Знаходження центру тяжкості плоского тіла висновок. Визначення координат центру тяжкості плоских фігур

6.1. Загальні відомості

Центр паралельних сил
Розглянемо дві паралельні, спрямовані в один бік сили , і прикладені до тіла в точках А 1 та А 2 (рис.6.1). Ця система сил має рівнодіючу , лінія дії якої проходить через деяку точку З. Положення точки Зможна знайти за допомогою теореми Варіньйона:

Якщо повернути сили та біля точок А 1 та А 2 в один бік і на той самий кут, то отримаємо нову систему паралельних сал, що мають ті ж модулі. При цьому їх рівнодіюча також проходитиме через точку З. Така точка називається центром паралельних сил.
Розглянемо систему паралельних і однаково спрямованих сил, прикладених до твердого тіла у точках. Ця система має рівнодіючу.
Якщо кожну силу системи повернути близько точок їх застосування в одну й ту саму сторону і на той самий кут, то вийдуть нові системи однаково спрямованих паралельних сил з тими самими модулями і точками програми. Рівнодійна таких систем матиме той самий модуль R, але щоразу інший напрямок. Склавши сили F 1 та F 2 знайдемо що їх рівнодіюча R 1 , яка завжди буде проходити через точку З 1, положення якої визначається рівністю. Склавши далі R 1 та F 3 , знайдемо їх рівнодіючу, яка завжди проходитиме через точку З 2 , що лежить на прямій А 3 З 2 . Довівши процес складання сил до кінця прийдемо до висновку, що рівнодіюча всіх сил дійсно завжди проходитиме через ту саму точку. З, Положення якої стосовно точок буде незмінним.
Точка, крапка З, через яку проходить лінія дії рівнодіючої системи паралельних сил при будь-яких поворотах цих сил біля точок їх застосування в один і той же бік на той самий кут називається центром паралельних сил (рис. 6.2).

Рис.6.2

Визначимо координати центру паралельних сил. Оскільки положення точки Зпо відношенню до тіла є незмінним, її координати від вибору системи координат не залежать. Повернемо всі сили біля їх застосування так, щоб вони стали паралельними осі Оуі застосуємо до повернутих сил теорему Варіньйона. Так як R"є рівнодією цих сил, то, згідно з теореми Варіньйона, маємо , т.к. , , отримаємо

Звідси знаходимо координату центру паралельних сил zc:

Для визначення координати xcскладемо вираз моменту сил щодо осі Oz.

Для визначення координати ycповернемо всі сили, щоб вони стали паралельні осі Oz.

Положення центру паралельних сил щодо початку координат (рис. 6.2) можна визначити його радіусом-вектором:

6.2. Центр тяжкості твердого тіла

Центром тяжіннятвердого тіла називається незмінно пов'язана з цим тілом точка З, якою проходить лінія дії рівнодіючої сил тяжкості даного тіла, при будь-якому положенні тіла у просторі.
Центр тяжкості застосовується при дослідженні стійкості положень рівноваги тіл і суцільних середовищ, що знаходяться під дією сил тяжіння та в деяких інших випадках, а саме: у опорі матеріалів та в будівельній механіці – при використанні правила Верещагіна.
Існують два способи визначення центру тяжкості тіла: аналітичний та експериментальний. Аналітичний спосіб визначення центру тяжкості безпосередньо випливає із поняття центру паралельних сил.
Координати центру тяжкості як центру паралельних сил визначаються формулами:

де Р- вага всього тіла; pk- вага частинок тіла; xk, yk, zk- Координати частинок тіла.
Для однорідного тіла вага всього тіла та будь-якої її частини пропорційна обсягу P=Vγ, pk = vk γ, де γ - вага одиниці обсягу, V- Об'єм тіла. Підставляючи вирази P, pkформули визначення координат центру тяжкості і скорочуючи на загальний множник γ , отримаємо:

Точка, крапка Зкоординати якої визначаються отриманими формулами, називається центром тяжкості обсягу.
Якщо тіло є тонкою однорідною пластиною, то центр тяжіння визначається формулами:

де S- площа всієї пластини; sk- Площа її частини; xk, yk- Координати центру тяжкості частин пластини.
Точка, крапка Зу разі носить назву центру тяжкості площі.
Чисельники виразів, що визначають координати центру тяжіння плоских фігур, називаються з татичними моментами площіщодо осей уі х:

Тоді центр тяжкості площі можна визначити за формулами:

Для тіл, довжина яких значно перевищує розміри поперечного перерізу, визначають центр тяжкості лінії. Координати центру тяжіння лінії визначають формулами:

де L- Довжина лінії; lk- Довжина її частин; xk, yk, zk- Координата центру тяжкості частин лінії.

