Позитивні ірраціональні числа. Що таке ірраціональне число

З відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа .

Іраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: раціональний , тобто представляється у вигляді нескоротного дробу , де і - цілі числа . Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді

Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і - ірраціональне число.

Двійковий логарифм 3

Допустимо неприємне: раціональний , тобто представляється у вигляді дробу , де і - цілі числа . Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками у VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. – бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 р. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас обгрунтував, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що й гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить ціле число одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:

• Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
• За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
• Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
• Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
• Так як aпарне, позначимо a = 2y.
• Тоді a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
• Проте було доведено, що bнепарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це відношення непорівнянних величин алогос(невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Див. також

Примітки

Матеріал цієї статті є початковою інформацією про ірраціональні числа. Спочатку ми дамо визначення ірраціональних чисел і роз'яснимо його. Далі наведемо приклади ірраціональних чисел. Нарешті, розглянемо деякі підходи до з'ясування, чи задане число є ірраціональним чи ні.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади ірраціональних чисел

При вивченні десяткових дробів окремо розглянули нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Такі дроби виникають при десятковому вимірі довжин відрізків, несумірних з одиничним відрізком. Також ми відзначили, що нескінченні неперіодичні десяткові дроби не можуть бути переведені в звичайні дроби (дивіться переведення звичайних дробів у десяткові і назад), отже, ці числа не є раціональними числами, вони представляють так звані ірраціональні числа.

Так ми підійшли до визначення ірраціональних чисел.

Визначення.

Числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними числами.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади ірраціональних чисел. Наприклад, нескінченний неперіодичний десятковий дріб 4,10110011100011110000… (кількість одиниць і нулів щоразу збільшується на один) є ірраціональним числом. Наведемо ще приклад ірраціонального числа: −22,353335333335… (кількість трійок, що розділяють вісімки, щоразу збільшується на дві).

Слід зазначити, що ірраціональні числа досить рідко зустрічаються у вигляді нескінченних неперіодичних десяткових дробів. Зазвичай вони зустрічаються у вигляді і т.п., а також у вигляді спеціально введених букв. Найвідомішими прикладами ірраціональних чисел у такому записі є арифметичний квадратний корінь із двох, число «пі» π=3,141592…, число e=2,718281… та золоте число.

Ірраціональні числа також можна визначити через дійсні числа, які поєднують раціональні та ірраціональні числа.

Визначення.

Ірраціональні числа– це дійсні числа, які є раціональними.

Чи є це число ірраціональним?

Коли число задано над вигляді десяткового дробу, а вигляді деякого , кореня, логарифма тощо., відповісти питанням, чи є воно ірраціональним, у часто досить складно.

Безперечно, при відповіді на поставлене питання дуже корисно знати, які числа не є ірраціональними. З визначення ірраціональних чисел слід, що ірраціональними числами є раціональні числа. Таким чином, ірраціональними числами НЕ є:

• кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби.

Також не є ірраціональним числом будь-яка композиція раціональних чисел, пов'язаних знаками арифметичних операцій (+, −, ·, :). Це тим, що сума, різницю, твір і приватне двох раціональних чисел є раціональним числом. Наприклад, значення виразів є раціональними числами. Тут же зауважимо, що якщо в подібних виразах серед раціональних чисел міститься одне ірраціональне число, то значення всього виразу буде ірраціональним числом. Наприклад, у виразі число – ірраціональне, а решта числа раціональні, отже – ірраціональне число. Якби було раціональним числом, то з цього випливала б раціональність числа, а воно не є раціональним.

Якщо вираз, яким задано число, містить кілька ірраціональних чисел, знаки кореня, логарифми, тригонометричні функції, числа π, e тощо, то потрібно проводити доказ ірраціональності або раціональності заданого числа в кожному конкретному випадку. Однак існує низка вже отриманих результатів, якими можна скористатися. Перелічимо основні їх.

Доведено, що корінь ступеня k із цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під коренем є k-им ступенем іншого цілого числа, в інших випадках такий корінь задає ірраціональне число. Наприклад, числа і - ірраціональні, тому що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 7 і не існує цілого числа, зведення якого в п'яту ступінь дає число 15 . А числа і є ірраціональними, оскільки і .

Що стосується логарифмів, то довести їхню ірраціональність іноді вдається методом від протилежного. Наприклад доведемо, що log 2 3 є ірраціональним числом.

