власні значення 241
4.5. Розкладання за власними функціями 244
§ 5. Крайові та додаткові умови більш загального виду
Розділ II. Крайові завдання та завдання про власні значення для систем
лінійних диференціальних рівнянь
§ 6. Крайові завдання та завдання про власні значення для систем 249
лінійних диференціальних рівнянь
6.1. Позначення та умови дозвільності 249
6.2. Пов'язана крайова задача 250
6.3. Матриця Гріна252
6.4. Завдання про власні значення 252-
6.5. Самосполучені завдання про власні значення 253
Розділ III. Крайові задачі та завдання про власні значення для рівнянь
нижчих порядків
§ 7. Завдання першого порядку256
7.1. Лінійні завдання 256
7.2. Нелінійні завдання 257
§ 8. Лінійні крайові завдання другого порядку257
8.1. Загальні зауваження 257
8.2. Функція Гріна 258
8.3. Оцінки для вирішення крайових завдань першого роду259
8.4. Крайові умови за |х|->inf259
8.5. Пошук періодичних рішень 260
8.6. Одна крайова задача, пов'язана з вивченням течії рідини 260
§ 9. Лінійні завдання про власні значення другого порядку 261
9.1. Загальні зауваження 261
9.2 Самосполучені завдання про власні значення 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y і крайові умови самосполучені266
9.4. Завдання про власні значення та варіаційний принцип269
9.5. Про практичне обчислення власних значень та власних функцій
9.6. Завдання про власні значення, не обов'язково самосполучені271
9.7. Додаткові умови більш загального виду273
9.8. Завдання про власні значення, що містять кілька параметрів
9.9. Диференціальні рівняння з особливостями у граничних точках 276
9.10. Завдання про власні значення на нескінченному інтервалі 277
§10. Нелінійні крайові задачі та завдання про власні значення 278
другого порядку
10.1. Крайові задачі для кінцевого інтервалу 278
10.2. Крайові завдання для напівобмеженого інтервалу 281
10.3. Завдання про власні значення282
§11. Крайові задачі та завдання про власні значення третього-283
восьмого порядків
11.1. Лінійні завдання про власні значення третього порядка283
11.2. Лінійні завдання про власні значення четвертого порядку 284
11.3. Лінійні задачі для системи двох диференціальних рівнянь другого порядку
11.4. Нелінійні крайові завдання четвертого порядку 287
11.5. Завдання про власні значення вищого порядка288

ЧАСТИНА ТРЕТЯ
ВІДДІЛЬНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ
Попередні зауваження 290
Розділ I. Диференціальні рівняння першого порядку
1-367. Диференціальні, рівняння першого ступеня щодо У 294
368-517. Диференціальні рівняння другого ступеня относительно334
518-544. Диференціальні рівняння третього ступеня относительно354
545-576. Диференціальні рівняння більш загального виду358
Розділ II. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
1-90. ау" + ...363
91-145. (ах+ЬУу" + ... 385
146-221.x2 у" + ... 396
222-250. (х2±а2)у"+... 410
251-303. (ах2 +Ьх+с)у" + ... 419
304-341. (ах3 +...)у" + ...435
342-396. (ах4 +...)у" + ...442
397-410. (ах«+...)у» + ...449
411-445. Інші диференціальні рівняння 454
Розділ III. Лінійні диференціальні рівняння третього порядку
Розділ IV. Лінійні диференціальні рівняння четвертого порядку
Розділ V. Лінійні диференціальні рівняння п'ятого і вищих
порядків
Розділ VI. Нелінійні диференціальні рівняння другого порядку
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187./(х)ху"ЧР(х,;у,;у")503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Інші диференціальні рівняння 520
Розділ VII. Нелінійні диференціальні рівняння третього та більше
високих порядків
Розділ VIII. Системи лінійних диференціальних рівнянь
Попередні зауваження 530
1-18. Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку з530
постійними коефіцієнтами 19-25.
Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку с534
змінними коефіцієнтами
26-43. Системи двох диференціальних рівнянь порядку вище535
першого
44-57. Системи більш ніж двох диференціальних рівнянь538
Розділ IX. Системи нелінійних диференціальних рівнянь
1-17. Системи двох диференціальних рівнянь541
18-29. Системи більш ніж двох диференціальних рівнянь 544
ДОДАТКИ
Про розв'язання лінійних однорідних рівнянь другого порядку (І.Збірник) 547
Доповнення до книги Е. Камке (Д.Мітринович) 556
Новий спосіб класифікації лінійних диференціальних рівнянь та 568
побудови їх загального вирішення за допомогою рекурентних формул
(І.Збірник)
Предметний покажчик 571