6.3. Способи визначення координат центрів тяжіння тіл

На основі отриманих формулах, можна запропонувати практичні способи визначення центрів тяжкості тіл.
1. Симетрія. Якщо тіло має центр симетрії, то центр тяжіння перебуває у центрі симетрії.
Якщо тіло має площину симетрії. Наприклад, площина ХОУ, то центр тяжіння лежить у цій площині.
2. Розбиття. Для тіл, що складаються з простих формою тіл, використовується спосіб розбиття. Тіло розбивається на частини, центр тяжкості яких перебуває методом симетрії. Центр тяжкості всього тіла визначається за формулами центру тяжкості об'єму (площі).

Приклад. Визначити центр тяжкості пластини, зображеної на наведеному нижче малюнку (рис. 6.3). Пластину можна розбити на прямокутники у різний спосібта визначити координати центру ваги кожного прямокутника та їх площі.

Рис.6.3

Відповідь: xc= 17.0см; yc= 18.0див.

3. Доповнення. Цей спосіб є окремим випадком способу розбиття. Він використовується, коли тіло має вирізи, зрізи та ін., якщо координати центру ваги тіла без вирізу відомі.

Приклад. Визначити центр тяжкості круглої пластини, що має виріз радіусом. r = 0,6 R(Рис. 6.4).

Рис.6.4

Кругла пластина має центр симетрії. Помістимо початок координат у центрі пластини. Площа пластини без вирізу, площа вирізу. Площа пластини з вирізом; .
Пластина з вирізом має вісь симетрії О1 x, отже, yc=0.

4. Інтегрування. Якщо тіло не можна розбити на кінцеве число частин, положення центрів тяжкості яких відомі, тіло розбивають на довільні малі обсяги, для яких формула з використанням методу розбиття набуває вигляду: .
Далі переходять межі, спрямовуючи елементарні обсяги нанівець, тобто. стягуючи обсяги у крапки. Суми замінюють інтегралами, поширеними на весь об'єм тіла, тоді формули визначення координат центру тяжкості об'єму набувають вигляду:

Формули для визначення координат центру ваги площі:

Координати центру тяжкості площі необхідно визначати щодо рівноваги пластинок, при обчисленні інтеграла Мора у будівельній механіці.

Приклад. Визначити центр тяжкості дуги кола радіусу Rз центральним кутом АОВ= 2? (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Дуга кола симетрична осі Ох, отже, центр тяжіння дуги лежить на осі Ох, yс = 0.
Відповідно до формули для центру тяжкості лінії:

6.Експериментальний спосіб. Центри тяжкості неоднорідних тіл складної конфігурації можна визначати експериментально: шляхом підвішування і зважування. Перший спосіб у тому, що тіло підвішується на тросі різні точки. Напрямок троса на якому підвішене тіло, буде давати напрямок сили тяжіння. Точка перетину цих напрямків визначає центр тяжкості тіла.
Метод зважування у тому, що спочатку визначається вага тіла, наприклад автомобіля. Потім на терезах визначається тиск заднього моста автомобіля на опору. Склавши рівняння рівноваги щодо будь-якої точки, наприклад, осі передніх коліс, можна обчислити відстань від цієї осі до центру тяжкості автомобіля (рис. 6.6).

Рис.6.6

Іноді під час вирішення завдань слід застосовувати одночасно різні методи визначення координат центру тяжкості.

6.4. Центри тяжкості деяких найпростіших геометричних фігур

Для визначення центрів тяжкості тіл часто зустрічається форми (трикутника, дуги кола, сектора, сегмента) зручно використовувати довідкові дані (табл. 6.1).

