Як порахувати диференціал. Диференціал функції однієї змінної

Якщо я не пояснив (на даний момент), що таке похідна функції, то немає сенсу пояснювати, і що таке диференціал функції. У найпримітивнішому формулюванні диференціал – це «майже те саме, що й похідна».

Похідна функції найчастіше позначається через .

Диференціал функції стандартно позначається через (так і читається - "де игрек")

Диференціал функції однієї змінної записується у такому вигляді:

Інший варіант запису:

Найпростіше завдання: Знайти диференціал функції

1) Перший етап. Знайдемо похідну:

2) другий етап. Запишемо диференціал:

Диференціал функції однієї або декількох змінних найчастіше використовують для наближених обчислень.

Крім інших завдань з диференціалом іноді зустрічається і «чисте» завдання перебування диференціала функції. З іншого боку, як й у похідної, для диференціала існує поняття диференціала у точці. І такі приклади ми також розглянемо.

Приклад 7

Знайти диференціал функції

Перед тим, як знаходити похідну або диференціал, завжди доцільно подивитися, а чи не можна якось спростити функцію (або запис функції) ще додиференціювання? Дивимось на наш приклад. По-перше, можна перетворити корінь:

(корінь п'ятого ступеня належить саме до синуса).

По-друге, зауважуємо, що під синусом у нас дріб, який, очевидно, належить диференціювати. Формула диференціювання дробу дуже громіздка. Чи не можна позбутися дробу? В даному випадку - можна, почленно розділимо чисельник на знаменник:

Функція складна. У ньому два вкладення: під ступінь вкладено синус, а під синус вкладено вираз . Знайдемо похідну, використовуючи правило диференціювання складної функції два рази:

Запишемо диференціал, при цьому знову представимо у первісному «красивому» вигляді:

Коли похідна є дріб, значок зазвичай «приліплюють» в самому кінці чисельника (можна і праворуч на рівні дробової межі).

Приклад 8

Знайти диференціал функції

Це приклад самостійного рішення.

Наступні два приклади перебування диференціала у точці.

Приклад 9

Обчислити диференціал функції у точці

Знайдемо похідну:

Знову, похідна начебто знайдено. Але в цю бодягу ще належить підставляти число, тому результат максимально спрощуємо:

Праці були не марні, записуємо диференціал:

Тепер обчислимо диференціал у точці:

У значок диференціала одиницю підставляти не потрібно, він трохи з іншої опери.

Завдання про швидкість точки, що рухається

Нехай закон прямолінійного руху матеріальної точки. Позначимо через шлях, пройдений точкою за час , а через шлях, пройдений за час . Тоді під час точка пройде шлях , рівний: . Відношення називається середньою швидкістю точки за час від до . Чим менше, тобто. чим коротший проміжок часу від до, тим краще середня швидкість характеризує рух точки на момент часу. Тому природно ввести поняття швидкості в даний момент, визначивши її як межу середньої швидкостіза проміжок від до , коли:

Величина називається миттєвою швидкістю точки на даний момент.

Завдання про дотичну до даної кривої

Нехай на площині задана безперервна крива рівнянням. Потрібно провести невертикальну дотику до даної кривої в точці . Оскільки точка торкання дана, то для вирішення задачі потрібно знайти кутовий коефіцієнт дотичної. З геометрії відомо, що , де - Кут нахилу дотичної до позитивного напрямку осі (див. Рис.). Через крапки і проведемо січну , де - Кут, утворений січучою з позитивним напрямом осі . З малюнка видно, що , де . Кутовий коефіцієнт, що стосується цієї кривої в точці, може бути знайдений на підставі наступного визначення.

Щодо кривої в точці називається граничне становищесікучої , коли точка прагне точки . Звідси слідує що .

Визначення похідної

Математична операція, необхідна на вирішення розглянутих вище завдань, і той ж. З'ясуємо аналітичну сутність цієї операції, відволікаючись від конкретних питань, що її викликали.

Нехай функцію визначено на деякому проміжку. Візьмемо значення із цього проміжку. Надамо якесь прирощення (позитивне або негативне). Цьому новому значенню аргументу відповідає і нове значення функції де .

Складемо відношення , Воно є функцією від .

Похідної функції за змінною в точці називається межа відношення прирощення функції в цій точці до аргументу, що викликав його прирощення, коли довільним чином:

Зауваження. Вважається, що похідна функції в точці існує, якщо межа у правій частині формули існує і кінцевий і не залежить від того, як збільшення змінної прагне до 0 (ліворуч або праворуч).

Процес знаходження похідної функції називається її диференціюванням.

