Як приводити дроби до спільного знаменника
Якщо у звичайних дробів однакові знаменники, то кажуть, що ці дроби наведено до спільного знаменника.
Приклад 1
Наприклад, дроби $\frac(3)(18)$ і $\frac(20)(18)$ мають однакові знаменники. Говорять, що вони мають спільний знаменник $18$. Дроби $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ і $\frac(100)(29)$ мають однакові знаменники. Говорять, що вони мають спільний знаменник $29$.
Якщо у дробів знаменники не однакові, їх можна звести до спільного знаменника. Для цього необхідно помножити їх чисельники та знаменники на певні додаткові множники.
Приклад 2
Як привести два дроби $\frac(6)(11)$ і $\frac(2)(7)$ до спільного знаменника.
Рішення.
Помножимо дроби $\frac(6)(11)$ і $\frac(2)(7)$ на додаткові множники $7$ і $11$ відповідно і приведемо їх до спільного знаменника $77$:
$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$
$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$
Таким чином, приведенням дробів до спільного знаменниканазивають множення чисельника та знаменника даних дробів на додаткові множники, які в результаті дозволяють отримати дроби з однаковими знаменниками.
Спільний знаменник
Визначення 1
Будь-яке позитивне загальне кратне всіх знаменників деякого набору дробів називають спільним знаменником.
Інакше кажучи, загальний знаменник заданих звичайних дробів – будь-яке натуральне число, що можна розділити попри всі знаменники заданих дробів.
З визначення випливає безліч спільних знаменників даного набору дробів.
Приклад 3
Знайти спільні знаменники дробів $\frac(3)(7)$ і $\frac(2)(13)$.
Рішення.
Ці дроби мають знаменники, рівні $7$ і $13$ відповідно. Позитивні загальні кратні чисел $2$ і $5$ дорівнюють $91, 182, 273, 364$ і т.д.
Будь-яке з цих чисел можна використовувати як спільний знаменник дробів $\frac(3)(7)$ і $\frac(2)(13)$.
Приклад 4
Визначити, чи можна дроби $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ і $\frac(11)(9)$ привести до спільного знаменника $252$.
Рішення.
Щоб визначити, як привести дріб до спільного знаменника $252$, необхідно перевірити чи є $252$ загальним кратним знаменників $2, 7$ і $9$. Для цього розділимо число $252$ на кожен із знаменників:
$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.
Число $252$ ділиться націло попри всі знаменники, тобто. є загальним кратним чисел $2, 7$ та $9$. Отже, ці дроби $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ і $\frac(11)(9)$ можна звести до спільного знаменника $252$.
Відповідь: можна.
Найменший спільний знаменник
Визначення 2
Серед усіх спільних знаменників заданих дробів можна виділити найменше натуральне число, яке називають найменшим спільним знаменником.
Т.к. НОК – найменший позитивний спільний дільник цього набору чисел, то НОК знаменників заданих дробів є найменшим загальним знаменником цих дробів.
Отже, щоб знайти найменший загальний знаменник дробів, потрібно знайти НОК знаменників цих дробів.
Приклад 5
Задано дроби $\frac(4)(15)$ і $\frac(37)(18)$. Знайти їх найменший спільний знаменник.
Рішення.
Знаменники даних дробів дорівнюють $15$ та $18$. Знайдемо найменший спільний знаменник як НОК чисел $15$ та $18$. Використовуємо для цього розкладання чисел на прості множники:
$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$
$НОК (15, 18) = 2 cdot 3 cdot 3 cdot 5 = 90 $.
Відповідь: $ 90 $.
Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменника
Найчастіше під час вирішення завдань алгебри, геометрії, фізики тощо. Зазвичай прості дроби приводити до найменшого спільного знаменника, а чи не до будь-якого спільного знаменника.
Алгоритм:
- За допомогою НОК знаменників заданих дробів знайти найменший загальний знаменник.
- 2.Обчислити додатковий множник для заданих дробів. Для цього знайдений найменший загальний знаменник необхідно поділити на знаменник кожного дробу. Отримане число буде додатковим множником даного дробу.