Таблиця 6.1

Координати центру тяжкості деяких однорідних тіл

№	Найменування фігури	Малюнок
	Дуга кола: центр тяжіння дуги однорідного кола знаходиться на осі симетрії (координата уc=0). R- Радіус кола.
	Однорідний круговий сектор уc=0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Сегмент: центр тяжіння розташований на осі симетрії (координата уc=0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Півколо:
	Трикутник: центр ваги однорідного трикутника знаходиться у точці перетину його медіан. де x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- координати вершин трикутника
	Конус: центр ваги однорідного кругового конуса лежить на його висоті і віддалений на відстань 1/4 висоти від основи конуса.

В інженерній практиці трапляється, що виникає необхідність обчислити координати центру важкості складної плоскої фігури, що складається з простих елементів, для яких розташування центру важкості відоме. Таке завдання є частиною завдання визначення...

Геометричних характеристик складових поперечних перерізів балок та стрижнів. Часто з подібними питаннями доводиться стикатися інженерам-конструкторам вирубних штампів при визначенні координат центру тиску, розробникам схем навантаження різного транспорту при розміщенні вантажів, проектувальникам будівельних металевих конструкцій при підборі перерізів елементів і, звичайно, студентам при вивченні дисциплін «Теоретична механіка» ».

Бібліотека елементарних постатей.

Для симетричних плоских фігур центр ваги збігається із центром симетрії. До симетричної групи елементарних об'єктів належать: коло, прямокутник (зокрема квадрат), паралелограм (зокрема ромб), правильний багатокутник.

З десяти фігур, представлених малюнку вище, лише дві є базовими. Тобто, використовуючи трикутники та сектори кіл, можна скомбінувати майже будь-яку фігуру, яка має практичний інтерес. Будь-які довільні криві можна, розбивши на ділянки, замінити дугами кіл.

Вісім фігур, що залишилися, є найпоширенішими, тому вони і були включені в цю своєрідну бібліотеку. У нашій класифікації ці елементи є базовими. Прямокутник, паралелограм та трапецію можна скласти із двох трикутників. Шестикутник – це сума із чотирьох трикутників. Сегмент кола – це різниця сектора кола та трикутника. Кільцевий сектор кола – різниця двох секторів. Коло – це сектор кола з кутом α=2*π=360˚. Півколо – це, відповідно, сектор кола з кутом α=π=180˚.

Розрахунок у Excel координат центру ваги складової фігури.

Передавати та сприймати інформацію, розглядаючи приклад, завжди легше, ніж вивчати питання на суто теоретичних викладках. Розглянемо розв'язання задачі "Як знайти центр тяжіння?" на прикладі складової фігури, зображеної малюнку, розташованому нижче цього тексту.

Складовий переріз є прямокутником (з розмірами a1 =80 мм, b1 =40 мм), до якого зліва зверху додали рівнобедрений трикутник (з розміром основи a2 =24 мм та висотою h2 =42 мм) і з якого праворуч зверху вирізали півколо (з центром у точці з координатами x03 =50 мм та y03 =40 мм, радіусом r3 = 26 мм).

На допомогу для виконання розрахунку залучимо програму MS Excel або програму OOo Calc . Будь-яка з них легко впорається із нашим завданням!

У осередках з жовтий заливкою виконаємо допоміжні попередні розрахунки .

У осередках зі світло-жовтою заливкою вважаємо результати.

Синій шрифт – це вихідні дані .

Чорний шрифт – це проміжні результати розрахунків .

червоний шрифт – це остаточні результати розрахунків .

Починаємо розв'язання задачі – починаємо пошук координат центру тяжкості перерізу.

Вихідні дані:

1. Назви елементарних фігур, що утворюють складовий переріз, впишемо відповідно

в осередок D3: Прямокутник

в осередок E3: Трикутник

в осередок F3: Півколо

2. Користуючись представленою в цій статті "Бібліотекою елементарних фігур", визначимо координати центрів тяжкості елементів складного перерізу xciі yciв мм щодо довільно вибраних осей 0x і 0y і запишемо

у комірку D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

у комірку D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

у комірку E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

у комірку E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

у комірку F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

у комірку F5: =40-4*26/3/ПІ() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Розрахуємо площі елементів F 1 , F 2 , F3 в мм2, скориставшись знову формулами розділу «Бібліотека елементарних фігур»

у осередку D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

у осередку E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

у осередку F6: =-ПІ()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Площа третього елемента – півкола – негативна тому, що це виріз – пусте місце!