Айнс Е.Л. Прості диференціальні рівняння. Харків: ОНТІ, 1939

Андронов А.А., Леонтович Є.В., Гордон І.І., Майєр А.Г. Якісна теорія динамічних систем другого порядку. М: Наука, 1966

Аносов Д.В. (ред.) Гладкі динамічні системи (Збірник перекладів, Математика у зарубіжній науці N4). М: Мир, 1977

Арнольд В.І., Козлов В.В., Нейштадт А.І. Математичні аспекти класичної та небесної механіки. М.: ВІНІТІ, 1985

Барбашин Є.А. Опції Ляпунова. М: Наука, 1970

Боголюбов Н.М., Митропольський Ю.А. Асимптотичні методи теорії нелінійних коливань (2-ге вид.). М: Наука, 1974

Вазов В. Асимптотичні розкладання розв'язків звичайних диференціальних рівнянь. М: Мир, 1968

Вайнберг М.М., Треногін В.А. Теорія розгалуження розв'язків нелінійних рівнянь. М: Наука, 1969

Голубєв В.В. Лекції з аналітичної теорії диференціальних рівнянь. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950

Гурса Еге. Курс математичного аналізу, том 2, частина 2. Диференціальні рівняння. М.-Л.: ГТТІ, 1933

Демидович Б.П. Лекції з математичної теорії сталості. М: Наука, 1967

Добровольський В.А. Нариси розвитку аналітичної теорії диференціальних рівнянь Київ: Вища школа, 1974

Єгоров Д. Інтегрування диференціальних рівнянь (3-тє вид.). М.: Друкарня Яковлєва, 1913

Єругін Н.П. Книга для читання за загальним курсом диференціальних рівнянь (3-тє вид.). Мн.: Наука та техніка, 1979

Єругін Н.П. Лінійні системи звичайних диференціальних рівнянь з періодичними та квазіперіодичними коефіцієнтами. Мн.: АН БРСР, 1963

Єругін Н.П. Метод Лаппо-Данилевського теоретично лінійних диференціальних рівнянь. Л.: ЛДУ, 1956

Зайцев В.Ф. Введення у сучасний груповий аналіз. Частина 1: Групи перетворень на площині ( навчальний посібникдо спецкурсу). СПб.: РДПУ ім. А.І.Герцена, 1996

Зайцев В.Ф. Введення у сучасний груповий аналіз. Частина 2: Рівняння першого порядку та точкові групи, що допускаються ними (навчальний посібник до спецкурсу). СПб.: РДПУ ім. А.І.Герцена, 1996

Ібрагімов Н.Х. Абетка групового аналізу. М: Знання, 1989

Ібрагімов Н.Х. Досвід групового аналізу звичайних диференціальних рівнянь. М: Знання, 1991

Каменков Г.В. Вибрані праці. Т.1. Стійкість руху. вагання. Аеродинаміка. М: Наука, 1971

Каменков Г.В. Вибрані праці. Т.2. Стійкість та коливання нелінійних систем. М: Наука, 1972

Камке Е. Довідник за звичайними диференціальними рівняннями (4-те видання). М: Наука, 1971

