Вперше з такою арифметичною дією, як множення, учні знайомляться на шкільній лаві. Вчитель математики серед численних правил порушує тему «множення на нуль». Незважаючи на однозначність формулювання, у учнів виникає безліч запитань. Розгляньмо, що буде, якщо помножити на 0.
Правило, за яким множити на нуль не можна, породжує масу суперечок між викладачами та їхніми учнями. Важливо розуміти, що множення на нуль є спірним аспектом через свою неоднозначність.
Насамперед акцентується увага на відсутності достатнього рівня знань у учнів середньої загальноосвітньої школи. Переступаючи поріг навчального закладу, учасник освітнього процесу здебільшого не замислюється про головну мету, яку слід переслідувати.
Протягом навчання викладач висвітлює різноманітні питання. До них входить ситуація, що вдасться, якщо множити на 0. Прагнучи передбачити розповідь викладача, деякі учні вступають у полеміку. Вони доводять, по крайнього заходу, намагаються, що множення на 0 припустимо. Але, на жаль, це негаразд. При множенні на 0 будь-якого числа виходить зовсім нічого.У деяких літературних джерелах навіть зустрічається згадка, будь-яке число, помножене на нуль, утворює порожнечу.
Важливо!Уважні слухачі аудиторії одночасно схоплюють, що й число помножити на 0, то результаті вийде 0. Інше розвиток подій простежується у тих учнів, хто систематично пропускає заняття. Неуважні чи недобросовісні учні частіше за інших замислюються, скільки буде, якщо множити на нуль.
Внаслідок відсутності знань на тему викладач та недбайливий учень виявляються за протилежні сторонисуперечливої ситуації.
Відмінність поглядів на тему суперечки полягає у ступеня освіченості щодо того, можна множити на 0 чи таки немає. Єдиний допустимий вихід із ситуації, що склалася – спробувати звернутися до логічного мислення для пошуку правильної відповіді.
Для пояснення правила не рекомендується використати такий приклад. У Вані в сумці лежать 2 яблука на перекушування. В обід він задумався про те, щоб покласти в портфель ще скільки-небудь яблук. Але на той момент поряд не виявилося жодного фрукта. Ваня не поклав нічого. Іншими словами, до 2 яблук він помістив 0 яблук.
У плані арифметики в цьому прикладі виходить, що якщо 2 помножити на 0, то не виходить порожнечі. Відповідь у цьому випадку однозначна. Для цього прикладу правило множення на нуль не є актуальним. Вірне рішення полягає у підсумовуванні. Саме тому правильна відповідь полягає у 2 яблуках.
Інакше вчителю не залишається нічого іншого, як скласти ряд завдань. Остання міра – повторно задати проходження теми та провести опитування на винятки у множенні.
Суть дії
Вивчення алгоритму дій при множенні на нуль є доцільним починати з позначення суті арифметичної дії.
Сутність дії помножити спочатку визначалася виключно для натурального числа. Якщо розкривати механізм дії, то кілька, що у обчисленні, додається до себе.
При цьому важливо враховувати кількість додатків. Залежно від цього критерію виходить різний результат. Додавання числа щодо самого себе визначає таку його властивість, як натуральність.
Розглянемо з прикладу. Необхідно число 15 помножити на 3. При множенні на 3 число 15 втричі збільшується у своїй величині. Іншими словами, дія виглядає як 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. На основі механізму розрахунку стає очевидним, якщо число помножити на інше натуральне число, виникає подібність до складання в спрощеному вигляді.
Алгоритм процесів при множенні на 0 доцільно починати з надання параметра на нуль.
Зверніть увагу!Відповідно до загальноприйнятої думки нуль означає ціле ніщо. Для порожнечі такого роду в арифметиці передбачено позначення. Незважаючи на цей факт, нульове значення не несе нічого.
Слід зазначити, що така думка у сучасному світовому науковому суспільстві відрізняється від погляду давніх східних учених. Відповідно до теорії, якої вони дотримувалися, нуль дорівнював нескінченності.