Розрахунок координат центру тяжкості:

4. Визначимо загальну площу підсумкової фігури F0 в мм2

в об'єднаному осередку D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Обчислимо статичні моменти складової фігури Sxі Syв мм3 щодо вибраних осей 0x та 0y

в об'єднаному осередку D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 * F2 + yc3 * F3

в об'єднаному осередку D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 * F2 + xc3 * F3

6. І на завершення розрахуємо координати центру тяжкості складного перерізу Xcі Ycмм в обраній системі координат 0x - 0y

в об'єднаному осередку D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

в об'єднаному осередку D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc = Sx / F0

Завдання вирішено, розрахунок в Excel виконано - знайдено координати центру тяжкості перерізу, складеного при використанні трьох простих елементів!

Висновок.

Приклад у статті був обраний дуже простим для того, щоб було легше розібратися в методології розрахунків центру тяжкості складного перерізу. Метод полягає в тому, що будь-яку складну фігуру слід розбити на прості елементи з відомими місцями розташування центрів тяжкості і зробити підсумкові обчислення для перетину.

Якщо перетин складається з прокатних профілів – куточків та швелерів, то їх немає необхідності розбивати на прямокутники та квадрати з вирізаними круговими «π/2» секторами. Координати центрів тяжкості цих профілів наведені в таблицях ГОСТів, тобто і куточок і швелер будуть у ваших розрахунках складових перерізів базовими елементарними елементами (про двотаври, труби, прутки і шестигранники говорити немає сенсу - це центрально симетричні перерізи).

Розташування осей координат на положення центру ваги фігури, звісно, ​​не впливає! Тому вибирайте систему координат, що спрощує розрахунки. Якщо, наприклад, я розгорнув би в нашому прикладі систему координат на 45 за годинниковою стрілкою, то обчислення координат центрів тяжкості прямокутника, трикутника і півкола перетворилося б на ще один окремий і громіздкий етап розрахунків, який «в умі» не виконаєш.

Поданий нижче розрахунковий файл Excel у разі програмою не є. Швидше - це малюнок калькулятора, алгоритм, шаблон по якому слід у кожному конкретному випадку складати свою послідовність формул для осередків з яскравою жовтою заливкою.

Отже, як знайти центр тяжіння будь-якого перетину, ви тепер знаєте! Повний розрахунок всіх геометричних характеристик довільних складних складових перерізів буде розглянуто в одній із найближчих статей у рубриці «». Слідкуйте за новинами на блозі.

Для отримання інформації про вихід нових статей і для скачування робочих файлів програм прошу вас підписатися на анонси у вікні, розташованому наприкінці статті або у вікні вгорі сторінки.

Після введення адреси своєї електронної пошти та натискання на кнопку «Отримувати анонси статей» НЕ ЗАБУВАЙТЕ ПІДТВЕРДЖУВАТИ ПІДПИСКУ кліком за посиланням у листі, який відразу прийде до вас на вказану пошту (іноді - в папку « Спам » )!

Кілька слів про келих, монету та дві виделки, які зображені на «значку-ілюстрації» на самому початку статті. Багатьом із вас, безумовно, знайомий цей «трюк», який викликає захоплені погляди дітей та непосвячених дорослих. Тема цієї статті – центр тяжкості. Саме він і точка опори, граючи з нашою свідомістю та досвідом, просто дурять наш розум!

Центр тяжкості системи «вилки+монета» завжди розміщується на фіксованомувідстані по вертикалі внизвід краю монети, що у свою чергу є точкою опори. Це становище стійкої рівноваги!Якщо викачати вилки, то відразу стає очевидним, що система прагне зайняти своє старе стійке становище! Уявіть маятник - точка закріплення (=точка опори монети на кромку келиха), стрижень-вісь маятника (=у нашому випадку вісь віртуальна, так як маса двох вилок розведена в різні боки простору) і вантаж внизу осі (=центр тяжіння всієї системи «вилки» +монета»). Якщо почати відхиляти маятник від вертикалі в будь-який бік (вперед, назад, ліворуч, праворуч), то він неминуче під дією сили тяжіння повертатиметься у вихідне стійкий стан рівноваги(це ж саме відбувається і з нашими вилками та монетою)!