- Помножити на знайдений додатковий множник чисельник та знаменник кожного дробу.
Приклад 6
Знайти найменший загальний знаменник дробів $\frac(4)(16)$ і $\frac(3)(22)$ і привести до нього обидва дроби.
Рішення.
Скористаємося алгоритмом приведення дробів до найменшого спільного знаменника.
Обчислимо найменше загальне кратне чисел $16$ та $22$:
Розкладемо знаменники на прості множники: $16 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $, $ 22 = 2 \ cdot 11 $.
$НОК (16, 22) = 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 11 = 176 $.
Обчислимо додаткові множники для кожного дробу:
$176\div 16=11$ – для дробу $\frac(4)(16)$;
$176\div 22=8$ – для дробу $\frac(3)(22)$.
Помножимо чисельники і знаменники дробів $\frac(4)(16)$ і $\frac(3)(22)$ на додаткові множники $11$ і $8$ відповідно. Отримаємо:
$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$
$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$
Обидва дроби наведено до найменшого спільного знаменника $176$.
Відповідь: $ frac (4) (16) = frac (44) (176) $, $ frac (3) (22) = frac (24) (176) $.
Іноді у тому, щоб шукати найменший загальний знаменник, необхідно провести ряд трудомістких обчислень, що може виправдовувати мета розв'язання завдання. У такому випадку можна скористатися найбільш простим способом– звести дроби до спільного знаменника, який є твір знаменників цих дробів.
Схема приведення до спільного знаменника
- Потрібно визначити, яке буде найменше спільне кратне знаменників дробів. Якщо Ви маєте справу зі змішаним або цілим числом, то його потрібно спочатку перетворити на дріб, а вже потім визначати найменше кратне. Щоб ціле число перетворити на дріб, потрібно в чисельнику записати саме це число, а знаменнику — одиницю. Наприклад, число 5 у вигляді дробу виглядатиме так: 5/1. Щоб змішане число перетворити на дріб, потрібно ціле число помножити на знаменник і додати до нього чисельник. Приклад: 8 цілих та 3/5 у вигляді дробу = 8x5+3/5 = 43/5.
- Після цього необхідно знайти додатковий множник, який визначається поділом НОЗ на знаменник кожного дробу.
- Останній крок – множення дробу на додатковий множник.
Важливо запам'ятати, що приведення до спільного знаменника потрібно не тільки для складання або віднімання. Для порівняння кількох дробів із різними знаменниками також необхідно спочатку привести кожну з них до спільного знаменника.
Приведення дробів до спільного знаменника
Щоб зрозуміти, як привести до спільного знаменника дріб, необхідно розібратися в деяких властивостях дробів. Так, важливою властивістю, яка використовується для приведення до НОЗ, є рівність дробів. Іншими словами, якщо чисельник і знаменник дробу множиться на число, то в результаті отримує дріб, що дорівнює попередньому. Як приклад наведемо наступний приклад. Для того, щоб привести дроби 5/9 і 5/6 до найменшого спільного знаменника, потрібно виконати такі дії:
- Спочатку знаходимо найменше загальне кратне знаменників. В даному випадку для чисел 9 і 6 НОК дорівнюватиме 18.
- Визначаємо додаткові множники для кожного дробу. Робиться це так. Ділимо НОК на знаменник кожного з дробів, в результаті отримуємо 18: 9 = 2, а 18: 6 = 3. Ці числа будуть додатковими множниками.
- Наводимо два дроби до НОЗ. Помножуючи дріб на число, необхідно помножити і чисельник, і знаменник. Дроб 5/9 можна помножити на додатковий множник 2, в результаті чого вийде дріб, що дорівнює даній, - 10/18. Те саме робимо з другим дробом: 5/6 множимо на 3, в результаті чого отримуємо 15/18.
Як бачимо з наведеного вище прикладу, обидва дроби були приведені до найменшого спільного знаменника. Щоб остаточно розібратися у тому, як знайти спільний знаменник, необхідно освоїти ще одну властивість дробів. Воно полягає в тому, що чисельник і знаменник дробу можна скоротити на те саме число, яке називається спільним дільником. Наприклад, дріб 12/30 можна скоротити до 2/5, якщо розділити його на спільний дільник – число 6.