Знаходження похідних деяких функцій визначення

а) Похідна постійною.

Нехай де - постійна, т.к. значення цієї функції при всіх однакові, то її збільшення дорівнює нулю і, отже,

.

Отже, похідна незмінною дорівнює нулю, тобто. .

б) Похідна функції.

Складемо збільшення функції:

.

При знаходженні похідної використовували властивість межі виконання функцій, перша чудова межа і безперервність функції.

Таким чином, .

Зв'язок між диференційованістю функції та її безперервністю

Функція, що має похідну в точці, називається диференційованою в цій точці. Функція, що має похідну у всіх точках деякого проміжку, називається диференційованою на цьому проміжку.

Теорема.Якщо функція диференційована у точці , вона безперервна у цій точці.

Доведення. Надамо аргументу довільне збільшення. Тоді функція отримає збільшення. Запишемо рівність і перейдемо до межі в лівій та правій частинах при:

Оскільки у безперервної функції нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції, то теорему можна вважати доведеною.

Зауваження. Зворотне твердження немає місця, тобто. з безперервності функції в точці, взагалі кажучи, не випливає диференційованість у цій точці. Наприклад, функція безперервна при всіх , але не диференційована в точці . Дійсно:

Межа нескінченна, отже, функція не диференційована в точці .

Таблиця похідних елементарних функцій

Зауваження. Нагадаємо властивості ступенів і коренів, що використовуються при диференціюванні функцій:

Наведемо приклади знаходження похідних.

1) .

2)

Похідна складної функції

Нехай . Тоді функція буде складною функцією від x.

Якщо функція диференційована у точці x, а функція диференційована у точці u, То теж диференційована в точці x, причому

.

1.

Вважаємо, тоді. Отже

При достатній навичці проміжну змінну uне пишуть, вводячи її лише подумки.

2.

Диференціал

До графіка безперервної функції у точці проведемо дотичну MT, позначивши через jїї кут нахилу до позитивного напрямку осі Ох.Оскільки , то з трикутника MEFвипливає, що

Введемо позначення

.

Цей вираз називається диференціаломфункції. Отже

Помічаючи, що , тобто. що диференціал незалежної змінної дорівнює її приросту, отримаємо

Таким чином, диференціал функції дорівнює твору її похідної на диференціал (або збільшення) незалежної змінної.

З останньої формули слід, що , тобто. похідна функції дорівнює відношенню диференціала цієї функції до диференціалу аргументу.

Диференціал функції dyгеометрично є прирощення ординати дотичної, що відповідає прирощенню аргументу D х.

З малюнка видно, що з досить малому D хпо абсолютній величині можна взяти збільшення функції приблизно рівним її диференціалу, тобто.

.

Розглянемо складну функцію , де , причому диференційована по u, а - за х. За правилом диференціювання складної функції

Помножимо цю рівність на dx:

Оскільки (за визначенням диференціала), то

Таким чином, диференціал складної функції має той самий вид, якби змінна uбула не проміжним аргументом, а незалежною змінною.

Ця властивість диференціала називається інваріантністю(незмінюваністю) форми диференціалу.

приклад. .

Усі правила диференціювання можна записати для диференціалів.

Нехай – диференційовані у точці х. Тоді

Доведемо друге правило.

Похідна неявної функції

Нехай дано рівняння виду, що зв'язує змінні та . Якщо не можна явно виразити через , (дозволити щодо ) то така функція називається неявно заданою. Щоб знайти похідну від такої функції, потрібно обидві частини рівняння продиференціювати, вважаючи функцією від . З отриманого нового рівняння знайти.

приклад. .

Диференціюємо обидві частини рівняння по , пам'ятаючи, що є функція від

Лекція 4. Похідна та диференціал функції однієї змінної

Поняття та геометричний сенс диференціала

Визначення. Диференціалом функції у певній точці x називається головна, лінійна частина збільшення функції.

Диференціал функції y = f(x) дорівнює твору її похідної на збільшення незалежної змінної x (аргументу).

Це записується так:

Геометричний сенс диференціалу. Диференціал функції y = f(x) дорівнює приросту ординати дотичної S, проведеної до графіка цієї функції в точці M(x; y), при зміні x (аргументу) на величину (див. рисунок).

Чому диференціал можна використовувати у наближених обчисленнях?

Диференціал є головною, лінійною відносно частиною збільшення функції; що менше , то більшу частку приросту становить ця частина. У цьому можна переконатися, пересуваючи подумки перпендикуляр, опущений з точки P (див. малюнок) до осі Ox, ближче до початку координат. Тому за мінімальних значеннях (і за ) збільшення функції можна приблизно замінити його головною частиною , тобто.