Хто не зрозумів, але хоче зрозуміти – розберіться самостійно. Адже це дуже цікаво «доходити» самому! Додам, що цей принцип використання стійкого рівноваги реалізований і в іграшці ванька-встань-ка. Тільки центр ваги цієї іграшки розташований вище точки опори, але нижче центру півсфери опорної поверхні.

Завжди радий вашим коментарям, шановні читачі!

Прошу, Шановна працю автора, завантажувати файл ПІСЛЯ ПЕРЕДПЛАТИ на новини статей.

З отриманих вище загальних формул, можна зазначити конкретні способи визначення координат центрів тяжкості тіл.

1. симетрія.Якщо однорідне тіло має площину, вісь чи центр симетрії (мал.7), його центр тяжкості лежить відповідно у площині симетрії, осі симетрії чи центрі симетрії.

Рис.7

2. Розбиття.Тіло розбивається на кінцеве число частин (рис.8), кожної з яких становище центру тяжкості і площа відомі.

мал.8

3.Метод негативних площ.Окремий випадок способу розбиття (рис.9). Він застосовується до тіл, що мають вирізи, якщо центри ваги тіла без вирізу та вирізаної частини відомі. Тіло у вигляді пластинки з вирізом являють собою комбінацією суцільної пластинки (без вирізу) з площею S 1 і площі вирізаної частини S 2 .

мал.9

4.Метод угруповання.Є добрим доповненням двох останніх методів. Після розбиття фігури на складові елементи частина їх зручно об'єднати знову, щоб потім спростити рішення шляхом обліку симетрії цієї групи.

Центри тяжкості деяких однорідних тіл.

1) Центр тяжкості дуги кола.Розглянемо дугу АВрадіусу Rз центральним кутом. З огляду на симетрії центр тяжкості цієї дуги лежить на осі Ox(Рис. 10).

Рис.10

Знайдемо координату за формулою. Для цього виділимо на дузі АВелемент ММ’довжиною, положення якого визначається кутом. Координата хелемента ММ’буде. Підставляючи ці значення хі d lі маючи на увазі, що інтеграл має бути поширений на всю довжину дуги, отримаємо:

де L- Довжина дуги АВ, рівна.

Звідси остаточно знаходимо, що центр тяжіння дуги кола лежить на її осі симетрії на відстані від центру Про, рівному

де кут вимірюється у радіанах.

2) Центр тяжкості площі трикутника.Розглянемо трикутник, що лежить у площині Oxyкоординати вершин якого відомі: A i(x i,y i), (i= 1,2,3). Розбиваючи трикутник на вузькі смужки, паралельні стороні А 1 А 2 прийдемо до висновку, що центр тяжіння трикутника повинен належати медіані А 3 М 3 (рис.11).

Рис.11

Розбиваючи трикутник на смужки, паралельні стороні А 2 А 3 можна переконатися, що він повинен лежати на медіані А 1 М 1 . Таким чином, центр тяжкості трикутника лежить у точці перетину його медіан, Яка, як відомо, відокремлює від кожної медіани третину, рахуючи від відповідної сторони.

Зокрема, для медіани А 1 М 1 отримаємо, враховуючи, що координати точки М 1 - це середнє арифметичне координат вершин А 2 та А 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Таким чином, координати центру тяжкості трикутника є середнім арифметичним з координат його вершин:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Центр тяжкості площі кругового сектора.Розглянемо сектор кола радіусу Rз центральним кутом 2α, розташований симетрично щодо осі Ox(Рис.12) .

Очевидно, що y c = 0, а відстань від центру кола, з якого вирізаний цей сектор, до центру тяжкості можна визначити за формулою:

Рис.12

Найпростіше цей інтеграл обчислити, розбиваючи область інтегрування на елементарні сектори з кутом dφ. З точністю до нескінченно малих першого порядку такий сектор можна замінити трикутником з основою, що дорівнює R× dφ та висотою R. Площа такого трикутника dF=(1/2)R 2 ∙dφ, а його центр тяжіння знаходиться на відстані 2/3 Rвід вершини, тому в (5) покладемо x = (2/3)R∙cosφ. Підставляючи (5) F= α R 2, отримаємо:

За допомогою останньої формули обчислимо, зокрема, відстань до центру важкості півкола.