Іншими словами, якщо помножити на нуль, то вийде різноманіття варіантів. У нульовому значенні вчені розглядали подібність глибини світобудови.
Як підтвердження можливості помножити на 0 математики наводили такий факт. Якщо поруч із будь-яким натуральним числом поставити 0, то вийде значення, що перевищує вихідне десятки разів.
Наведений приклад є одним із аргументів. Крім доказу подібного роду існує безліч інших прикладів. Саме вони лежать в основі безперервних суперечок при множенні на порожнечу.
Доцільність спроб
Серед учнів досить часто спочатку освоєння навчального матеріалу зустрічаються спроби число помножити на 0. Подібна дія є грубою помилкою.
По суті, від таких спроб нічого не станеться, але й користі не буде. Якщо зробити множення на нульове значення, то вийде у щоденнику незадовільна позначка.
Єдина думка, яка має виникати при множенні на порожнечу, – неможливість дії. Запам'ятовування у разі грає важливу роль. Вивчивши правило раз і назавжди, учень запобігає появі спірних ситуацій.
Як приклад, який застосовується при множенні на нульове значення, дозволяється використовувати таку ситуацію. Сашко вирішила купити яблука. Поки вона була у супермаркеті, вона зупинила вибір на 5 великих стиглих яблуках. Сходячи до відділу молочної продукції, вона вважала, що цього їй буде недостатньо. Дівчинка поклала собі в кошик ще 5 штук.
Подумавши ще трохи, вона взяла ще 5. В результаті на касі у Сашка вийшло: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблук. Якби вона поклала по 5 яблук лише 2 рази, то було б 5*2=5+5=10. У тому випадку, якби Саша не поклала в кошик жодного разу по 5 яблук, було б 5*0=0+0 + 0 + 0 + 0 = 0. Іншими словами, купити яблука 0 разів означає не купити жодного.
Нуль сам собою цифра дуже цікава. Сам собою означає порожнечу, відсутність значення, а поруч із іншою цифрою збільшує її значимість удесятеро. Будь-які числа в нульовому ступені завжди дають 1. Цей знак використовували ще в цивілізації майя, причому він у них позначав поняття «початок, причина». Навіть календар починався з нульового дня. А ще ця цифра пов'язана із суворою забороною.
Ще з початкових шкільних років ми чітко засвоїли правило «на нуль ділити не можна». Але якщо в дитинстві багато сприймаєш на віру і слова дорослого рідко викликають сумніви, то згодом іноді хочеться все-таки розібратися в причинах, зрозуміти чому були встановлені ті чи інші правила.
Чому не можна ділити на нуль? На це питання хочеться отримати зрозуміле логічне пояснення. У першому класі вчителя це зробити не могли, тому що в математиці правила пояснюються за допомогою рівнянь, а в тому віці ми й уявлення не мали, що це таке. А тепер настав час розібратися і отримати зрозуміле логічне пояснення того, чому не можна ділити на нуль.
Справа в тому, що в математиці лише дві з чотирьох основних операцій (+, -, х, /) з числами визнаються незалежними: множення та додавання. Інші операції прийнято вважати похідними. Розглянемо простенький приклад.
Ось скажіть, скільки вийде, якщо від 20 відібрати 18? Звичайно, в нашій голові миттєво виникає відповідь: це буде 2. А як ми дійшли такого результату? Комусь це питання здасться дивним - адже й так все ясно, що вийде 2, хтось пояснить, що від 20 копійок забрав 18 і в нього вийшло дві копійки. Логічно всі ці відповіді не викликають сумнівів, проте з погляду математики вирішувати це завдання слід інакше. Ще раз нагадаємо, що головними операціями в математиці є множення і додавання і тому в нашому випадку відповідь у вирішенні наступного рівняння: х + 18 = 20. З якого і випливає, що х = 20 - 18, х = 2. Здавалося б, навіщо так детально все розписувати? Адже і так все просто. Однак без цього важко пояснити, чому не можна ділити на нуль.