Капланскі І. Введення у диференціальну алгебру. М: ІЛ, 1959

Карташев А.П., Різдвяний Б.Л. Звичайні диференціальні рівняння та основи варіаційного обчислення (2-ге вид.). М: Наука, 1979

Коддінгтон Е.А., Левінсон Н. Теорія звичайних диференціальних рівнянь. М: ІЛ, 1958

Козлов В.В. Симетрії, топологія та резонанси в гамільтоновій механіці. Іжевськ: Изд-во Удмуртського держ. університету, 1995

Коллатц Л. Завдання на власні значення (з технічними програмами). М: Наука, 1968

Коул Дж. Методи збурень у прикладній математиці. М: Мир, 1972

Коялович Б.М. Дослідження про диференціальне рівняння ydy-ydx=Rdx. СПб: Академія наук, 1894

Красовський Н.М. Деякі завдання теорії сталості руху. М.: Фізматліт, 1959

Крускал М. Адіабатичні інваріанти. Асимптотична теорія рівнянь Гамільтона та інших систем диференціальних рівнянь, всі рішення яких приблизно періодичні. М: ІЛ, 1962

Куренський М.К. Диференційне рівняння. Книга 1. Звичайні диференціальні рівняння. Л.: Артилерійська академія, 1933

Лаппо-Данілевський І.А. Застосування функцій від матриць до теорії лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь. М: ГІТТЛ, 1957

Лаппо-Данілевський І.А. Теорія функцій від матриць та системи лінійних диференціальних рівнянь. Л.-М., ГІТТЛ, 1934

Ла-Саль Ж., Лефшець С. Дослідження стійкості прямим методом Ляпунова. М: Мир, 1964

Левітан Б.М., Жіков В.В. Майже-періодичні функції та диференціальні рівняння. М: МДУ, 1978

Лефшець С. Геометрична теорія диференціальних рівнянь. М: ІЛ, 1961

Ляпунов О.М. Загальне завдання щодо стійкості руху. М.-Л.: ГІТТЛ, 1950

Малкін І.Г. Теорія сталості руху. М: Наука, 1966

Марченко В.О. Оператори Штурма-Ліувіля та їх застосування. Київ: Наук. думка, 1977

Марченко В.О. Спектральна теорія операторів Штурма-Лівілля. Київ: Наук. думка, 1972

Матвєєв Н.М. Методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь (3-тє вид.). М.: вища школа, 1967

Міщенко Є.Ф., Розов Н.X. Диференціальні рівняння з малим параметром та релаксаційні коливання. М: Наука, 1975

Моїсеєв Н.М. Асимптотичні методи нелінійної механіки М: Наука, 1969

Мордухай-Болтовський Д. Про інтегрування в кінцевому вигляді лінійних диференціальних рівнянь. Варшава, 1910

Наймарк М.А. Лінійні диференціальні оператори (2-ге вид.). М: Наука, 1969

Немицький В.В., Степанов В.В. Якісна теорія диференціальних рівнянь. М.-Л.: ОГІЗ, 1947

Плісс В.А. Нелокальні проблеми теорії вагань. М.-Л.: Наука, 1964

Пономарьов К.К. Упорядкування диференціальних рівнянь. Мн: Виш. школа, 1973

Понтрягін Л.С. Прості диференціальні рівняння (4-те вид.). М: Наука, 1974

Пуанкаре А. Про криві, що визначаються диференціальними рівняннями. М.-Л., ГІТТЛ, 1947

Расулов М.Л. Метод контурного інтеграла та його застосування для дослідження завдань для диференціальних рівнянь. М: Наука, 1964

Румянцев В.В., Озіранер А.С. Стійкість та стабілізація руху по відношенню до частини змінних. М: Наука, 1987

Сансон Дж. Звичайні диференціальні рівняння, том 1. М: ІЛ, 1953

Пров. з ним. - 4-е вид., Випр. - М: Наука: Гол. ред. фіз-мат. літ., 1971. – 576с.