Підставляючи (2) α = π/2, отримаємо: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

приклад 1.Визначимо центр тяжкості однорідного тіла, зображеного на рис. 13.

Рис.13

Тіло однорідне, що складається із двох частин, що мають симетричну форму. Координати центрів їхньої тяжкості:

Обсяги їх:

Тому координати центру тяжкості тіла

приклад 2.Знайдемо центр ваги пластини зігнутої під прямим кутом. Розміри – на кресленні (рис.14).

Рис.14

Координати центрів тяжкості:

Площі:

Рис. 6.5.

Приклад 3.У квадратного листа см вирізаний квадратний отвір см (рис.15). Знайдемо центр тяжкості листа.

Рис.15

У цьому завдання зручніше розділити тіло на дві частини: великий квадрат та квадратний отвір. Тільки площу отвору треба вважати негативною. Тоді координати центру тяжкості листа з отвором:

координата тому що тіло має вісь симетрії (діагональ).

Приклад 4.Дрітова дужка (рис.16) складається з трьох ділянок однакової довжини l.

Рис.16

Координати центрів тяжіння ділянок:

Тому координати центру тяжкості всієї дужки:

Приклад 5.Визначити положення центру тяжкості ферми, всі стрижні якої мають однакову щільність погонів (рис.17).

Нагадаємо, що у фізиці щільність тіла ρ та його питома вага g пов'язані співвідношенням: γ= ρ g, де g- прискорення вільного падіння. Щоб знайти масу такого однорідного тіла, потрібно густину помножити на його об'єм.

Рис.17

Термін «лінійна» або «погонна» густина означає, що для визначення маси стрижня ферми потрібно погонну густину помножити на довжину цього стрижня.

Для вирішення задачі можна скористатися методом розбиття. Представивши задану ферму у вигляді суми 6 окремих стрижнів, отримаємо:

де L iдовжина i-го стрижня ферми, а x i, y i- Координати його центру тяжкості.

Вирішення цього завдання можна спростити, якщо згрупувати 5 останніх стрижнів ферми. Неважко бачити, що вони утворюють фігуру, що має центр симетрії, розташований посередині четвертого стрижня, де знаходиться центр тяжкості цієї групи стрижнів.

Таким чином, задану ферму можна уявити комбінацією всього двох груп стрижнів.

Перша група складається із першого стрижня, для неї L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Друга група стрижнів складається з п'яти стрижнів, для неї L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м-коду.

Координати центру тяжкості ферми знаходимо за формулою:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

Зазначимо, що центр Злежить на прямій, що з'єднує З 1 та З 2 і ділить відрізок З 1 З 2 щодо: З 1 З/СС 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Питання для самоперевірки

Що називається центром паралельних сил?

Як визначаються координати центру паралельних сил?

Як визначити центр паралельних сил, рівнодіюча яких дорівнює нулю?

Яку властивість має центр паралельних сил?

За якими формулами обчислюються координати центру паралельних сил?

Що називається центром важкості тіла?

Чому сили тяжіння Землі, що діють на точку тіла, можна сприйняти як систему паралельних сил?

Запишіть формулу визначення положення центру тяжкості неоднорідних і однорідних тіл, формулу визначення положення центру тяжкості плоских перерізів?

Запишіть формулу для визначення положення центру ваги простих геометричних фігур: прямокутника, трикутника, трапеції та половини кола?

Що називають статичним моментом майдану?

Наведіть приклад тіла, центр тяжкості якого розташований поза тілом.

Як використовуються властивості симетрії щодо центрів тяжкості тіл?

У чому полягає суть способу негативних ваг?

Де розташований центр тяжіння дуги кола?

Якою графічною побудовою можна знайти центр тяжіння трикутника?

Запишіть формулу, яка визначає центр тяжіння кругового сектора.

Використовуючи формули, що визначають центри тяжіння трикутника та кругового сектора, виведіть аналогічну формулу для кругового сегмента.

За якими формулами обчислюються координати центрів ваги однорідних тіл, плоских фігур та ліній?