А тепер подивимося що вийде, якщо ми побажаємо 18 розділити на нуль. Знову складемо рівняння: 18:0 = х. Оскільки операція поділу є похідною від процедури множення, то перетворивши наше рівняння отримаємо х * 0 = 18. Ось тут якраз і починається безвихідь. Будь-яке число на місці ікса при множенні на нуль дасть 0 і отримати 18 нам не вдасться. Тепер стає гранично ясно чому не можна ділити на нуль. Сам нуль можна ділити на будь-яке число, а ось навпаки - на жаль, ніяк не можна.
А що вийде, якщо нуль розділити на себе? Це можна записати в такому вигляді: 0: 0 = х, або х * 0 = 0. Це рівняння має безліч рішень. Тож у результаті виходить нескінченність. Тому операція й у разі теж немає сенсу.
Поділ на 0 лежить в корені багатьох уявних математичних жартів, якими при бажанні можна спантеличити будь-яку необізнану людину. Наприклад, розглянемо рівняння: 4*х - 20 = 7*х - 35. Винесемо за дужки у лівій частині 4, а правої 7. Отримаємо: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Тепер помножимо ліву та праву частину рівняння на дріб 1/(х – 5). Рівняння набуде такого вигляду: 4*(х – 5)/(х – 5) = 7*(х – 5)/(х – 5). Скоротимо дроби на (х - 5) і ми вийде, що 4 = 7. З цього можна дійти невтішного висновку, що 2*2 = 7! Звичайно, каверза тут у тому, що дорівнює 5 і скорочувати дроби було не можна, оскільки це призводило до поділу на нуль. Тому при скороченні дробів потрібно завжди перевіряти, щоб нуль випадково не опинився в знаменнику, інакше результат вийде зовсім непередбачуваним.
Ще в школі вчителі нам усім намагалися вбити в голову найпростіше правило: «Будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю!», - Але все одно навколо нього постійно виникає купа суперечок. Хтось просто запам'ятав правило і не забиває голову питанням «чому?». "Не можна і все тут, тому що в школі так сказали, правило є правило!" Хтось може списати півзошити формулами, доводячи це правило або, навпаки, його нелогічність.
Вконтакте
Хто в результаті прав
Під час цих суперечок обидві людини, які мають протилежні точки зору, дивляться один на одного, як на барана, і доводять усіма силами свою правоту. Хоча, якщо подивитися на них збоку, то можна побачити не одного, а двох баранів, що упираються один в одного рогами. Відмінність між ними лише в тому, що один трохи менш освічений, ніж другий.
Найчастіше ті, хто вважають це правило невірним, намагаються закликати до логіки ось таким способом:
У мене на столі лежить два яблука, якщо я покладу до них нуль яблук, тобто не покладу жодного, то від цього мої два яблука не зникнуть! Правило нелогічне!
Справді, яблука нікуди не зникнуть, але не через те, що правило нелогічне, а тому що тут використано трохи інше рівняння: 2+0 = 2. Так що такий висновок відкинемо відразу - воно нелогічне, хоч і має зворотну мету - закликати до логіки.
Що таке множення
Спочатку правило множеннябуло визначено тільки для натуральних чисел: множення - це число, додане до себе певну кількість разів, що передбачає натуральність числа. Таким чином, будь-яке число з множенням можна звести ось до такого рівняння:
- 25×3 = 75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25×3 = 25 + 25 + 25
З цього рівняння випливає висновок, що множення – це спрощене додавання.