З ПЕРЕДМОВ ДО ЧЕТВЕРТОГО ВИДАННЯ

Перше видання російського перекладу цієї книги з'явилося 1951 року. Минули з того часу два десятиліття були періодом бурхливого розвитку обчислювальної математики та обчислювальної техніки. Сучасні обчислювальні засоби дозволяють швидко і з великою точністю вирішувати різноманітні завдання, які раніше здавались надто громіздкими. Зокрема, чисельні методи широко застосовуються у завданнях, пов'язаних із звичайними диференціальними рівняннями. Тим не менш, можливість записати загальне рішення того чи іншого диференціального рівняння або системи в замкнутому вигляді має в багатьох випадках значні переваги. Тому великий довідковий матеріал, який зібраний у третій частині книги Е. Камке, - близько 1650 рівнянь з рішеннями - зберігає велике значення і зараз.

Книга Е. Камке містить безліч фактів та результатів, корисних у повсякденній роботі, вона виявилася цінною та необхідною для широкого кола науковців та фахівців у прикладних галузях, для інженерів та студентів. Три попередні видання перекладу цього довідника російською мовою були схвально зустрінуті читачами і давно розійшлися.

Зміст
Передмова до четвертого видання 11
Деякі позначення 13
Прийняті скорочення у бібліографічних вказівках 13
ЧАСТИНА ПЕРША
ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ Розділ I. Диференціальні рівняння першого порядку
§ 1. Диференціальні рівняння, дозволені щодо 19
похідної: у" =f(x,y); основні поняття
1.1. Позначення та геометричний сенс диференціального 19
рівняння
1.2. Існування та єдиність рішення 20
§ 2. Диференціальні рівняння, дозволені щодо 21
похідної: у" =f(x,y); методи вирішення
2.1. Метод ламаних 21
2.2. Метод послідовних наближень Пікара-Лінделефа 23
2.3. Застосування статечних рядів 24
2.4. Більш загальний випадок розкладання до ряду 25
2.5. Розкладання в ряд за параметром 27
2.6. Зв'язок із рівняннями у приватних похідних 27
2.7. Теореми про оцінки 28
2.8. Поведінка рішень при великих значеннях х 30
§ 3. Диференціальні рівняння, не дозволені щодо 32
похідної: F(y", у,х)=0
3.1. Про рішення та методи рішення 32
3.2. Регулярні та спеціальні лінійні елементи 33
§ 4. Розв'язання окремих видів диференціальних рівнянь першого 34
порядку
4.1. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Лінійні диференціальні рівняння 35.
4.4. Асимптотична поведінка рішень
4.5. Рівняння Бернуллі y"+f(x)y+g(x)y a =0 38
4.6. Однорідні диференціальні рівняння та приведені до них 38
4.7. Узагальнено-однорідні рівняння 40
4.8. Спеціальне рівняння Ріккаті: у"+ау 2 = Ьх а 40
4.9. Загальне рівняння Ріккаті: y"=f(x)y 2 +g(x)y+h(x) 41
4.10. Рівняння Абеля першого роду 44
4.11. Рівняння Абеля другого роду 47
4.12. Рівняння у повних диференціалах 49
4.13. Інтегруючий множник 49
4.14. F(y",y,x)=0, "інтегрування за допомогою диференціювання" 50
4.15. (a) y=G(x, у"); (б) x=G(y, у) 50 4.16. (a) G(y ",х) = 0; (б) G(y y) = Q 51
4Л7. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Рівняння Клеро 52
4.19. Рівняння Лагранжа-Даламбера 52
4.20. F(x, ху"-у, у")=0. Перетворення Лежандра 53 Розділ II. Довільні системи диференціальних рівнянь,
дозволених щодо похідних
§ 5. Основні поняття 54
5.1. Позначення та геометричний сенс системи диференціальних рівнянь
5.2. Існування та єдиність рішення 54
5.3. Теорема існування Каратеодорі 5 5
5.4. Залежність рішення від початкових умов та параметрів 56
5.5. Питання стійкості 57
§ 6. Методи вирішення 59