Про різні форми запису диференціала

Диференціал функції у точці x і позначають

Отже,

, (2)

оскільки диференціал функції y = f(x) дорівнює твору її похідної на збільшення незалежної змінної.

Зауваження. Потрібно пам'ятати, що якщо x - вихідне значення аргументу, а - нарощене значення, то похідна у виразі диференціала береться у вихідній точці x; у формулі (1) цього не видно із запису.

Диференціал функції можна записати в іншій формі:

(4)

Властивості диференціалу

У цьому й наступному параграфах кожну з функцій вважатимемо диференційованою за всіх аналізованих значеннях її аргументів.

Диференціал має властивості, аналогічні до похідної:

(С – постійна величина) (5)

(6)

(7)

(9)

Формули (5) – (9) виходять з відповідних формул для похідної множенням обох частин кожної рівності на .

Застосування диференціала у наближених обчисленнях

Встановлена ​​у другому параграфі наближена рівність

дозволяє використовувати диференціал для наближених обчислень значень функції.

Запишемо наближену рівність докладніше. Так як

Абсолютна та відносна похибки наближених обчислень

Користуючись наближеним значенням числа, необхідно мати можливість судити про рівень його точності. З цією метою обчислюють його абсолютну та відносну похибки.

Абсолютна похибка наближеного числа дорівнює абсолютній величині різниці між точним числом та його наближеним значенням:

Відносною похибкою наближеного числа називається відношення абсолютної похибки цього числа до абсолютної величини відповідного точного числа:

Якщо точне число невідоме, то

Іноді, перш ніж застосувати формулу (11), потрібно попередньо перетворити вихідну величину. Як правило, це робиться у двох цілях. По-перше, треба домогтися, щоб величина була досить малою в порівнянні з , тому що чим менше , тим точніше результат наближеного обчислення. По-друге, бажано, щоб величина обчислювалася просто.

24. Додаток диференціала функції до наближених обчислень

Застосування диференціала до наближених обчислень

Поняття диференціала підказує, що якщо якийсь процес за характером своєї зміни близький до лінійного, то збільшення функції мало відрізняється від диференціала. Крім того, якщо функція має кінцеву похідну в деякій точці х, то її збільшення і диференціал також нескінченно малі при , що прагне до нуля:

Оскільки диференційована функція безперервна,

Тому що добуток обмеженої функції на нескінченно малу при DX, що прагне нуля, є функція нескінченно мала.

Більш того, ці дві нескінченно малі функції при еквівалентні:

Еквівалентність і дає можливість при малих збільшення аргументу наближено вважати

Що може надати ця формула? Нехай у певній точці порівняно просто обчислюються значення і . Тоді в іншій точці , віддаленої неподалік , можливе уявлення:

Тут залишається відкритим питання про точність результату. Ця обставина знижує цінність даної формули наближеного обчислення, але переважно вона корисна і широко застосовується практично.

Розглянемо приклад. У прямокутному трикутнику катети a=5 м та b=12 м. Якою буде гіпотенуза цього трикутника, якщо катет a зменшити на 0,2 м (рис. 11.5, a)?

Знайдемо початкову довжину гіпотенузи:

.

Після зменшення катета a на 0,2 м гіпотенуза дорівнюватиме (рис. 11.5, a)

Застосуємо тепер формулу (11.16) для наближеного знаходження у зв'язку зі зменшенням катета a, розглядаючи функцію виду:

(B = Const);

В обох випадках ми отримали наближене значення шуканої величини. Але в першому випадку похибка виникає в результаті наближених обчислень, а в другому, порівняно простішим, - У зв'язку із застосуванням наближеної формули (до неї також може додатися похибка, спричинена наближеними обчисленнями). Зазначимо, що при зменшенні катета a На 0,2 м гіпотенуза зменшилася приблизно на 0,08 м, а отримані наближені значення при цьому відрізняються лише на 0,001 м.

Розглянемо іншу ситуацію: у цьому ж трикутнику зменшимо гіпотенузу на 0,2 м, залишивши катет b без зміни (рис. 11.5, б). Визначимо, як у цьому випадку зміниться катет A:

25.Додаток похідної до дослідження функцій та побудови графіка

Якщо на деякому проміжку графік функції є безперервною лінією, іншими словами, таку лінію, яку можна провести без олівця від аркуша паперу, то така функція називається безперервною на цьому проміжку. Існують також функції, які безперервними є. Як приклад розглянемо графік функції, що у проміжках і [з; b] безперервна, але у точці
х = з розривною і тому на всьому відрізку не є безперервною. Всі функції, що вивчаються нами шкільному курсіматематики, – це безперервні функції на кожному проміжку, на якому вони визначені.