Що таке нуль
Будь-яка людина з самого дитинства знає: нуль - це порожнеча, незважаючи на те, що ця порожнеча має позначення, вона не несе за собою взагалі нічого. Стародавні східні вчені вважали інакше - вони підходили до питання філософськи і проводили паралелі між порожнечею і нескінченністю і бачили глибокий сенс у цьому числі. Адже нуль, що має значення порожнечі, ставши поряд з будь-яким натуральним числом, множить його вдесятеро. Звідси і всі суперечки з приводу множення - це число несе у собі стільки суперечливості, що важко не заплутатися. Крім того, нуль постійно використовується для визначення порожніх розрядів у десяткових дробах, це робиться і до, і після коми.
Чи можна множити на порожнечу
Помножувати на нуль можна, але марно, тому що, як не крути, але навіть при множенні негативних чисел все одно виходитиме нуль. Досить просто запам'ятати це найпростіше правило і ніколи більше не задаватися цим питанням. Насправді все простіше, ніж на перший погляд. Немає жодних прихованих смислів та таємниць, як вважали давні вчені. Нижче буде наведено найлогічне пояснення, що це множення марно, адже при множенні числа на нього все одно виходитиме одне й те саме - нуль.
Повертаючись на початок, до приводу з приводу двох яблук, 2 помножити на 0 виглядає ось так:
- Якщо з'їсти по два яблука п'ять разів, з'їдено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблук
- Якщо їх з'їсти по двічі, то з'їдено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблук
- Якщо з'їсти по два яблука нуль разів, то нічого не буде з'їдено - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0
Адже з'їсти яблуко 0 разів – це означає не з'їсти жодного. Це буде зрозуміло навіть самому маленькій дитині. Як не крути - вийде 0, двійку або трійку можна замінити абсолютно будь-яким числом і вийде абсолютно те саме. А якщо простіше кажучи, то нуль - це нічого, а коли у вас нічого немає, то скільки не помножуй - все одно буде нуль. Чари не буває, і з нічого не вийде яблуко, навіть при множенні 0 на мільйон. Це найпростіше, зрозуміле та логічне пояснення правила множення на нуль. Людині, далекій від усіх формул і математики, буде достатньо такого пояснення, щоб дисонанс у голові розсмоктався, і все стало на свої місця.
Поділ
З усього вищезгаданого випливає й інше важливе правило:
На нуль ділити не можна!
Це правило нам теж із самого дитинства завзято вбивають у голову. Ми просто знаємо, що не можна і все, не забиваючи голову зайвою інформацією. Якщо вам несподівано поставлять питання, чому заборонено ділити на нуль, то більшість розгубиться і не зможе чітко відповісти на найпростіше питання зі шкільної програми, тому що навколо цього правила не ходить стільки суперечок та суперечностей.
Всі просто зазубрили правило і не ділять на нуль, не підозрюючи, що відповідь криється на поверхні. Додавання, множення, розподіл і віднімання - нерівноправні, повноцінні з перерахованого лише множення і додавання, проте інші маніпуляції з числами будуються їх. Тобто запис 10: 2 є скороченням рівняння 2 * х = 10. Значить, запис 10: 0 таке ж скорочення від 0 * х = 10. Виходить, що розподіл на нуль - це завдання знайти число, множачи яке на 0, вийде 10 А ми вже розібралися, що такого числа не існує, отже, у цього рівняння немає рішення, і воно буде апріорі невірним.
Розповім тобі дозволь,
Щоб не ділив на 0!
Ріж 1 як хочеш, вздовж,
Тільки не поділи на 0!
Євген Ширяєв, викладач та керівник Лабораторії математики Політехнічного музею, розповів АіФ.ru про поділ на нуль:
1. Юрисдикція питання
Погодьтеся, особливу провокаційність правилу надає заборона. Як це не можна? Хто заборонив? А як же наші громадянські права?
Ні конституція РФ, ні Кримінальний кодекс, ні навіть статут вашої школи не заперечують проти інтелектуальної дії, що цікавить нас. Отже, заборона не має юридичної сили, і ніщо не заважає прямо тут, на сторінках АіФ.ru, спробувати щось поділити на нуль. Наприклад, тисячу.
