Опр трапеції. Що таке трапеція

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:

• навчальна– запровадити поняття трапеції, познайомитися з видами трапецій, вивчити властивості трапеції, навчити учнів застосовувати отримані знання у процесі розв'язання задач;
• розвиваюча- Розвиток комунікативних якостей учнів, розвиток вміння проводити експеримент, узагальнювати, робити висновки, розвиток інтересу до предмета.
• виховна- Виховувати увагу, створити ситуацію успіху, радості від самостійного подолання труднощів, розвинути у учнів потребу в самовираженні через різні видиробіт.

Форми роботи:фронтальна, парна, групова.

Форма організації діяльності дітей:уміння слухати, будувати обговорення, висловлювати думку, питання, доповнення.

Обладнання:комп'ютер, мультимедійний проектор, екран. На учнівських столах: розрізний матеріал для складання трапеції кожного учня на парті; картки із завданнями (роздруківки креслень та завдань із конспекту уроку).

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

Привітання перевірка готовності робочого місця до уроку.

ІІ. Актуалізація знань

• розвиток умінь класифікувати об'єкти;
• виділення основних та другорядних ознак при класифікації.

Розглядається рисунок №1.

Далі йде обговорення малюнка.
– З чого складено цю геометричну фігуру? Відповідь хлопці знаходять на малюнках: [з прямокутника та трикутників].
– Якими мають бути трикутники, які становлять трапецію?
Вислуховуються та обговорюються всі думки, вибирається один варіант: [трикутники мають бути обов'язково прямокутними].
– Як складаються трикутники та прямокутник? [Так, щоб протилежні сторони прямокутника збігалися з катетом кожного із трикутників].
– А що ви знаєте про протилежні сторони прямокутника? [Вони паралельні].
– Значить, і в цьому чотирикутнику будуть паралельні сторони? [Так].
- Скільки їх? [Дві].
Після обговорення вчитель демонструє «королеву уроку» – трапецію.

ІІІ. Пояснення нового матеріалу

1. Визначення трапеції, елементи трапеції

• навчити учнів давати визначення трапеції;
• називати її елементи;
• розвиток асоціативної пам'яті

– А тепер спробуйте дати повне визначення трапеції. Кожен учень продумує у відповідь питання. Обмінюються думками у парі, готують єдину відповідь на запитання. Усну відповідь дають по одному учню від 2-3 пар.
[Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні].

– Як називаються сторони трапеції? [Паралельні сторони називаються основами трапеції, а дві інші – бічними сторонами].

Вчитель пропонує скласти із розрізних фігур трапеції. Учні працюють у парах, складають фігури. Добре, якщо пари учнів будуть різнорівневими, тоді один із учнів є консультантом та допомагає товаришу у разі утруднення.

– Побудуйте у зошитах трапецію, запишіть назви сторін трапеції. Задайте питання щодо креслення своєму сусідові, вислухайте його відповіді, повідомте свої варіанти відповідей.

Історична довідка

«Трапеція»- Слово грецьке, що означало в давнину "столик" (по грецькому "трапедзіон" означає столик, обідній стіл. Геометрична фігура була названа так на зовнішній схожості з маленьким столом.
У «Початках» (грец. Στοιχεῖα, лат. Elementa) – головна праця Евкліда, написана близько 300 р. до н. е. і присвячений систематичному побудові геометрії) термін «трапеція» застосовується над сучасному, а іншому сенсі: будь-який чотирикутник (не паралелограмм). «Трапеція» у сенсі зустрічаються вперше в давньогрецького математика Посидонія (Iв.). У середні віки трапецією називали, за Евклідом, будь-який чотирикутник (не паралелограм); лише у XVIIIв. це слово набуває сучасного сенсу.

Побудова трапеції за її заданими елементами. Діти виконують завдання на картці №1.

Учням доводиться конструювати трапеції найрізноманітніших прихильностей і накреслень. У пункті 1 необхідно збудувати прямокутну трапецію. У пункті 2 з'являється можливість побудувати рівнобедрену трапецію. У пункті 3 трапеція виявиться «що лежить на боці». У пункті 4 малюнок передбачають побудову такої трапеції, яка має одну з підстав виявляється незвично маленькою.
Учні «дивують» вчителі різними фігурами, що мають одну загальну назву – трапеція. Вчитель демонструє можливі варіантипобудови трапецій.