Зазначимо, що й на деякому проміжку функція має похідну, то цьому проміжку вона безперервна.

Зворотне твердження є неправильним. Функція, яка безперервна на проміжку може не мати похідної в деяких точках цього проміжку. Наприклад, функція
у = | log 2 x | безперервна на проміжку х > 0, але у точці х = 1 немає похідної, оскільки у цій точці графік функції дотичної немає.

Розглянемо побудову графіків з допомогою похідної.

Побудувати графік функції f(x) = x3 – 2x2 + x.

1) Ця функція визначена за всіх х € R.

2) Знайдемо проміжки монотонності розглянутої функції та її точки екстремуму за допомогою похідної. Похідна дорівнює f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. Знайдемо стаціонарні точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, звідки x 1 = 1/3, x 2 = 1.

Для визначення знаку похідної розкладемо квадратні тричлени 3x 2 – 4x + 1 на множники:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Отже, на проміжках х< 1/3 и х >1 похідна позитивна; отже, функція зростає цих проміжках.

Похідна негативна при 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х 1 = 1/3 є точкою максимуму, оскільки праворуч від цієї точки функція зменшується, а ліворуч – зростає. У цій точці значення функції дорівнює f (1/3) = (1/3) 3 - 2 (1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Точкою мінімуму є точка х 2 = 1, оскільки ліворуч від цієї точки функція зменшується, а праворуч зростає; її значення у цій точці мінімуму дорівнює f(1) = 0.

3) При побудові графіка зазвичай знаходять точки перетину графіка з осями координат. Оскільки f(0) = 0, то графік проходить через початок координат. Вирішуючи рівняння f(0) = 0, знаходимо точки перетину графіка з віссю абсцис:

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, звідки х = 0, х = 1.

4) Для точного побудова графіка знайдемо значення функції ще двох точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Використовуючи результати дослідження (пункти 1 - 4), будуємо графік функції у = x 3 - 2x 2 + x.

Для побудови графіка функції зазвичай спочатку досліджують властивості цієї функції за допомогою її похідної за схемою, аналогічною до схеми при вирішенні задачі 1.

Таким чином, при дослідженні властивостей функції необхідно знайти:

1) область її визначення;

2) похідну;

3) стаціонарні точки;

4) проміжки зростання та спадання;

5) точки екстремуму та значення функції у цих точках.

Результати дослідження зручно записувати як таблиці. Потім, використовуючи таблицю, будують графік функції. Для більш точної побудови графіка зазвичай знаходять точки його перетину з осями координат і – за необхідності – ще кілька точок графіка.

Якщо ж ми стикаємося з парною або непарною функцією, то для побудови її графіка достатньо досліджувати властивості та побудувати її графік за х > 0, а потім відобразити його симетрично щодо осі ординат (початку координат). Наприклад, аналізуючи функцію f(x) = х + 4/х, ми приходимо до висновку, що дана функція непарна: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х ) = -f(x). Виконавши всі пункти плану, будуємо графік функції за х > 0, а графік цієї функції за х< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 щодо початку координат.

Для стислості вирішення завдань на побудову графіків функції більшу частину міркувань проводять усно.

Також зазначимо, що при вирішенні деяких завдань ми можемо зіткнутися з необхідністю дослідження функції не на всій області визначення, а лише на деякому проміжку, наприклад, якщо потрібно побудувати графік, скажімо, функції f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 відрізку [-1; 2].

26.Первообразная функції. Невизначений інтеграл та його властивості

Визначення первісної.

Первоподібною функцією f(x) на проміжку (a; b) називається така функція F(x), що виконується рівність для будь-якого х із заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи С дорівнює нулю, то справедлива рівність . Таким чином, функція f(x) має безліч первісних F(x)+C, для довільної константи, причому ці первісні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Визначення невизначеного інтегралу.

Все безліч первісних функцій f(x) називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається .

Вираз називають підінтегральним виразом, а f(x) – підінтегральною функцією. Підінтегральне вираз є диференціал функції f(x).

Дія знаходження невідомої функції за заданим її диференціалом називається невизначеним інтегруванням, тому що результатом інтегрування є не одна функція F(x), а безліч її первісних F(x)+C.

З властивостей похідної можна сформулювати і довести властивості невизначеного інтеграла (властивості первісної).

1.
Похідна результату інтегрування дорівнює підінтегральної функції.

2.
Невизначений інтеграл диференціала функції дорівнює сумі самої функції та довільної константи.

