Конспект відкритого урокувикладача ДБПОУ «Педагогічного коледжу №4 Санкт-Петербурга»

Мартусевич Тетяни Олегівни

Дата: 29.12.2014.

Тема: Геометричний сенс похідної.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Методи навчання: наочний, частково пошуковий.

Ціль уроку.

Запровадити поняття дотичної до графіку функції у точці, з'ясувати у чому полягає геометричний сенс похідної, вивести рівняння дотичної і навчити шукати його.

Освітні завдання:

Досягти розуміння геометричного сенсу похідної; виведення рівняння дотичної; навчитись вирішувати базові завдання;

забезпечити повторення матеріалу на тему «Визначення похідної»;

створити умови контролю (самоконтролю) знань та вмінь.

Розвиваючі завдання:

сприяти формуванню умінь застосовувати прийоми порівняння, узагальнення, виділення головного;

продовжити розвиток математичного кругозору, мислення та мови, уваги та пам'яті.

Виховні завдання:

сприяти вихованню інтересу до математики;

виховання активності, мобільності, уміння спілкуватися.

Тип уроку - Комбінований урок з використанням ІКТ.

Обладнання – мультимедійна установка, презентаціяMicrosoftPowerPoint.

Етап уроку

Час

Діяльність викладача

Діяльність учня

1. Організаційний момент.

Повідомлення теми та мети уроку.

Тема: Геометричний сенс похідної.

Ціль уроку.

Запровадити поняття дотичної до графіку функції у точці, з'ясувати у чому полягає геометричний сенс похідної, вивести рівняння дотичної і навчити шукати його.

Підготовка студентів до роботи на занятті.

Підготовка до роботи на занятті.

Усвідомлення теми та мети уроку.

Конспектування.

2. Підготовка до вивчення нового матеріалу через повторення та актуалізацію опорних знань.

Організація повторення та актуалізації опорних знань: визначення похідної та формулювання її фізичного сенсу.

Формулювання визначення похідної та формулювання її фізичного сенсу. Повторення, актуалізація та закріплення опорних знань.

Організація повторення та формування навички знаходження похідної статечної функції та елеменіарних функцій.

Знаходження похідної даних функцій за формулами.

Повторення властивостей лінійної функції.

Повторення, сприйняття креслень та висловлювань викладача

3. Робота із новим матеріалом: пояснення.

Пояснення сенсу відношення збільшення функції до збільшення аргументу

Пояснення геометричного сенсу похідної.

Введення нового матеріалу за допомогою словесних пояснень із залученням образів та наочних засобів: мультимедійної презентації з анімацією.

Сприйняття пояснення, розуміння, відповіді питання вчителя.

Формулювання питання викладачеві у разі утруднення.

Сприйняття нової інформації, її первинне розуміння та осмислення.

Формулювання питань викладачеві у разі утруднення.

Створення конспекту.

Формулювання геометричного сенсу похідної.

Розгляд трьох випадків.

Конспектування, виконання малюнків.

4. Робота із новим матеріалом.

Первинне осмислення та застосування вивченого матеріалу, його закріплення.

У яких точках похідна є позитивною?

Негативна?

Рівна нулю?

Навчання пошуку алгоритму відповіді на поставлені питання за графіком.

Розуміння та осмислення та застосування нової інформації для вирішення задачі.

5. Первинне осмислення та застосування вивченого матеріалу, його закріплення.

Повідомлення умови завдання.

Запис умови завдання.

Формулювання питання викладачеві у разі утруднення

6. Застосування знань: самостійна робота навчального характеру.

Розв'яжіть завдання самостійно:

Застосування набутих знань.

Самостійна роботаза розв'язання задачі на перебування похідної на малюнку. Обговорення та звіряння відповідей у ​​парі, формулювання питання викладачеві у разі утруднення.

7. Робота із новим матеріалом: пояснення.

Висновок рівняння щодо графіка функції в точці.

Докладне пояснення висновку рівняння щодо графіку функції у точці із залученням як наочність як мультимедійної презентації, відповіді питання учнів.

Висновок рівняння стосовно спільно з викладачем. Відповіді питання викладача.

Конспектування, створення малюнка.

8. Робота із новим матеріалом: пояснення.

У діалозі зі студентами висновок алгоритму знаходження рівняння щодо графіка даної функції в даній точці.