Завдання 1. Чи дорівнюватимуть дві трапеції, у яких відповідно рівні одна з підстав і дві бічні сторони?
Обговорюють вирішення завдання у групах, доводять правильність міркування.
По одному учню від групи виконує креслення на дошці, пояснює перебіг міркувань.

2. Види трапеції

• розвиток рухової пам'яті, умінь розбивати трапецію на відомі постаті, необхідних вирішення завдань;
• розвиток умінь узагальнювати, порівнювати, давати визначення за аналогією, висувати гіпотези.

Розглянемо малюнок:

– Чим відрізняються трапеції, зображені на малюнку?
Діти помітили, що вид трапеції залежить від виду трикутника, розташованого зліва.
– Доповніть пропозицію:

Трапеція називається прямокутною, якщо …
Трапеція називається рівнобедреною, якщо …

3. Властивості трапеції. Властивості рівнобедреної трапеції.

• висування за аналогією з рівнобедреним трикутником гіпотези про властивість рівнобедреної трапеції;
• розвиток аналітичних умінь (порівнювати, висувати гіпотезу, доводити, будувати).

• Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює напіврізності основ.
• У рівнобедреної трапеції кути за будь-якої підстави рівні.
• У рівнобедреній трапеції діагоналі рівні.
• У рівнобедреної трапеції висота, опущена з вершини на більшу основу, ділить його на два відрізки, один з яких дорівнює напівсумі основ, інший - напіврізниці основ.

Завдання 2.Доведіть, що у рівнобедреній трапеції: а) кути при кожній підставі рівні; б) діагоналі рівні. Для доказу цих властивостей рівнобедреної трапеції згадуються ознаки рівності трикутників. Учні виконують завдання у групах, обговорюють, записують рішення у зошиті.
По одному учню від групи проводять підтвердження дошки.

4. Вправа на увагу

5. Приклади застосування форм трапецій у повсякденному житті:

• в інтер'єрах (дивани, стіни, навісні стелі);
• в ландшафтному дизайні(кордони газонів, штучних водойм, каменів);
• у промисловості моди (одяг, взуття, аксесуари);
• у дизайні предметів повсякденного користування (світильники, посуд, з використанням форм трапеції);
• в архітектурі.

Практична робота(За варіантами).

– В одній системі координат побудуйте рівнобедрені трапеції за заданими трьома вершинами.

1 варіант: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) та (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…; …).
2 варіант: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) та (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …; …).

– Визначте координати четвертої вершини.
Рішення перевіряється та коментується всім класом. Учні вказують координати четвертої знайденої точки та усно намагаються пояснити, чому задані умови визначають лише одну точку.

Цікаве завдання.Скласти трапецію із: а) чотирьох прямокутних трикутників; б) із трьох прямокутних трикутників; в) із двох прямокутних трикутників.

IV. Домашнє завдання

• виховання правильної самооцінки;
• створення ситуації “успіху” кожному за учня.

п.44, знати визначення, елементи трапеції, її види, знати властивості трапеції, вміти доводити, №388, №390.

V. Підсумок уроку. Наприкінці уроку дається хлопцям анкета,яка дозволяє здійснити самоаналіз, дати якісну та кількісну оцінку уроку .

Тому одну з них ми назвемо великим , другу - малою основою трапеції. Висотою трапеції можна назвати будь-який відрізок перпендикуляра, проведеного з вершин відповідно протилежну сторону (для кожної вершини є дві протилежні сторони), укладений між взятими вершиною і протилежною стороною. Але можна виділити "особливий вид" висот.
Визначення 8. Висотою основи трапеції називають відрізок прямої, перпендикулярної основ, укладений між основами.
Теорема 7 . Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.
Доказ. Нехай дана трапеція АВСD та середня лінія КМ. Через точки В та М проведемо пряму. Продовжимо сторону AD через точку D до перетину ВМ. Трикутники ВСм і МРD рівні по стороні і двох кутах (СМ=МD, ∠ВСМ=∠МDР - навхрест, ∠ВМС=∠DМР - вертикальні), тому ВМ=МР або точка М - середина ВР. КМ є середньою лінією у трикутнику АВР. За властивістю середньої лінії трикутника КМ паралельна АР і зокрема АD і дорівнює половині АР:

Теорема 8 . Діагоналі ділять трапецію на чотири частини, дві з яких, що прилягають до бокових боків, байдужі.
Нагадаю, що фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають однакову площу. Трикутники АВD та АСD рівновеликі: у них рівні висоти(позначені жовтим) та загальну основу. Ці трикутники мають загальну частину ADD. Їх площу можна розкласти так:

Види трапецій:
Визначення 9. (рис 1) Гострокутною трапецією називається трапеція, у якої кути, що прилягають до більшої основи гострі.
Визначення 10. (рис 2) Тупокутною трапецією називається трапеція, у якої один із кутів, прилеглих до більшої основи тупий.
Визначення 11. (рис 4) Прямокутною називається трапеція, у якої одна бічна сторона перпендикулярна до основ.
Визначення 12. (рис 3) Рівнобедреною (рівнобокою, рівнобічною) називається трапеція, у якої бічні сторони рівні.

Властивості рівнобічної трапеції:
Теорема 10 . Кути, що належать до кожної з основ рівнобічної трапеції, рівні.
Доказ. Доведемо, наприклад, рівність кутів А і D за більшої підстави AD рівнобічної трапеції АВСD. Для цієї мети проведемо через точку С пряму паралельну бічній стороні АВ. Вона перетне велику основу в точці М. Чотирьохкутник АВСМ є паралелограмом, т.к. за побудовою має дві пари паралельних сторін. Отже, відрізок СМ січної прямої, укладений усередині трапеції дорівнює її бічній стороні: СМ = АВ. Звідси ясно, що СМ=СD, трикутник СМD - рівнобедрений, ∠ СМD=∠ СDM, і, отже, ∠ А=∠ D. Кути, що належать до меншої основи, також рівні, т.к. є для знайдених внутрішніми одностороннім і мають у сумі два прямі.
Теорема 11 . Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
Доказ. Розглянемо трикутники АВD та ACD. Вона рівні з обох боків і куту між ними (АВ=СD, AD - загальна, кути А та D рівні за теоремою 10). Тому АС = BD.

Теорема 13 . Діагоналі рівнобедреної трапеції точкою перетину діляться відповідно на рівні відрізки. Розглянемо трикутники АВD та ACD. Вона рівні з обох боків і куту між ними (АВ=СD, AD - загальна, кути А та D рівні за теоремою 10). Тому ∠ ОАD=∠ ОDA, звідси рівні й кути ОВС та ОСО як відповідно нахресні для кутів ODA та ОАD. Згадаймо теорему: якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений, тому трикутники ОВС та ОAD є рівностегновими, отже, ОС=ОВ та ОА=OD, ч.т.д.
Рівнобока трапеція фігура симетрична.
Визначення 13. Осю симетрії рівнобічної трапеції називають пряму, що проходить через середини її основ.
Теорема 14 . Вісь симетрії рівнобічної трапеції перпендикулярна до її підстав.
У теоремі 9 ми довели, що пряма, що сполучає середини основ трапеції, проходить через точку перетину діагоналей. Далі (теорема 13) ми довели, що трикутники АОD та ВОС рівнобедрені. ОМ та ОК є медіанами цих трикутників відповідно за визначенням. Згадаймо властивість рівнобедреного трикутника: медіана рівнобедреного трикутника, опущена на основу, одночасно є і висотою трикутника. Внаслідок перпендикулярності підстав частинам прямої КМ, вісь симетрії перпендикулярна підставам.
Ознаки, що виділяють рівнобічну трапецію серед усіх трапецій:
Теорема 15 . Якщо кути, що належать до однієї з основ трапеції, рівні, то трапеція рівнобока.
Теорема 16 . Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція рівнобока.
Теорема 17 . Якщо продовжені до перетину бічні сторони трапеції утворюють разом і її основою рівнобедрений трикутник, то трапеція рівнобока.
Теорема 18 . Якщо трапецію можна вписати в коло, вона рівнобока.
Ознака прямокутної трапеції:
Теорема 19 . Кожен чотирикутник, у якого лише два кути при суміжних вершинах прямі, є прямокутною трапецією (очевидно, що дві сторони паралельні, тому що односторонні рівні. у випадку, коли три прямі кути це прямокутник)
Теорема 20 . Радіус вписаної в трапецію кола дорівнює половині висоти основи.
Доказ цієї теореми полягає у поясненні того, що радіуси, проведені до основ, лежать на висоті трапеції. З точки О - центру вписаної в цю трапецію АВСD кола проведемо радіуси в точки торкання її основами трапеції. Як відомо, рідіус, проведений в точку торкання, перпендикулярний до тилі, тому ОК^ ВС і ОМ^ AD. Згадаймо теорему: якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна до другої. Отже, пряма ОК також перпендикулярна AD. Таким чином, через точку Проходить дві прямих перпендикулярних прямий AD, чого бути не може, тому ці прямі збігаються і складають загальний перпендикуляр КМ, який дорівнює сумі двох радіусів і є діаметром вписаного кола, тому r=KM/2 або r=h/ 2.
Теорема 21 . Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми основ та висоти основ.