Що називається статичним моментом площі плоскої фігури щодо осі, як він обчислюється та яку розмірність має?

Як визначити положення центру тяжкості площі, якщо відоме положення центрів тяжкості окремих її частин?

Якими допоміжними теоремами користуються щодо положення центру тяжкості?

Перед тим, як знайти центр тяжкості простих фігур, таких які мають прямокутну, круглу, кулясту або циліндричну, а також квадратну форму, необхідно знати, в якій точці знаходиться центр симетрії конкретної фігури. Оскільки в даних випадках центр тяжіння буде співпадати з центром симетрії.

Центр тяжкості однорідного стрижня розташований у його геометричному центрі. Якщо необхідно визначити центр ваги круглого диска однорідної структури, то спочатку знайдіть точку перетину діаметрів кола. Вона буде центром тяжкості даного тіла. Розглядаючи такі фігури, як куля, обруч і однорідний прямокутний паралелепіпед, можна з упевненістю сказати, що центр тяжіння обруча буде знаходитися в центрі фігури, але поза її точками, центр тяжіння кулі - геометричний центр сфери, і в останньому випадку центром вагою вважається перетин діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

Центр тяжкості неоднорідних тіл

Щоб знайти координати центру тяжкості, як і сам центр тяжіння неоднорідного тіла, необхідно розібратися, на якому відрізку даного тіла розташовується точка, в якій перетинаються всі сили тяжіння, що діють на фігуру, якщо її перевертати. Насправді для знаходження такої точки підвішують тіло на нитку, поступово змінюючи точки прикріплення нитки до тіла. У разі, коли тіло перебуває у рівновазі, то центр тяжкості тіла лежатиме на лінії, яка збігається з лінією нитки. Інакше сила тяжкості приводить тіло до руху.

Візьміть олівець і лінійку, накресліть вертикальні прямі, які візуально співпадатимуть з нитковими напрямками (нитки, що закріплюються в різних точках тіла). Якщо форма тіла є досить складною, то проведіть кілька ліній, які будуть перетинатися в одній точці. Вона і стане центром тяжіння для тіла, над яким ви робили досвід.

Центр тяжкості трикутника

Для знаходження центру тяжкості трикутника необхідно намалювати трикутник - фігуру, що складається з трьох відрізків, з'єднаних між собою в трьох точках. Перед тим, як знайти центр ваги фігури, необхідно, використовуючи лінійку, виміряти довжину однієї сторони трикутника. Всередині боку поставте позначку, після чого протилежну вершину і середину відрізка з'єднайте лінією, яка називається медіаною. Той самий алгоритм повторіть з другою стороною трикутника, а потім і з третьою. Результатом вашої роботи стануть три медіани, які перетинаються в одній точці, яка буде центром тяжкості трикутника.

Якщо перед вами стоїть завдання, що стосується того, як знайти центр ваги тіла у формі рівностороннього трикутника, необхідно з кожної вершини провести висоту за допомогою прямокутної лінійки. Центр тяжкості в рівносторонньому трикутнику перебуватиме на перетині висот, медіан та бісектрис, оскільки одні й ті самі відрізки одночасно є висотами, медіанами та бісектрисами.

Координати центру тяжкості трикутника

Перед тим, як знайти центр тяжіння трикутника та його координати, розглянемо докладніше саму фігуру. Це однорідна трикутна пластина з вершинами А, В, С і відповідно координатами: для вершини А - x1 і y1; для вершини В - x2 та y2; для вершини С – x3 та y3. При знаходженні координат центру ваги ми не враховуватимемо товщину трикутної пластини. На малюнку ясно видно, що центр тяжіння трикутника позначений буквою Е – для його знаходження ми провели три медіани, на перетині яких і поставили точку Е. Вона має свої координати: xE та yE.

Один кінець медіани, проведеної з вершини А до відрізка, володіє координатами x 1 , y 1 (це точка А), а другі координати медіани отримуємо, виходячи з того, що точка D (другий кінець медіани) стоїть посередині відрізка BC. Кінці даного відрізка мають відомі нам координати: B(x 2 , y 2) і C(x 3 , y 3). Координати точки D позначаємо xD та yD. Виходячи з таких формул:

х = (Х1 + Х2) / 2; у=(У1+У2)/2

Визначаємо координати середини відрізка. Отримаємо наступний результат:

хd=(Х2+Х3)/2; уd=(У2+У3)/2;

D * ((Х2 + Х3) / 2, (У2 + У3) / 2).