6.1. Метод ламаних 59
6.2. Метод послідовних наближень Пікара-Лінделефа 59
6.3. Застосування статечних рядів 60
6.4. Зв'язок із рівняннями у приватних похідних 61
6.5. Редукція системи за допомогою відомого співвідношення між рішеннями
6.6. Редукція системи за допомогою диференціювання та виключення 62
6.7. Теореми про оцінки 62
§ 7. Автономні системи 63
7.1. Визначення та геометричний сенс автономної системи 64
7.2. Про поведінку інтегральних кривих на околиці особливої точки у разі п = 2
7.3. Критерії для визначення типу особливої точки 66
Розділ III. Системи лінійних диференціальних рівнянь
§ 8. Довільні лінійні системи 70
8.1. Загальні зауваження 70
8.2. Теореми існування та єдиності. Методи вирішення 70
8.3. Зведення неоднорідної системи до однорідної 71
8.4. Теореми про оцінки 71
§ 9. Однорідні лінійні системи 72
9.1. Властивості рішень. Фундаментальні системи рішень 72
9.2. Теореми існування та методи вирішення 74
9.3. Редукція системи до системи З меншою кількістю рівнянь 75
9.4. Сполучена система диференціальних рівнянь 76
9.5. Самосполучені системи диференціальних рівнянь, 76
9.6. Сполучені системи диференціальних форм; тотожність Лагранжа, формула Гріна
9.7. Фундаментальні рішення 78
§10. Однорідні лінійні системи з особливими точками 79
10.1. Класифікація спеціальних точок 79
10.2. Слабо особливі точки 80
10.3. Особливі точки 82 §11. Поведінка рішень при великих значеннях х 83
§12. Лінійні системи, що залежать від параметра 84
§13. Лінійні системи з постійними коефіцієнтами 86
13.1. Однорідні системи 83
13.2. Системи загального виду 87 Глава IV. Довільні диференціальні рівняння n-го порядку
§ 14. Рівняння, дозволені щодо старшої похідної: 89
yin)=f(x,y,y...,y(n-) )
§15. Рівняння, не дозволені щодо старшої похідної: 90
F(x,y,y...,y(n))=0
15.1. Рівняння у повних диференціалах 90
15.2. Узагальнено-однорідні рівняння 90
15.3. Рівняння, що не містять явно х або у 91 Глава V. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку,
§16. Довільні лінійні диференціальні рівняння п-то порядку 92
16.1. Загальні зауваження 92
16.2. Теореми існування та єдиності. Методи вирішення 92
16.3. Виняток похідної (п-1)-го порядку 94
16.4. Зведення неоднорідного диференціального рівняння до однорідного
16.5. Поведінка рішень при великих значеннях х 94
§17. Однорідні лінійні диференціальні рівняння п-то порядку 95
17.1. Властивості рішень та теореми існування 95
17.2. Зниження порядку диференціального рівняння 96
17.3. 0 нулях рішень 97
17.4. Фундаментальні рішення 97
17.5. Сполучені, самосполучені та антисамоспряжені диференціальні форми
17.6. Тотожність Лагранжа; формули Діріхле та Гріна 99
17.7. Про рішення сполучених рівнянь та рівнянь у повних диференціалах
§18. Однорідні лінійні диференціальні рівняння з особливими 101
точками
18.1. Класифікація спеціальних точок 101
18.2. Випадок, коли точка х = Е, регулярна або слабко особлива 104
18.3. Випадок, коли точка x=inf регулярна або слабко особлива 108
18.4. Випадок, коли точка х=% сильно особлива 107
18.5. Випадок, коли точка x=inf дуже особлива 108
18.6. Диференціальні рівняння з поліноміальними коефіцієнтами
18.7. Диференціальні рівняння з періодичними коефіцієнтами
18.8. Диференціальні рівняння з двоякоперіодичними коефіцієнтами
18.9. Випадок дійсного змінного 112
§19. Розв'язання лінійних диференціальних рівнянь за допомогою 113
конкретних інтегралів 19.1. Загальний принцип 113
19.2. Перетворення Лапласа 116