Як привести алгебраїчні (раціональні) дроби до спільного знаменника?
1) Якщо в знаменниках дробів стоять багаточлени, потрібно спробувати одним із відомих способів.
2) Найменший загальний знаменник (НОЗ) складається з всіх множників, взятих у найбільшою ступеня.
Найменший загальний знаменник для чисел усно шукаємо як найменше число, яке ділиться інші числа.
3) Щоб знайти додатковий множник до кожного дробу, треба новий знаменник поділити на старий.
4) Чисельник і знаменник початкового дробу множимо на додатковий множник.
Розглянемо приклади приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника.
Щоб знайти спільний знаменник для чисел, вибираємо більше і перевіряємо, чи воно ділиться на менше. 15 на 9 не поділяється. Помножуємо 15 на 2 і перевіряємо, чи отримане число ділиться на 9. 30 на 9 не ділиться. Множимо 15 на 3 і перевіряємо, чи ділиться отримане число на 9. 45 на 9 ділиться, отже, загальний знаменник для чисел дорівнює 45.
Найменший загальний знаменник складається з усіх множників, взятих найбільшою мірою. Таким чином, загальний знаменник даних дробів дорівнює 45 bc (літери прийнято записувати в алфавітному порядку).
Щоб знайти додатковий множник для кожного дробу, треба новий знаменник розділити на старий. 45bc: (15b) = 3c, 45bc: (9c) = 5b. Помножуємо чисельник та знаменник кожного дробу на додатковий множник:
Спочатку шукаємо загальний знаменник для чисел: 8 на 6 не ділиться, 8 2 = 16 на 6 не ділиться, 8 3 = 24 на 6 ділиться. Кожну із змінних потрібно включити до спільного знаменника один раз. Зі ступенів беремо ступінь з великим показником.
Таким чином, загальний знаменник даних дробів дорівнює 24a?bc.
Щоб знайти додатковий множник до кожного дробу, потрібно новий знаменник розділити на старий: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Додатковий множник множимо на чисельник та знаменник:
Багаточлени, що стоять у знаменниках цих дробів, необхідно . У знаменнику першого дробу повний квадрат різниці: x²-18x+81=(x-9)²; у знаменнику другий - різниця квадратів: x²-81=(x-9)(x+9):
Загальний знаменник складається з усіх множників, взятих найбільше, тобто дорівнює (x-9)²(x+9). Знаходимо додаткові множники та множимо їх на чисельник та знаменник кожного дробу:
Найчастіше з'ясовується, що дії з дробами не викликають складнощів учнів. Основною проблемою стає знаходження спільного знаменника. Щоб розібратися з цим питанням, потрібно запам'ятати правило приведення дробів до спільного знаменника і розуміти, навіщо цей загальний знаменник взагалі потрібен.
Що таке дріб?
У 5 класі учням пояснюють, що дріб це розділене на шматочки ціле. Причому знаменник позначає кількість частин, яку розділили якийсь предмет, а чисельник кількість цих частин, яке взяли до розрахунку.
Але в математиці існує інше визначення: дробом звуть незавершену операцію поділу. Це означає, що будь-який дріб можна перетворити на поділ, так і будь-який поділ можна перетворити на дріб. Наприклад:
$$(5\over(7))=5:7$$
$$7:13=(7\over(13))$$
$$12:9=(12\over(9))$$
Можна нескінченно наводити приклади, але сенс від цього не зміниться: риса дробу замінює знак розподілу.
Навіщо треба знаходити спільний знаменник?
Для того, щоб скласти або відняти два дроби, потрібно перетворити дві операції поділу на одну. Це можливо лише за умови однакового дільника. У вигляді формул це виглядає так:
а:в-с:е=(а*є):(в*є)-(с*в):(в*є)=((а*є)-(с*в)):(в*є) )
Тобто для того, щоб скласти або вирахувати дроби, потрібно привести їх до спільного знаменника. Інакше просто не вдасться правильно розв'язати приклад.