Припустимо, що log 2 3 раціональне число, а чи не ірраціональне, тобто його можна як вигляді звичайного дробу m/n . і дозволяють записати наступний ланцюжок рівностей: . Остання рівність неможлива, тому що в його лівій частині непарне число, а правій частині – парне. Так ми дійшли протиріччя, отже, наше припущення виявилося неправильним, і цим доведено, що log 2 3 - ірраціональне число.

Зауважимо, що lna при будь-якому позитивному і відмінному від одиниці раціональному є ірраціональним числом. Наприклад, і – ірраціональні числа.

Також доведено, що число e a при будь-якому відмінному від нуля раціональному є ірраціональним, і що число π z при будь-якому відмінному від нуля цілому z є ірраціональним. Наприклад, числа – ірраціональні.

Ірраціональними числами також є тригонометричні функції sin, cos, tg і ctg за будь-якого раціонального і відмінного від нуля значення аргументу. Наприклад, sin1 , tg(−4) , cos5,7 є ірраціональними числами.

Існують і інші доведені результати, на які ми обмежимося вже перерахованими. Слід також сказати, що за доказі озвучених вище результатів застосовується теорія, що з алгебраїчними числамиі трансцендентними числами.

Насамкінець зазначимо, що не варто робити поспішних висновків щодо ірраціональності заданих чисел. Наприклад, здається очевидним, що ірраціональне число в ірраціональному ступені є ірраціональне число. Проте це завжди так. Як підтвердження озвученого факту наведемо ступінь. Відомо, що ірраціональне число, а також доведено, що ірраціональне число, але раціональне число. Також можна навести приклади ірраціональних чисел, сума, різницю, твір та приватне яких є раціональні числа. Більше того, раціональність чи ірраціональність чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e та багатьох інших досі не доведена.

Список літератури.

• Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

А своє коріння вони витягли з латинського слова «ratio», що означає «розум». Виходячи з дослівного перекладу:

• Раціональне число - це "розумне число".
• Ірраціональне число, відповідно, «нерозумне число».

Загальне поняття раціонального числа

Раціональним числом вважається те число, яке можна записати у вигляді:

1. Звичайного позитивного дробу.
2. Негативного звичайного дробу.
3. У вигляді числа нуль (0).

Іншими словами, до раціонального число підійде такі визначення:

• Будь-яке натуральне число є по своїй суті раціональним, тому що будь-яке натуральне число можна представити у вигляді звичайного дробу.
• Будь-яке ціле число, включно число нуль, оскільки будь-яке ціле число можна записати як у вигляді позитивного звичайного дробу, як негативного звичайного дробу, і у вигляді числа нуль.
• Будь-який звичайний дріб, і тут не має значення позитивний він або негативний, теж безпосередньо підходить до визначення раціонального числа.
• Так само до визначення можна віднести і змішане число, кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний дріб.

Приклади раціонального числа

Розглянемо приклади раціональних чисел:

• Натуральні числа - "4", "202", "200".
• Цілі числа - "-36", "0", "42".
• Прості дроби.

З перелічених вище прикладів цілком очевидно, що раціональні числа можуть бути як позитивними так і негативними. Звичайно, число 0 (нуль), яке теж у свою чергу є раціональним числом, в той же час не відноситься до категорії позитивного чи негативного числа.

Звідси, хотілося б нагадати загальноосвітню програму з допомогою наступного визначення: «Раціональними числами» — називаються ті числа, які можна записати як дробу х/у, де х (числитель) — ціле число, а й у (знаменник) — натуральне число.

Загальне поняття та визначення ірраціонального числа

Крім «раціональних чисел» нам відомі і звані «ірраціональні числа». Коротко спробуємо дати визначення цим числам.

Ще древні математики, бажаючи обчислити діагональ квадрата з його сторон, дізналися про існування ірраціонального числа.
Виходячи з визначення про раціональні числа, можна побудувати логічний ланцюг і дати визначення ірраціонального числа.
Отже, насправді, ті дійсні числа, які є раціональними, елементарно і є ірраціональними числами.
Десяткові дроби, що виражають ірраціональні числа, не періодичні і нескінченні.