19.3.Специальноеперетворення Лапласа 119
19.4. Перетворення Меліна 120
19.5. Перетворення Ейлера 121
19.6. Рішення за допомогою подвійних інтегралів 123
§ 20. Поведінка рішень при великих значеннях х 124
20.1. Поліноміальні коефіцієнти 124
20.2. Коефіцієнти більш загального виду 125
20.3. Безперервні коефіцієнти 125
20.4. Осциляційні теореми 126
§21. Лінійні диференціальні рівняння п-то порядку, що залежать від 127
параметра
§ 22. Деякі спеціальні типи лінійних диференціальних 129
рівнянь п-то порядку
22.1. Однорідні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами
22.2. Неоднорідні диференціальні рівняння з постійними 130
22.3. Рівняння Ейлера 132
22.4. Рівняння Лапласа 132
22.5. Рівняння з поліноміальними коефіцієнтами 133
22.6. Рівняння Похгаммера 134
Глава VI. Диференціальні рівняння другого порядку
§ 23. Нелінійні диференціальні рівняння другого порядку 139
23.1. Методи розв'язання приватних типів нелінійних рівнянь 139
23.2. Деякі додаткові зауваження 140
23.3. Теореми про граничні значення 141
23.4. Осциляційна теорема 142
§ 24. Довільні лінійні диференціальні рівняння другого 142
порядку
24.1. Загальні зауваження 142
24.2. Деякі методи вирішення 143
24.3. Теореми про оцінки 144
§ 25. Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку 145
25.1. Редукція лінійних диференціальних рівнянь другого порядку
25.2. Подальші зауваження щодо редукції лінійних рівнянь другого порядку
25.3. Розкладання рішення в безперервний дріб 149
25.4. Загальні зауваження про нулі рішень 150
25.5. Нулі рішень на кінцевому інтервалі 151
25.6. Поведінка рішень при х->inf 153
25.7. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з особливими точками
25.8. Наближені рішення. Асимптотичні рішення дійсне змінне
25.9. асимптотичні рішення; комплексне змінне 161 25.10. Метод ВБК 162 Розділ VII. Лінійні диференціальні рівняння третього та четвертого
порядків
§ 26. Лінійні диференціальні рівняння третього порядку 163
§ 27. Лінійні диференціальні рівняння четвертого порядку 164 Розділ VIII. Наближені методи інтегрування диференціальних
рівнянь
§ 28. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь 165
першого порядку
28.1. Метод ламаних 165.
28.2. Метод додаткового півкроку 166
28.3. Метод Рунге – Хейна – Кутта 167
28.4. Комбінування інтерполяції та послідовних наближень 168
28.5. Метод Адамса 170
28.6. Доповнення до методу Адамса 172
§ 29. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь 174
вищих порядків
29.1. Методи наближеного інтегрування систем диференціальних рівнянь першого порядку
29.2. Метод ламаних для диференціальних рівнянь другого порядку 176
29.3. Метод Рунге-Кутта для диференціальних рівнянь другого порядку
29.4. Метод Адамса – Штермера для рівняння y"=f(x,y,y) 177
29.5. Метод Адамса – Штермера для рівняння y"=f(x,y) 178
29.6. Метод Блеса для рівняння y"=f(x,y,y) 179
ЧАСТИНА ДРУГА
КРАЄВІ ЗАВДАННЯ І ЗАВДАННЯ ПРО ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ Глава I. Крайові задачі та завдання про власні значення для лінійних
диференціальних рівнянь п-то порядку
§ 1. Загальна теорія крайових завдань 182
1.1. Позначення та попередні зауваження 182
1.2. Умови розв'язання крайового завдання 184
1.3. Пов'язана крайова задача 185
1.4. Самосполучені крайові завдання 187
1.5. Функція Гріна 188
1.6. Розв'язання неоднорідної крайової задачі за допомогою функції Гріна 190
1.7. Узагальнена функція Гріна 190