Для множення та розподілу дробів, приводити дроби до спільного знаменника не потрібно. Для цих операцій є інше теоретичне обґрунтування, яке передбачає інший порядок дій.
Як знайти спільний знаменник дробів
Для того, щоб знайти спільний знаменник дробів, потрібно знайти найбільшу загальну кратність знаменників. Наведемо приклад, вирішимо невеликий вираз:
$$(3\over(5))+(7\over(15))$$
Знайдемо НОК знаменників. Число 15 ділиться на число 5, отже
$$(3\over(5))+(7\over(15))=((3*3)\over(15))+(7\over(15))=(9\over(15)) +(7\over(15))=(16\over(15))=1 (1\over(15))$$- зверніть увагу, що при збільшенні чисельника, так само збільшився і знаменник. Наприкінці рішення прикладу з дробами при нагоді слід виділяти цілу частину виразу.
Привести дроби до спільного знаменника можна лише використовуючи основну властивість дробу. Формулювання цієї властивості звучить так: якщо чисельник і знаменник дробу помножити на те саме число, то значення дробу не зміниться. Це означає, що з приведенні дробу до спільного знаменника, потрібно враховувати збільшення чисельника.
НОК можна знайти аналітично, як ми це зробили на прикладі. Але найчастіше доводиться вдаватися до розкладання прості множники. Для того, щоб знайти НОК двох чисел слід:
- Розкласти ці числа на прості множники
- Перевірити, яких простих множників не вистачає розкладання.
- Береться число з найменшою кількістю множників і до його розкладання додають числа, які є в інших розкладах, але відсутні в основному. При цьому враховується кількість чисел. Це означає, що й у основному розкладанні одне число 3, а інших розкладах два числа 3, необхідно домножити основне розкладання на дві трійки.
Що ми дізналися?
Ми поговорили про приведення дробів до спільного знаменника. Розповіли, навіщо це потрібно і які операції з дробами можна виконувати без приведення до спільного знаменника. Навели приклад та розповіли, як змінюється чисельник при приведенні дробів до спільного знаменника.
Тест на тему
Оцінка статті
Середня оцінка: 4.7. Усього отримано оцінок: 115.
У цій статті розповідається, як привести дроби до спільного знаменника та як знайти найменший спільний знаменник. Наведено визначення, дано правило приведення дробів до спільного знаменника та розглянуто практичні приклади.
Що таке приведення дробу до спільного знаменника?
Звичайні дроби складаються з чисельника – верхньої частини, та знаменника – нижньої частини. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то кажуть, що вони приведені до спільного знаменника. Наприклад, дроби 11 14 17 14 9 14 мають однаковий знаменник 14 . Іншими словами, вони наведені до спільного знаменника.
Якщо ж дроби мають різні знаменники, їх завжди можна привести до спільного знаменника за допомогою нехитрих дій. Щоб це зробити, потрібно чисельник і знаменник помножити на певні додаткові множники.
Очевидно, що дроби 45 і 34 не приведені до спільного знаменника. Щоб це зробити, потрібно з використанням додаткових множників 5 та 4 привести їх до знаменника 20. Як саме це зробити? Помножимо чисельник і знаменник дробу 4 5 на 4 , а чисельник і знаменник дробу 3 4 помножимо на 5 . Замість дробів 4 5 і 3 4 отримаємо відповідно 16 20 та 15 20 .
Приведення дробів до спільного знаменника
Приведення дробів до спільного знаменника - це множення чисельників і знаменників дробів такі множники, що у результаті виходять ідентичні дроби з однаковим знаменником.
Загальний знаменник: визначення, приклади
Що таке спільний знаменник?
Спільний знаменник
Загальний знаменник дробів – це будь-яке додатне число, що є загальним кратним всіх цих дробів.
Інакше кажучи, загальним знаменником якогось набору дробів буде таке натуральне число, яке ділиться на всі знаменники цих дробів.