Доказ:Нехай ABCD - це трапеція, а AB і CD - її основи. Нехай також AH – висота, опущена з точки A на пряму CD. Тоді S ABCD = S ACD + S ABC.
Але S ACD = 1/2AH·CD, а S ABC = 1/2AH·AB.
Отже, S ABCD = 1/2AH · (AB + CD).
Що і потрібно було довести.

Друга формула перейшла від чотирикутника.

У цій статті ми намагатимемося наскільки можливо повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, йтиметься про загальні ознаки та властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Зачепимо ми і властивості рівнобедреної та прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирьохкутник, дві із сторін якої паралельні один одному (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середню лінію та діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте на листку трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

1. Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) та з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції у тому, що відрізок ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
2. Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Давайте розглянемо трикутники АОЕ та МОК, утворені відрізками діагоналей разом із основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
   Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
3. Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їх площі однакові.
4. Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МО у напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
   Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона з'єднає разом точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
5. Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
6. А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний підставам трапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

1. Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
2. Якщо провести через обидва підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції Акме. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

1. Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 та γ + δ = 180 0 .
2. З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
3. Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції

1. У рівнобедреній трапеції рівні кути за будь-якої основи.
2. Тепер знову побудуйте трапецію, щоб легше було уявити, про що йдеться. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
3. Кілька слів про якість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
4. Тільки близько рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 1800 – обов'язкова умова для цього.
5. З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
6. З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
7. Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І одночасно ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
8. Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо її a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основи віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець у руки і накреслити те, про що йтиметься нижче. Так і зрозумієте швидше, і запам'ятайте краще.

1. Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до її бічного боку. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бічного боку. У такому разі більшу основу перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
2. Діагональ та бічна сторона можуть зустрічатися і під гострим кутом – тоді центр кола виявляється усередині трапеції.
3. Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за великою її основою, якщо між діагоналлю трапеції та бічною стороною – тупий кут.
4. Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) становить половину центрального кута, який йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
5. Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженого на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
6. Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

1. Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
2. У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. З цієї властивості підстав трапеції випливає зворотне твердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума підстав якої дорівнює сумі бічних сторін.
4. Точка торкання кола з радіусом r, вписаною в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
5. І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція Акме, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
   Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

1. У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
2. Висота та бічна сторона трапеції, що прилягають до прямого кута, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції (загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
3. Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

• Ви вже мабуть і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 – МЕТ = 180 0 – КАЄ = КМЕ.

Що і потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

• Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ і КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЕ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – загальна сторона двох трикутників. А також МАЄ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі якості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, що цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися вами.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспект усіх загальних властивостейтрапеції. А також специфічних властивостей та ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням із друзями!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У курсі геометрії за 8-й клас мається на увазі вивчення властивостей та ознак опуклих чотирикутників. До них відносяться паралелограми, окремими випадками яких є квадрати, прямокутники і ромби, і трапеції. І якщо розв'язання задач на різні варіації паралелограма найчастіше не викликає сильних труднощів, то розібратися, який чотирикутник називається трапецією, дещо складніше.

Визначення та види

На відміну від інших чотирикутників, що вивчаються у шкільній програмі, трапецією прийнято називати таку фігуру, дві протилежні сторони якої паралельні одна одній, а дві інші – ні. Існує й інше визначення: це чотирикутник із парою сторін, які не рівні між собою та паралельні.

Різні види вказані на малюнку нижче.

На зображенні під номером 1 зображено довільну трапецію. Номером 2 позначений окремий випадок - прямокутна трапеція, одна зі сторін якої перпендикулярна до її підстав. Остання постать - теж особливий випадок: це рівнобедрена (рівнобока) трапеція, тобто чотирикутник з рівними бічними сторонами.

Найважливіші властивості та формули

Для опису властивостей чотирикутника прийнято виділяти певні елементи. Як приклад можна розглянути довільну трапецію ABCD.