§ 2. Крайові завдання та завдання про власні значення для рівняння 193
£шу (у) +Ых)у = 1(х)
2.1. Власні значення та власні функції; характеристичний детермінант А(Х)
2.2. Сполучене завдання про власні значення та резольвента Гріна; повна біоортогональна система
2.3. Нормовані крайові умови; регулярні завдання про власні значення 2.4. Власні значення для регулярних та нерегулярних завдань про власні значення
2.5. Розкладання заданої функції за власними функціями регулярних та нерегулярних завдань про власні значення
2.6. Самосполучені нормальні завдання про власні значення 200
2.7. Про інтегральні рівняння типу Фредгольма 204
2.8. Зв'язок між крайовими завданнями та інтегральними рівняннями типу Фредгольма
2.9. Зв'язок між завданнями про власні значення та інтегральними рівняннями типу Фредгольма
2.10. Про інтегральні рівняння типу Вольтерра 211
2.11. Зв'язок між крайовими завданнями та інтегральними рівняннями типу Вольтерра
2.12. Зв'язок між завданнями про власні значення та інтегральними рівняннями типу Вольтерра
2.13. Зв'язок між завданнями про власні значення та варіаційним обчисленням
2.14. Застосування до розкладання за власними функціями 218
2.15. Додаткові зауваження 219
§ 3. Наближені методи розв'язання завдань про власні значення та 222-
крайових завдань
3.1. Наближений метод Галеркіна - Ритца 222
3.2. Наближений метод Граммеля 224
3.3. Розв'язання неоднорідного крайового завдання методом Галеркіна - Ритца
3.4. Метод послідовних наближень 226
3.5. Наближене розв'язання крайових задач та завдань про власні значення методом кінцевих різниць
3.6. Метод обурень 230
3.7. Оцінки для власних значень 233
3.8. Огляд способів обчислення власних значень та власних 236 функцій
§ 4. Самосполучені завдання про власні значення для рівняння 238
F(y)=W(y)
4.1. Постановка задачі 238
4.2. Загальні попередні зауваження 239
4.3. Нормальні завдання про власні значення 240
4.4. Позитивно визначені завдання про власні значення 241
4.5. Розкладання за власними функціями 244
§ 5. Крайові та додаткові умови більш загального виду Глава II. Крайові завдання та завдання про власні значення для систем
лінійних диференціальних рівнянь
§ 6. Крайові завдання та завдання про власні значення для систем 249
лінійних диференціальних рівнянь
6.1. Позначення та умови дозвільності 249
6.2. Пов'язана крайова задача 250
6.3. Матриця Гріна 252 6.4. Завдання про власні значення 252-
6.5. Самосполучені завдання про власні значення 253 Розділ III. Крайові задачі та завдання про власні значення для рівнянь
нижчих порядків
§ 7. Завдання першого порядку 256
7.1. Лінійні завдання 256
7.2. Нелінійні завдання 257
§ 8. Лінійні крайові завдання другого порядку 257
8.1. Загальні зауваження 257
8.2. Функція Гріна 258
8.3. Оцінки для вирішення крайових завдань першого роду 259
8.4. Крайові умови за |х|->inf 259
8.5. Пошук періодичних рішень 260
8.6. Одна крайова задача, пов'язана з вивченням течії рідини 260
§ 9. Лінійні завдання про власні значення другого порядку 261
9.1. Загальні зауваження 261
9.2 Самосполучені завдання про власні значення 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y і крайові умови самосполучені 266
9.4. Завдання про власні значення та варіаційний принцип 269
9.5. Про практичне обчислення власних значень та власних функцій
9.6. Завдання про власні значення, не обов'язково самосполучені 271
9.7. Додаткові умови загального вигляду 273
9.8. Завдання про власні значення, що містять кілька параметрів