2. Розділимо, як вчили
Згадайте, коли ви тільки дізналися, як ділити, перші приклади вирішували з перевіркою множенням: результат, помножений на дільник, повинен був збігтися зробленим. Не збігся — не вирішили.
приклад 1. 1000: 0 =...
Забудемо на хвилину про заборонене правило і зробимо кілька спроб відгадати відповідь.
Неправильні відсіче перевірка. Перебирайте варіанти: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для кожного з них перевірка дасть той самий результат:
100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0
Нуль множенням все перетворює на себе і ніколи на тисячу. Висновок сформулювати нескладно: жодна кількість не пройде перевірку. Т. е. жодне число не може бути результатом розподілу ненульового числа на нуль. Такий поділ не заборонено, а просто не має результату.
3. Нюанс
Ледве не пропустили жодну можливість спростувати заборону. Так, ми визнаємо, що ненульове число не розділиться на 0. Але, може, сам 0 зможе?
приклад 2. 0: 0 = ...
Ваші пропозиції для приватного? 100? Будь ласка: приватна 100, помножена на дільник 0, дорівнює ділимому 0.
Ще варіанти! 1? Теж підходить. І -23, і 17, і все-все-все. У цьому прикладі перевірка результат буде позитивною для будь-якого числа. І по-чесному, рішенням у цьому прикладі треба називати не число, а безліч чисел. Усіх. А так недовго домовитись і до того, що Аліса це не Аліса, а Мері-Енн, а обидві вони – сон кролика.
4. Що там про найвищу математику?
Проблема вирішена, нюанси враховані, точки розставлені, все прояснилося — відповіддю для прикладу з поділом на нуль не може бути жодне число. Такі завдання вирішувати - справа безнадійна і неможлива. А значить… цікаве! Дубль два.
Приклад 3. Придумати, як поділити 1000 на 0.
А аж ніяк. Зате 1000 можна легко ділити на інші числа. Ну, давайте хоча б робити, що виходить, хай навіть змінивши поставлене завдання. А там, дивишся, захопимося, і відповідь сама собою з'явиться. Забуваємо на хвилину про нуль і ділимо на сто:
Сотня далека від нуля. Зробимо крок до нього, зменшивши дільник:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Очевидна динаміка: що ближче дільник до нуля, то більше приватна. Тенденцію можна спостерігати і далі, переходячи до дробів і продовжуючи зменшувати чисельник:
Залишилося зауважити, що до нуля ми можемо підійти як завгодно близько, роблячи приватне скільки завгодно великим.
У цьому процесі немає нуля та немає останнього приватного. Ми позначили рух до них, замінивши число на послідовність, що сходить до числа, що нас цікавить:
При цьому мається на увазі аналогічна заміна і для ділимого:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Стрілки недаремно поставлені двосторонніми: деякі послідовності можуть сходитися до числа. Тоді ми можемо поставити у відповідність послідовності її числову межу.
Подивимося на послідовність приватних:
Вона росте необмежено, не прагнучи до якого числа і перевершуючи будь-яке. Математики додають до числа символ ∞, щоб мати можливість поруч із такою послідовністю поставити двосторонню стрілку:
Зіставлення числам послідовностей, що мають межу, дозволяє запропонувати рішення до третього прикладу:
При поелементному розподілі послідовності, що сходить до 1000, на послідовність позитивних чисел, що сходить до 0, отримаємо послідовність, що сходить до ∞.
5. І тут нюанс із двома нулями
Що буде результатом поділу двох послідовностей позитивних чисел, що сходяться на нуль? Якщо вони однакові, то тотожна одиниця. Якщо до нуля швидше сходиться послідовність-ділене, то в приватному послідовність нульовою межею. А коли елементи дільника зменшуються набагато швидше, ніж у діленого, послідовність приватного сильно зростатиме:
Невизначена ситуація. І так і називається: невизначеність виду 0/0 . Коли математики бачать послідовності, відповідні таку невизначеність, де вони кидаються ділити два однакових числа друг на друга, а розуміються, яка з послідовностей швидше біжить до нуля як саме. І в кожному прикладі буде своя конкретна відповідь!