До її складу входять:

• основи BC і AD - дві сторони, паралельні один до одного;
• бічні сторони AB і CD - два непаралельні елементи;
• діагоналі AC та BD - відрізки, що з'єднують протилежні вершини фігури;
• висота трапеції CH - перпендикулярний основам відрізок;
• середня лінія EF – лінія, що з'єднує середини бічних сторін.

Основні властивості елементів

Щоб вирішити завдання з геометрії або довести будь-які твердження, найчастіше використовують властивості, які пов'язують різні елементи чотирикутника. Вони формулюються так:

Крім того, часто корисно знати та застосовувати такі твердження:

1. Бісектриса, проведена з довільного кута, відокремлює на підставі відрізок, довжина якого дорівнює бічній стороні фігури.
2. Під час проведення діагоналей утворюються 4 трикутники; з них 2 трикутники, утворених основами і відрізками діагоналей, мають подобу, а пара, що залишилася, має однакову площу.
3. Через точку перетину діагоналей O, середини основ, а також точку, в якій перетинаються продовження бічних сторін, можна провести пряму.

Обчислення периметра та площі

Периметр розраховується як сума довжин всіх чотирьох сторін (аналогічно будь-якій іншій геометричній фігурі):

P=AD+BC+AB+CD.

Вписане та описане коло

Коло можна описати при трапеції тільки в тому випадку, коли бічні сторони чотирикутника рівні.

Щоб обчислити радіус описаного кола, необхідно знати довжини діагоналі, бічної сторони та більшої основи. Величина p,використовується у формулі, розраховується як напівсума всіх перерахованих вище елементів: p = (a + c + d)/2.

Для вписаного кола умова буде такою: сума підстав повинна співпадати із сумою бічних сторін фігури. Радіус її можна знайти через висоту, і він дорівнюватиме r = h/2.

Приватні випадки

Розглянемо випадок, що часто зустрічається, - рівнобічну (рівносторонню) трапецію. Її ознаки - рівність бічних сторін чи рівність протилежних кутів. До неї застосовні всі твердження, які характерні для довільної трапеції Інші властивості рівнобедреної трапеції:

Прямокутна трапеція зустрічається у задачах не так часто. Її ознаки - наявність двох суміжних кутів, рівних 90 градусів, та наявність бічної сторони, перпендикулярної до основ. Висота у такому чотирикутнику одночасно є однією з його сторін.

Усі розглянуті властивості і формули зазвичай застосовуються на вирішення планиметричних завдань. Однак їх доводиться застосовувати в деяких завданнях з курсу стереометрії, наприклад, при визначенні площі поверхні усіченої піраміди, що зовні нагадує об'ємну трапецію.

\[(\Large(\text(Довільна трапеція)))\]

Визначення

Трапеція - це опуклий чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони трапеції називаються її основами, а дві інші – бічними сторонами.

Висота трапеції – це перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї основи до іншої основи.

Теореми: властивості трапеції

1) Сума кутів при бічній стороні дорівнює \(180^\circ\).

2) Діагоналі ділять трапецію на чотири трикутники, два з яких подібні, а два інші – рівновеликі.

Доказ

1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то кути \(\angle BAD\) і \(\angle ABC\) – односторонні при цих прямих і січній \(AB\) , отже, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) і \(BD\) - січна, то \(\angle DBC=\angle BDA\) як навхрест лежать.
Також \(\angle BOC=\angle AOD\) як вертикальні.
Отже, по двох кутах \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Доведемо, що \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). Нехай (h) - висота трапеції. Тоді \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Тоді: \

Визначення

Середня лінія трапеції – відрізок, що сполучає середини бічних сторін.

Теорема

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Доказ*

1) Доведемо паралельність.

Проведемо через точку \(M\) пряму \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\)). Тоді за теоремою Фалеса (т.к. \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N"\) - середина відрізка \(CD\) . Значить, точки \(N\) і \(N"\) співпадуть.

2) Доведемо формулу.

Проведемо \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\). Нехай \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Тоді за теореми Фалеса \(M"\) і \(N"\) - середини відрізків \(BB"\) та \(CC"\) відповідно. Значить, \(MM"\) - середня лінія \(\triangle ABB"\), \(NN"\) - середня лінія \(\triangle DCC"\). Тому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\)і \(BB", CC"\perp AD\) , то \(B"M"N"C"\) та \(BM"N"C\) – прямокутники. По теоремі Фалеса з \(MN\parallel AD\) і \(AM=MB\) випливає, що \(B"M"=M"B\) . і \(BM"N"C\) – рівні прямокутники, отже, \(M"N"=B"C"=BC\).