9.9. Диференціальні рівняння з особливостями у граничних точках 276
9.10. Завдання про власні значення на нескінченному інтервалі 277
§10. Нелінійні крайові задачі та завдання про власні значення 278
другого порядку
10.1. Крайові задачі для кінцевого інтервалу 278
10.2. Крайові завдання для напівобмеженого інтервалу 281
10.3. Завдання про власні значення 282
§11. Крайові задачі та завдання про власні значення третього-283
восьмого порядків
11.1. Лінійні завдання про власні значення третього порядку 283
11.2. Лінійні завдання про власні значення четвертого порядку 284
11.3. Лінійні задачі для системи двох диференціальних рівнянь другого порядку
11.4. Нелінійні крайові завдання четвертого порядку 287
11.5. Завдання про власні значення вищого порядку 288
ЧАСТИНА ТРЕТЯ
ВІДДІЛЬНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ
Попередні зауваження 290 Розділ I. Диференціальні рівняння першого порядку
1-367. Диференціальні, рівняння першого ступеня щодо У 294
368-517. Диференціальні рівняння другого ступеня щодо 334518-544. Диференціальні рівняння третього ступеня щодо 354
545-576. Диференціальні рівняння більш загального виду 358 Глава II. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
1-90. ау" + ... 363
91-145. (ах+ЬУу" + ... 385
146-221.x 2 у" + ... 396
222-250. (х 2 ±а 2)у"+... 410
251-303. (ах 2 +Ьх+с)у" + ... 419
304-341. (ах 3 +...)у" + ... 435
342-396. (ах 4 +...)у" + ... 442
397-410. (ах « +...)у" + ... 449
411-445. Інші диференціальні рівняння 454
Г Лава III. Лінійні диференціальні рівняння третього порядку Розділ IV. Лінійні диференціальні рівняння четвертого порядку Глава V. Лінійні диференціальні рівняння п'ятого і вищих
порядківГлава VI. Нелінійні диференціальні рівняння другого порядку
1-72. ay"=F(x,y,y) 485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104-187./(х)ху"ЧР(х,;у,;у") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Інші диференціальні рівняння 520 Розділ VII. Нелінійні диференціальні рівняння третього та більше
високих порядків Глава VIII. Системи лінійних диференціальних рівнянь
Попередні зауваження 530
1-18. Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку з 530
постійними коефіцієнтами 19-25.
Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку з 534
змінними коефіцієнтами
26-43. Системи двох диференціальних рівнянь порядку вище 535
першого
44-57. Системи більш ніж двох диференціальних рівнянь 538 Розділ IX. Системи нелінійних диференціальних рівнянь
1-17. Системи двох диференціальних рівнянь 541
18-29. Системи більш ніж двох диференціальних рівнянь 544
ДОДАТКИ
Про розв'язання лінійних однорідних рівнянь другого порядку (І.Збірник) 547
Доповнення до книги Е. Камке (Д.Мітринович) 556
Новий спосіб класифікації лінійних диференціальних рівнянь та 568
побудови їх загального вирішення за допомогою рекурентних формул
(І.Збірник)
Предметний покажчик 571

« У народі існує два різко відрізняються один від одного вирази, пов'язані з осою. Це «жалить, як оса» і «осина талія». Перше вираження... »

Ворожіння на воску значення фігур букет квітів

« Ворожіння на воску допомагає передбачити найближче майбутнє та підготуватися до неприємностей. Птах при гаданні на воску є вісником майбутніх... »

Великий розклад ленорман Великий розклад ленорман техніка розкладу

« ЗНАЧЕННЯ КАРТ У БУДИНКАХ У ВЕЛИКОМУ РОЗКЛАДІ ЛЕНОРМАН Карта запитувача далеко не завжди опиняється в центрі. Це теж має враховуватися за умови... »