У діалозі з викладачем висновок алгоритму знаходження рівняння щодо графіка даної функції в даній точці.

Конспектування.

Повідомлення умови завдання.

Навчання застосування отриманих знань.

Організація пошуку шляхів вирішення задачі та їх реалізація. докладний розбір рішення із поясненням.

Запис умови завдання.

Висунення припущень про можливі шляхи вирішення задачі під час реалізації кожного пункту плану дій. Вирішення завдання спільно з викладачем.

Запис розв'язання задачі та відповіді.

9. Застосування знань: самостійна робота навчального характеру.

Індивідуальний контроль Консультування та допомога студентам у міру необхідності.

Перевірка та пояснення рішення з використанням презентації.

Застосування набутих знань.

Самостійна робота з розв'язання задачі на перебування похідної на малюнку. Обговорення та звірка відповідей у ​​парі, формулювання питання викладачеві у разі утруднення

10. Домашнє завдання.

§48, задачі 1 і 3, розібратися у рішенні та записати його в зошит, з малюнками.

№ 860 (2,4,6,8),

Повідомлення домашнього завданняз коментарями.

Запис домашнього завдання.

11. Підбиття підсумків.

Повторили визначення похідної; фізичний зміст похідної; характеристики лінійної функції.

Дізналися, у чому полягає геометричний сенс похідної.

Навчилися виводити рівняння щодо графіку цієї функції у цій точці.

Коригування та уточнення підсумків уроку.

Перелік результатів уроку.

12. Рефлексія.

1. Вам було на уроці: легко); б) зазвичай; в) важко.

а) засвоїв повністю, можу застосувати;

б) засвоїв(а), але важко у застосуванні;

в) не засвоїв(ла).

3. Мультимедійна презентація на уроці:

а) допомагала засвоєнню матеріалу; б) не допомагала засвоєнню матеріалу;

в) заважала засвоєнню матеріалу.

Проведення рефлексії.

Для з'ясування геометричного значення похідної розглянемо графік функції y = f (x). Візьмемо довільну точку М з координатами (x, y) та близьку до неї точку N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Проведемо ординати $\overline(M_(1) M)$ і $\overline(N_(1) N)$, та якщо з точки М - паралельну осі ОХ пряму.

Відношення $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ є тангенсом кута $\alpha $1, утвореного січною MN з позитивним напрямом осі ОХ. При прагненні $\Delta $х до нуля точка N буде наближатися до M, а граничним положенням січної MN стане дотична MT до кривої в точці M. Таким чином, похідна f`(x) дорівнює тангенсу кута $\alpha $, утвореного до до кривою у точці M (х, y) з позитивним напрямом до осі ОХ - кутового коефіцієнта дотичної (рис.1).

Рисунок 1. Графік функції

Обчислюючи значення за формулами (1), важливо помилитися у знаках, т.к. приріст може бути негативним.

Точка N, що лежить на кривій, може прагнути M з будь-якої сторони. Так, якщо на малюнку 1, що стосується надати протилежний напрямок, кут $ \ alpha $ зміниться на величину $ \ pi $, що істотно вплине на тангенс кута і відповідно кутовий коефіцієнт.

Висновок

Слід висновок, що існування похідної пов'язане з існуванням дотичної до кривої y = f (x), а кутовий коефіцієнт - tg $ \ alpha $ = f ` (x) кінцевий. Тому дотична має бути паралельної осі OY, інакше $\alpha $ = $\pi $/2, а тангенс кута буде нескінченним.

У деяких точках безперервна крива може не мати дотичної або мати паралельну до осі OY (рис.2). Тоді у цих значеннях функція неспроможна мати похідну. Подібних точок може бути скільки завгодно багато на кривій функції.

Рисунок 2. Виняткові точки кривої

Розглянемо малюнок 2. Нехай $\Delta $x прагне нулю з боку негативних чи позитивних значень:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Якщо в даному випадку відносини (1) мають кінцевий боковий вівтар, він позначається як:

У першому випадку - похідна ліворуч, у другому - похідна справа.

Існування межі говорить про рівносильність і рівність лівої та правої похідної:

Якщо ж ліва і права похідні нерівні, то цій точці існують дотичні не паралельні OY (точка М1, рис.2). У точках М2, М3 відносини (1) прагнуть нескінченності.