Приклади ірраціонального числа

Розглянемо для наочності невеликий приклад ірраціонального числа. Як ми вже зрозуміли, нескінченні десяткові неперіодичні дроби називаються ірраціональними, наприклад:

• Число «-5,020020002… (прекрасно видно, що двійки розділені послідовністю з одного, двох, трьох і т.д. нулів)
• Число «7,040044000444… ​​(тут ясно, що число четвірок і кількість нулів щоразу ланцюжком збільшується на одиницю).
• Всім відоме число Пі (31415 ...). Так, так – воно теж є ірраціональним.

Взагалі всі дійсні числа є як раціональними, так і ірраціональними. Говорячи простими словами, ірраціональне число не можна уявити у вигляді звичайного дробу х/у.

Загальний висновок та коротке порівняння між числами

Ми розглянули кожне число окремо, залишилася відмінність між раціональним числом та ірраціональним:

1. Ірраціональне число зустрічається при добуванні квадратного кореня, при розподілі кола на діаметр і т.д.
2. Раціональне число є звичайним дробом.

Укладемо нашу статтю кількома визначеннями:

• Арифметична операція, зроблена над раціональним числом, крім розподілу на 0 (нуль), в кінцевому результаті призведе також до раціонального числа.
• Кінцевий результат, при здійсненні арифметичної операції над ірраціональним числом, може призвести як до раціонального так і до ірраціонального значення.
• Якщо ж у арифметичній операції беруть участь і ті та інші числа (крім розподілу або множення на нуль), то результат нам видасть ірраціональне число.

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I (\displaystyle \mathbb (I) )у напівжирному контурі без заливки. Таким чином: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, несумірних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Іраціональними є:

  Приклади доказу ірраціональності

  Корінь з 2

  Допустимо неприємне: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))раціональний, тобто представляється у вигляді дробу m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), де m (\displaystyle m)- ціле число, а n (\displaystyle n)- натуральне число .

  Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Історія

  Античність

  Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками у VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. – бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені [ ] .

  Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппас з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е.), піфагорійця. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок [ ] .

  Немає точних даних про те, ірраціональність якого числа було підтверджено Гіппасом. Згідно з легендою, він знайшов його вивчаючи довжини сторін пентаграми. Тому розумно припустити, що це було золоте перетин [ ] .

  Грецькі математики назвали це відношення непорівнянних величин алогос(невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

  Багато всіх натуральних чисел позначають буквою N. Натуральні числа, це числа які ми використовуємо для рахунку предметів: 1,2,3,4, … У деяких джерелах, до натуральних чисел відносять також число 0.

  Багато всіх цілих чисел позначається буквою Z. Цілі числа це все натуральні числа, нуль і негативні числа:

  1,-2,-3, -4, …

  Тепер приєднаємо до безлічі всіх цілих чисел звичайних дробів: 2/3, 18/17, -4/5 і так далі. Тоді ми отримаємо багато раціональних чисел.

  Безліч раціональних чисел

  Безліч всіх раціональних чисел позначається буквою Q. Множина всіх раціональних чисел (Q) - це безліч, що складається з чисел виду m/n, -m/n та числа 0. якості n,mможе виступати будь-яке натуральне число. Слід зазначити, що всі раціональні числа можна представити у вигляді кінцевого або нескінченного ПЕРЕОДИЧНОГО десяткового дробу. Вірно і зворотне, що будь-який кінцевий або нескінченний періодичний десятковий дріб можна записати у вигляді раціонального числа.

  А як бути наприклад з числом 2.0100100010 ...? Воно є нескінченно НЕПЕРЕОДИЧНИМ десятковим дробом. І воно не належить до раціональних чисел.

  В шкільному курсіалгебри вивчаються лише речові (або дійсні) числа. Безліч всіх дійсних чисел позначається буквою R. Багато R складається з усіх раціональних і всіх ірраціональних чисел.

  Поняття ірраціональних чисел

  Ірраціональні числа - це нескінченні десяткові неперіодичні дроби. Ірраціональні числа немає спеціального позначення.

  Наприклад, усі числа отримані вилученням квадратного кореня з натуральних чисел, які є квадратами натуральних чисел - будуть ірраціональними. (√2, √3, √5, √6, тощо).

  Але не варто думати, що ірраціональні числа виходять лише вилученням квадратного коріння. Наприклад, число «пі» теж є ірраціональним, а воно отримане поділом. І як ви не намагайтеся, ви не зможете отримати його, витягаючи квадратний корінь із будь-якого натурального числа.