Ми знаємо, які координати й у кінці відрізка АТ. Також нам відомі координати точки Е, тобто центру тяжіння трикутної пластини. Також ми знаємо, що центр тяжіння розташований посередині відрізка артеріального тиску. Тепер, використовуючи формули та відомі нам дані, ми можемо знайти координати центру тяжіння.

Таким чином, можна знайти координати центру тяжкості трикутника, точніше координати центру тяжіння трикутної пластини, враховуючи те, що її товщина нам невідома. Вони рівні середнього арифметичного однорідних координат вершин трикутної пластини.

Прямокутник. Оскільки прямокутник має дві осі симетрії, його центр тяжкості перебуває в перетині осей симетрії, тобто. у точці перетину діагоналей прямокутника.

Трикутник. Центр тяжкості лежить у точці перетину його медіан. З геометрії відомо, що медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться щодо 1:2 від основи.

Коло. Оскільки коло має дві осі симетрії, його центр тяжкості перебуває на перетині осей симетрії.

Півколо. Півколо має одну вісь симетрії, центр тяжіння лежить на цій осі. Інша координата центру тяжкості обчислюється за такою формулою: .

Багато конструктивних елементів виготовляють із стандартного прокату – куточків, двотаврів, швелерів та інших. Всі розміри, а також геометричні характеристики прокатних профілів це табличні дані, які можна знайти в довідковій літературі в таблицях нормального сортаменту (ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89).

приклад 1. Визначити становище центру тяжкості фігури, представленої малюнку.

Рішення:

Обираємо осі координат, так щоб вісь Ох пройшла по крайньому нижньому габаритному розміру, а вісь Оу - по крайньому лівому габаритному розміру.

Розбиваємо складну фігуру на мінімальну кількість простих фігур:

прямокутник 20х10;

трикутник 15х10;

коло R=3 див.

Обчислюємо площу кожної простої фігури, її координати центру ваги. Результати обчислень заносимо до таблиці

№ фігури	Площа фігури А,	Координати центру важкості

Відповідь: З(14,5; 4,5)

Приклад 2 . Визначити координати центру тяжкості складеного перерізу, що складається з листа та прокатних профілів.

Рішення.

Вибираємо осі координат, оскільки показано малюнку.

Позначимо фігури номерами та випишемо з таблиці необхідні дані:

№ фігури	Площа фігури А,	Координати центру важкості

Обчислюємо координати центру тяжкості фігури за формулами:

Відповідь: З(0; 10)

Лабораторна робота №1 «Визначення центру важкості складових плоских фігур»

Ціль: Визначити центр тяжкості заданої плоскої складної фігури досвідченим та аналітичним способами та порівняти їх результати.

Порядок виконання роботи

Накреслити у зошитах свою плоску фігуру за розмірами, із зазначенням осей координат.

Визначити центр тяжкості аналітичним способом.

1. Розбити фігуру на мінімальну кількість фігур, центри тяжкості яких ми знаємо, як визначити.

   Вказати номери площ та координати центру ваги кожної фігури.

   Обчислити координати центру тяжкості кожної фігури.

   Обчислити площу кожної фігури.

   Обчислити координати центру тяжкості всієї фігури за формулами (положення центру тяжіння нанести на креслення фігури):

Установка для досвідченого визначення координат центру ваги способом підвішування складається з вертикальної стійки. 1 (див. рис.), до якої прикріплена голка 2 . Плоска фігура 3 виготовлена ​​з картону, в якому легко проколоти отвір. Отвори А і В проколюються в довільно розташованих точках (краще на віддаленій відстані один від одного). Плоска фігура підвішується на голку спочатку у точці А , а потім у точці В . За допомогою схилу 4 , закріпленого на тій же голці, на фігурі прокреслюють олівцем вертикальну лінію, що відповідає нитці схилу. Центр ваги З фігури перебуватиме в точці перетину вертикальних ліній, нанесених при підвішуванні фігури в точках А і В .