Для точок N лежать ліворуч від M2, $\Delta $x $

Праворуч від $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, але вираз також f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Для точки $M_3$ ліворуч $\Delta $x $$ 0 і f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, тобто. вирази (1) і зліва, і справа позитивні і прагнуть +$\infty $ як при наближенні $\Delta $x до -0, так і до +0.

Випадок відсутності похідної у конкретних точках прямий (x = c) представлений малюнку 3.

Рисунок 3. Відсутність похідних

Приклад 1

На малюнку 4 зображено графік функції та дотичної до графіка у точці з абсцисою $x_0$. Знайти значення похідної функції в абсцис.

Рішення. Похідна в точці дорівнює відношенню ~ збільшення функції до збільшення аргументу. Виберемо на дотичній дві точки з цілими координатами. Нехай, наприклад, це будуть точки F(-3,2) та C(-2.4).

Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку графіка функції - точку А(x0, f (х 0)) і перетинає графік у певній точці B (x; f (x )). Така пряма (АВ) називається січною. З ∆АВС: АС = ∆ x; ВС = ∆у; tgβ =∆y /∆x.

Оскільки АС || Ox , то Ð ALO = Ð BAC = β (як відповідні за паралельних). АлеÐ ALO – це кут нахилу січної АВ до позитивного напрямку осі Ох. Значить, tgβ = k - Кутовий коефіцієнт прямої АВ.

Тепер зменшуватимемо ∆х, тобто. ∆х→ 0. При цьому точка В наближатиметься до точки А за графіком, а січна АВ повертатиметься. Граничним положенням січної АВ при ∆х→ 0 буде пряма ( a ), звана дотичною до графіку функції у = f(х) у точці А.

Якщо перейти до межі при ∆х → 0 у рівності tg β =∆ y /∆ x , то отримаємо

або tg a = f "(x 0 ), тому що
a -кут нахилу дотичної до позитивного напрямку осі Ох

, за визначенням похідної. Але tg a = k - кутовий коефіцієнт дотичної, отже, k = tg a = f "(x 0).

Отже, геометричний сенс похідної полягає в наступному:

Похідна функції у точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту що стосується графіку функції, проведеної в точці з абсцисою x 0 .

Фізичний сенс похідної.

Розглянемо рух точки по прямій. Нехай задана координата точки у будь-який момент часу x (t ). Відомо (з курсу фізики), що середня швидкість за проміжок часу [ t 0; t 0 + ∆ t ] дорівнює відношенню відстані, пройденого цей проміжок часу, тимчасово, тобто.

V ср = ∆ x /∆ t . Перейдемо до межі в останній рівності при ∆ t → 0.

lim V ср (t) = n (t 0 ) - миттєва швидкість у момент часу t 0 , ∆ t → 0.

а lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (за визначенням похідної).

Отже, n(t) = x"(t).

Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функції y = f( x) у точціx 0 - це швидкість зміни функції f(х) у точціx 0

Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості за відомою функцією координати від часу, прискорення за відомою функцією швидкості від часу.

u (t) = x "(t) - швидкість,

a (f) = n "(t ) - прискорення, або

a (t) = x "(t).

Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість і кутове прискоренняпри обертальному русі:

φ = φ (t ) - Зміна кута від часу,

ω = φ "(t ) - кутова швидкість,

ε = φ "(t ) - кутове прискорення, абоε = φ "(t).

Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня:

m = m(х) - маса,

x Î, l - довжина стрижня,

р = m "(х) – лінійна щільність.

За допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності та гармонійних коливань. Так, згідно із законом Гука

F = - kx, x - Змінна координата, k - Коефіцієнт пружності пружини. Поклавшиω 2 = k/m , отримаємо диференціальне рівнянняпружинного маятника х"( t) + ω 2 x(t) = 0,

де ω = √k/√m частота коливань ( l/c ), k - жорсткість пружини ( H/m).

Рівняння виду у "+ω 2 y = 0 називається рівнянням гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних). Вирішенням таких рівнянь є функція

у = Asin (ωt + φ 0 ) або у = Acos (ωt + φ 0 ), де

А - амплітуда коливань,ω - циклічна частота,

φ 0 - Початкова фаза.