6. У житті
Закон Ома пов'язує силу струму, напругу та опір у ланцюгу. Часто його записують у такій формі:
Дозволимо собі знехтувати акуратним фізичним розумінням та формально подивимося на праву частину як на приватне двох чисел. Уявімо, що вирішуємо шкільне завдання з електрики. В умові дано напругу у вольтах та опір в омах. Питання очевидне, рішення в одну дію.
А тепер заглянемо у визначення надпровідності: ця властивість деяких металів має нульовий електричний опір.
Ну що, вирішимо завдання для надпровідного ланцюга? Просто так підставити R = 0 не вийде, фізика підкидає цікаве завдання, за яким, очевидно, стоїть наукове відкриття. І люди, які зуміли поділити на нуль у цій ситуації, здобули Нобелівську премію. Будь-які заборони корисно вміти оминати!
Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат - борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ та площа такого "борщового" прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.
Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб це зрозуміти, нам знадобляться лінійні кутові функції.
У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.
Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.
Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони вирішувати не вміють. Дивіться. Якщо нам відомий результат складання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Усе. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два доданки за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути одне доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути друге доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. В повсякденному життіми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженняхЗаконів природи розкладання суми на доданки може знадобитися.
Ще один закон складання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.
На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у області описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць виміру різних об'єктів, ми зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з діями. Буквою Wя позначу воду, літерою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.
Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.
І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.
Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.
Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.
Як бачите, той самий закон складання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.
Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що буде відбуватися за різних значенняхкута лінійних кутових функцій.
Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).
Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Досить один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.
Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. Ми маємо багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.
Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мене кухарі, це просто математика).
Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.
Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))
Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречні.
Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.
Поява математики на планеті.
Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.
субота, 26 жовтня 2019 р.
Переглянув цікаве відео про ряд Гранді Один мінус один плюс один мінус один - Numberphile. Математики брешуть. Вони не виконали перевірку рівності під час своїх міркувань.
Це перегукується з моїми міркуваннями.
Давайте детальніше розглянемо ознаки обману нас математиками. На самому початку міркувань, математики говорять, що сума послідовності залежить від того, парна кількість елементів в ній чи ні. Це ОБ'ЄКТИВНО ВСТАНОВЛЕНИЙ ФАКТ. Що відбувається далі?
Далі математики з одиниці віднімають послідовність. До чого це призводить? Це призводить до зміни кількості елементів послідовності - парна кількість змінюється на непарне, непарне змінюється на парне. Адже ми додали до послідовності один елемент, який дорівнює одиниці. Незважаючи на всю зовнішню схожість, послідовність до перетворення не дорівнює послідовності після перетворення. Навіть якщо ми розмірковуємо про нескінченну послідовність, необхідно пам'ятати, що нескінченна послідовність з непарною кількістю елементів не дорівнює нескінченній послідовності з парною кількістю елементів.
Ставлячи знак рівності між двома різними за кількістю елементів послідовностями, математики стверджують, що сума послідовності НЕ ЗАЛЕЖИТЬ від кількості елементів у послідовності, що суперечить ОБ'ЄКТИВНО ВСТАНОВЛЕНОМУ ФАКТУ. Подальші міркування сумі нескінченної послідовності є хибними, оскільки засновані на хибній рівності.
Якщо ви бачите, що математики в ході доказів розставляють дужки, переставляють місцями елементи математичного вираження, що-небудь додають або прибирають, будьте дуже уважні, швидше за все, вас намагаються обдурити. Як карткові фокусники, математики різними маніпуляціями з виразом відволікають вашу увагу, щоб підсунути вам помилковий результат. Якщо картковий фокус ви не можете повторити, не знаючи секрету обману, то в математиці все набагато простіше: ви навіть нічого не підозрюєте про обман, але повторення всіх маніпуляцій з математичним виразом дозволяє переконати інших у правильності отриманого результату, так само, як коли то переконали вас.