Ряд натуральних чисел нескінченний, і тому, згідно з визначенням, кожен набір звичайних дробів має безліч спільних знаменників. Інакше висловлюючись, існує безліч спільних кратних всім знаменників вихідного набору дробів.
Загальний знаменник для кількох дробів легко знайти, використовуючи визначення. Нехай є дроби 16 і 35. Спільним знаменником дробів буде будь-яке позитивне загальне кратне чисел 6 і 5 . Такими позитивними загальними кратними є числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 і таке інше.
Розглянемо приклад.
Приклад 1. Спільний знаменник
Можна ді дробу 1 3 , 21 6 , 5 12 привести до спільного знаменника, що дорівнює 150 ?
Щоб з'ясувати, чи це так, потрібно перевірити, чи є 150 загальним кратним для знаменників дробів, тобто для чисел 3, 6, 12 . Інакше кажучи, число 150 має залишатися ділитися на 3 , 6 , 12 . Перевіримо:
150 ÷ 3 = 50 , 150 ÷ 6 = 25 , 150 ÷ 12 = 12 , 5
Отже, 150 не є спільним знаменником вказаних дробів.
Найменший спільний знаменник
Найменше натуральне число з множини спільних знаменників якогось набору дробів називається найменшим загальним знаменником.
Найменший спільний знаменник
Найменший загальний знаменник дробів - це найменше серед усіх спільних знаменників цих дробів.
Найменший спільний дільник цього набору чисел - це найменше загальне кратне (НОК). НОК усіх знаменників дробів є найменшим загальним знаменником цих дробів.
Як знайти найменший спільний знаменник? Його знаходження зводиться до знаходження найменшого загального кратного дробу. Звернемося наприклад:
Приклад 2. Знайти найменший спільний знаменник
Потрібно знайти найменший спільний знаменник для дробів 110 і 12728.
Шукаємо НОК чисел 10 та 28 . Розкладемо їх на прості множники та отримаємо:
10 = 2 · 5 28 = 2 · 2 · 7 Н О К (15, 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140
Як привести дроби до найменшого спільного знаменника
Існує правило, яке пояснює, як спричинити дроби до спільного знаменника. Правило складається із трьох пунктів.
Правило приведення дробів до спільного знаменника
- Знайти найменший загальний знаменник дробів.
- Для кожного дробу знайти додатковий множник. Щоб знайти множник, потрібно найменший спільний знаменник розділити на знаменник кожного дробу.
- Помножити чисельник та знаменник на знайдений додатковий множник.
Розглянемо застосування цього правила на конкретному прикладі.
Приклад 3. Приведення дробів до спільного знаменника
Є дроби 3 14 та 5 18 . Наведемо їх до найменшого спільного знаменника.
За правилом, спочатку знайдемо НОК знаменників дробів.
14 = 2 · 7 18 = 2 · 3 · 3 Н О К (14, 18) = 2 · 3 · 3 · 7 = 126
Обчислюємо додаткові множники для кожного дробу. Для 3 14 додатковий множник знаходиться як 126 ÷ 14 = 9 , а для дробу 5 18 додатковий множник дорівнюватиме 126 ÷ 18 = 7 .
Помножуємо чисельник та знаменник дробів на додаткові множники та отримуємо:
3 · 9 14 · 9 = 27 126 , 5 · 7 18 · 7 = 35 126 .
Приведення кількох дробів до найменшого спільного знаменника
За розглянутим правилом до спільного знаменника можна наводити як пари дробів, а й більша їх кількість.
Наведемо ще один приклад.
Приклад 4. Приведення дробів до спільного знаменника
Привести дроби 3 2 , 5 6 , 3 8 та 17 18 до найменшого спільного знаменника.
Обчислимо НОК знаменників. Знаходимо НОК трьох та більшої кількості чисел:
Н О К (2 , 6) = 6 Н О К (6 , 8) = 24 Н О К (24 , 18) = 72 Н О К (2 , 6 , 8 , 18) = 72
Для 3 2 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 2 = ?
Помножуємо дроби на додаткові множники та переходимо до найменшого спільного знаменника:
3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Завантаження...