При вирішенні різних завдань геометрії, механіки, фізики та інших галузей знання виникла потреба за допомогою одного й того ж аналітичного процесу з цієї функції y=f(x)отримувати нову функцію, яку називають похідною функцією(або просто похідної цієї функції f(x)та позначають символом

Той процес, з допомогою якого з цієї функції f(x)набувають нової функції f "(x), називають диференціюваннямі складається з наступних трьох кроків: 1) даємо аргументу xприріст  xі визначаємо відповідне збільшення функції  y = f(x+ x) -f(x); 2) складаємо відношення

3) рахуючи xпостійним, а  x0, знаходимо
, який позначаємо через f "(x), хіба що підкреслюючи цим, що отримана функція залежить лише від значення x, коли ми переходимо до межі. Визначення: Похідний y "=f" (x) цієї функції y=f(x) при цьому xназивається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу за умови, що збільшення аргументу прагне до нуля, якщо, звичайно, ця межа існує, тобто. кінцевий. Таким чином,
, або

Зауважимо, що якщо за деякого значення x, наприклад при x=a, ставлення
при  x0 не прагне кінцевої межі, то в цьому випадку кажуть, що функція f(x)при x=a(або в точці x=a) не має похідної або не диференційована в точці x=a.

2. Геометричний сенс похідної.

Розглянемо графік функції у = f (х), що диференціюється на околицях точки x 0

f(x)

Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку графіка функції - точку А(x 0 , f (х 0)) і графік, що перетинає, в деякій точці B(x;f(x)). Така пряма (АВ) називається січною. З ∆АВС: АС = ∆x; ВС = ∆у; tgβ=∆y/∆x.

Оскільки АС || Ox, то ALO = BAC = β (як відповідні за паралельних). Але ALO – це кут нахилу секущої АВ до позитивного напрямку осі Ох. Отже, tgβ = k – кутовий коефіцієнт прямої АВ.

Тепер зменшуватимемо ∆х, тобто. ∆х→ 0. При цьому точка В наближатиметься до точки А за графіком, а січна АВ повертатиметься. Граничним положенням січної АВ при ∆х→ 0 буде пряма (a), яка називається дотичною до графіка функції у = f (х) у точці А.

Якщо перейти до межі при ∆х → 0 у рівності tgβ =∆y/∆x, то отримаємо
або tg = f "(x 0), тому що
-кут нахилу дотичної до позитивного напрямку осі Ох
, за визначенням похідної. Але tg = k - кутовий коефіцієнт дотичної, отже, k = tg = f "(x 0).

Отже, геометричний сенс похідної полягає в наступному:

Похідна функції у точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту щодо графіку функції, проведеної в точці з абсцисою x 0 .

3. Фізичний сенс похідної.

Розглянемо рух точки по прямій. Нехай задана координата точки будь-якої миті часу x(t). Відомо (з курсу фізики), що середня швидкість за проміжок часу дорівнює відношенню відстані, пройденого цей проміжок часу, тимчасово, тобто.

Vср = ∆x/∆t. Перейдемо до межі в останній рівні при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) - миттєва швидкість у момент часу t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (за визначенням похідної).

Отже, (t) = x"(t).

Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функціїy = f(x) у точціx 0 - це швидкість зміни функціїf(х) у точціx 0

Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості за відомою функцією координати від часу, прискорення за відомою функцією швидкості від часу.

(t) = x"(t) - швидкість,

a(f) = "(t) - прискорення, або

Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість та кутове прискорення при обертальному русі:

φ = φ(t) - зміна кута від часу,

ω = φ"(t) - кутова швидкість,

ε = φ"(t) – кутове прискорення, або ε = φ"(t).

Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня:

m = m(х) - маса,

x  l - довжина стрижня,

р = m "(х) – лінійна щільність.

За допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності та гармонійних коливань. Так, згідно із законом Гука

F = -kx, x - змінна координата, k-коефіцієнт пружності пружини. Поклавши ω 2 =k/m, отримаємо диференціальне рівняння пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,

де ω = √k/√m частота коливань (l/c), k - жорсткість пружини (H/m).

Рішенням таких рівнянь є функція рівняння гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних).

у = Asin(ωt + φ 0) або у = Acos(ωt + φ 0), де

А - амплітуда коливань, - циклічна частота,

φ 0 – початкова фаза.