Питання із залу: А нескінченність (як кількість елементів у послідовності S), вона парна чи непарна? Як можна поміняти парність у того, що парності немає?
Нескінченність для математиків, як Царство Небесне для попів - ніхто ніколи там не був, але всі точно знають, як там все влаштовано))) Згоден, після смерті вам буде абсолютно байдуже, парна чи непарна кількість днів ви прожили, але... Додавши всього один день на початок вашого життя, ми отримаємо зовсім іншу людину: прізвище, ім'я та по батькові у нього такі самі, тільки дата народження зовсім інша - він народився за один день до вас.
А тепер по суті))) Допустимо, кінцева послідовність, що має парність, втрачає цю парність при переході до нескінченності. Тоді і будь-який кінцевий відрізок нескінченної послідовності має втратити парність. Ми цього не бачимо. Те, що ми не можемо точно сказати, парне чи непарне кількість елементів у нескінченної послідовності, зовсім не означає, що парність зникла. Не може парність, якщо вона є, безвісти зникнути в нескінченності, як у рукаві шулера. Для цього випадку дуже хороша аналогія.
Ви ніколи не питали у зозулі, що сидить у годиннику, в якому напрямку обертається стрілка годинника? Для неї стрілка обертається у зворотному напрямку тому, що ми називаємо "за годинниковою стрілкою". Як це не парадоксально звучить, але напрямок обертання залежить виключно від того, з якого боку ми спостерігаємо. І так, у нас є одне колесо, що обертається. Ми не можемо сказати, в якому напрямку відбувається обертання, оскільки його можемо спостерігати як з одного боку площини обертання, так і з іншого. Ми можемо лише засвідчити факт, що є обертання. Повна аналогія з парністю нескінченної послідовності S.
Тепер додамо друге обертове колесо, площина обертання якого паралельна площині обертання першого колеса, що обертається. Ми, як і раніше, не можемо точно сказати, в якому напрямку обертаються ці колеса, але ми абсолютно точно можемо сказати, обертаються обидва колеса в один бік або в протилежні. Порівнюючи дві нескінченні послідовності Sі 1-Sя за допомогою математики показав, що у цих послідовностей різна парність і ставити знак рівності між ними - це помилка. Особисто я вірю математиці, не довіряю математикам))) До речі, для повного розуміння геометрії перетворень нескінченних послідовностей, необхідно вводити поняття "одночасність". Це треба буде намалювати.
середа, 7 серпня 2019 р.
Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:
Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:
Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.
Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики і намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути невичерпне".
Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.
Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх ніде. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона вже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з вже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:
Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.
Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:
Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.
Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.
Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою помилкових міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).
pozg.ru
неділя, 4 серпня 2019 р.
Дописував постскриптум до статті про та побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:
Читаємо: "... багата теоретична основаМатематика Вавилону не мала цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази.
Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто у мене вийшло таке:
Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.
За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначеньбагатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.
субота, 3 серпня 2019 р.
Як поділити безліч на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню у частині елементів вибраної множини. Розглянемо приклад.
Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.
Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Звичайно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосована математика у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, насправді перетворень зроблено все правильно, досить знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.
Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одне надмножина можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.
Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, є те, що для теорії множин математики вигадали власну мову та власні позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.
На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той же бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міра стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Арістотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони так чи інакше розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден з них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід має на увазі застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблений, або його застосовували до апорії Зенона. А застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, то все стає на свої місця. Ахіллес біжить із постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно говоритиме "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха у той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення треба шукати над нескінченно великих числах, а одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Стріла, що летить, нерухома, тому що в кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. По одній фотографії автомобіля на дорозі неможливо визначити факт його руху, ні відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.
А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама безліч або дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.
Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. В чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.
Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" дійти такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їх "наукового" арсеналу.
За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.
Завантаження...