Таким чином:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: властивість довільної трапеції

Середини основ, точка перетину діагоналей трапеції та точка перетину продовжень бічних сторін лежать на одній прямій.

Доказ*
З доказом рекомендується ознайомитись після вивчення теми “Подоба трикутників”.

1) Доведемо, що точки \(P\), \(N\) і \(M\) лежать на одній прямій.

Проведемо пряму \(PN\) (\(P\) - точка перетину продовжень бічних сторін, \(N\) - середина \(BC\)). Нехай вона перетне бік \(AD\) у точці \(M\) . Доведемо, що \(M\) - середина \(AD\).

Розглянемо \(\triangle BPN\) та \(\triangle APM\) . Вони подібні за двома кутами (\(\angle APM\) - загальний, \(\angle PAM=\angle PBN\) як відповідні при \(AD\parallel BC\) і \(AB\) січній). Значить: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Розглянемо \(\triangle CPN\) та \(\triangle DPM\) . Вони подібні за двома кутами (\(\angle DPM\) - загальний, \(\angle PDM=\angle PCN\) як відповідні при \(AD\parallel BC\) і \(CD\) січній). Значить: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Звідси \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Але \(BN=NC\), отже, \(AM=DM\).

2) Доведемо, що точки \(N, O, M\) лежать на одній прямій.

Нехай \(N\) - середина \(BC\), \(O\) - точка перетину діагоналей. Проведемо пряму \(NO\), вона перетне бік \(AD\) у точці \(M\). Доведемо, що \(M\) - середина \(AD\).

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\)по двох кутах (\(\angle OBN=\angle ODM\) як навхрест що лежать при \(BC\parallel AD\) і \(BD\) січної; \(\angle BON=\angle DOM\) як вертикальні). Значить: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Аналогічно \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значить: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Звідси \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Але \(BN=CN\), отже, \(AM=MD\).

\[(\Large(\text(Равностегнова трапеція)))\]

Визначення

Трапеція називається прямокутною, якщо один із її кутів – прямий.

Трапеція називається рівнобедреною, якщо її бічні сторони рівні.

Теореми: властивості рівнобедреної трапеції

1) У рівнобедреної трапеції кути при основі рівні.

2) Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

3) Два трикутники, утворені діагоналями та основою, є рівнобедреними.

Доказ

1) Розглянемо рівнобедрену трапецію (ABCD).

З вершин \(B\) і \(C\) опустимо на сторону \(AD\) перпендикуляри \(BM\) та \(CN\) відповідно. Оскільки \(BM\perp AD\) і \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\) , тоді \(MBCN\) - паралелограм, отже \(BM = CN\) .

Розглянемо прямокутні трикутники \(ABM\) та \(CDN\). Оскільки вони рівні гіпотенузи і катет \(BM\) дорівнює катету \(CN\) , ці трикутники рівні, отже, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- загальна, то за першою ознакою. Отже, \(AC=BD\).

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), \(\angle BDA=\angle CAD\) . Отже, трикутник \(\triangle AOD\) - рівнобедрений. Аналогічно доводиться, що і (triangle BOC) - рівнобедрений.

Теореми: ознаки рівнобедреної трапеції

1) Якщо у трапеції кути при підставі рівні, вона рівнобедренная.

2) Якщо у трапеції діагоналі рівні, вона рівнобедренная.

Доказ

Розглянемо трапецію \(ABCD\), таку що \(\angle A = \angle D\).

Добудуємо трапецію до трикутника (AED) як показано на малюнку. Оскільки \(\angle 1 = \angle 2\), то трикутник \(AED\) рівнобедрений і \(AE = ED\). Кути \(1\) і \(3\) рівні як відповідні при паралельних прямих \(AD\) і \(BC\) та січній \(AB\) . Аналогічно рівні кути \(2\) і \(4\) , але \(\angle 1 = \angle 2\) тоді \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), Отже, трикутник \(BEC\) теж рівнобедрений і \(BE = EC\) .

В підсумку \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), тобто \(AB = CD\) , що потрібно було довести.

2) Нехай \ (AC = BD \). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то позначимо їхній коефіцієнт подібності за \(k\) . Тоді, якщо \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогічно (CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значить \(\triangle AOD\) - рівнобедрений і \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким чином, за першою ознакою \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- загальна). Значить, (AB = CD), чтд.