3. , де k - Довільна константа.
p align="justify"> Коефіцієнт можна виносити за знак невизначеного інтеграла.

4.
Невизначений інтеграл суми / різниці функцій дорівнює сумі / різниці невизначених інтегралів функцій.

Проміжні рівності першої та другої властивостей невизначеного інтеграла наведені для пояснення.

Для підтвердження третього і четвертого якостей досить визначити похідні від правих частин рівностей:

Ці похідні рівні підінтегральним функцій, що є доказом з першої якості. Воно ж використовується в останніх переходах.

Таким чином, завдання інтегрування є зворотним завданням диференціювання, причому між цими завданнями дуже тісний зв'язок:

· Перше властивість дозволяє проводити перевірку інтегрування. Щоб перевірити правильність виконаного інтегрування, достатньо обчислити похідну отриманого результату. Якщо отримана в результаті диференціювання функція виявиться рівною підінтегральної функції, це означатиме, що інтегрування проведено правильно;

· Друга властивість невизначеного інтеграла дозволяє за відомим диференціалом функції знайти її первісну. У цьому властивості засноване безпосереднє обчислення невизначених інтегралів.

Розглянемо приклад.

Знайти первісну функцію , значення якої дорівнює одиниці при х = 1.

Ми знаємо з диференціального обчислення, що (Досить заглянути в таблицю похідних основних елементарних функцій). Таким чином, . За другою властивістю . Тобто маємо безліч первісних . При х = 1 отримаємо значення. За умовою, це значення має дорівнювати одиниці, отже, С = 1. Шукана первісна набуде вигляду .

Якщо таблицю похідних основних елементарних функцій переписати як диференціалів, то з неї по другому властивості невизначеного інтеграла можна скласти таблицю первообразных.

Подібна інформація.

ЛОГАРИФМІЧНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх попередньо прологарифмувати. Для цього надходять у такий спосіб. Якщо потрібно знайти yз рівняння y=f(x), то можна:

приклади.

ПОКАЗНО-СТІПОВА ФУНКЦІЯ ТА ЇЇ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Показово-статечноюфункцією називається функція виду y = u v, де u=u(x), v=v(x).

Логарифмічне диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-ступеневої функції.

приклади.

ТАБЛИЦЯ ВИРОБНИХ

Об'єднаємо в одну таблицю всі основні формули та правили диференціювання, виведені раніше. Всюди будемо думати u=u(x), v=v(x), З = const. Для похідних основних елементарних функцій користуватимемося теоремою про похідну складну функцію.

приклади.

ПОНЯТТЯ ДИФЕРЕНЦІАЛУ ФУНКЦІЇ. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ДИФЕРЕНЦІАЛОМ І ВИРОБНИЧИЙ

Нехай функція y=f(x)диференційована на відрізку [ a; b]. Похідна цієї функції у певній точці х 0 Î [ a; b] визначається рівністю

.

Отже, за якістю межі

Помножуючи всі члени здобутої рівності на Δ x, отримаємо:

Δ y = f "(x 0)·Δ x+ a·Δ x.

Отже, нескінченно мале приріст Δ yдиференційованої функції y=f(x)може бути представлено у вигляді суми двох доданків, з яких перше є (при f "(х 0) ≠ 0) головна частина збільшення, лінійна щодо Δ x, а друге – нескінченно мала величина вищого порядку, ніж Δ x. Головну частину збільшення функції, тобто. f "(х 0)·Δ xназивають диференціалом функції у точці х 0 і позначають через dy.

Таким чином, якщо функція y=f(x)має похідну f "(x) у точці x, то твір похідної f "(x) на збільшення Δ xаргументу називають диференціалом функціїі позначають:

Знайдемо диференціал функції y= x. В цьому випадку y" = (x)" = 1 і, отже, dy=dx=Δ x. Таким чином, диференціал dxнезалежної змінної xзбігається з її збільшенням Δ x. Тому формулу (1) ми можемо записати так:

dy = f "(x)dx

Але з цього співвідношення випливає, що . Отже, похідну f "(x) можна як ставлення диференціала функції до диференціалу незалежної змінної.

Раніше ми показали, що з диференційованості функції у точці випливає існування диференціала у цій точці.

Справедливе та зворотне твердження.

Якщо для цього значення xзбільшення функції Δ y = f(x+Δ x) – f(x)можна подати у вигляді Δ y = A·Δ x+ α, де α – нескінченно мала величина, яка задовольняє умові , тобто. якщо для функції y=f(x)існує диференціал dy=A·dxу певній точці x, то ця функція має похідну в точці xі f "(x)=А.

Дійсно, маємо , і тому що при Δ x→0, то .

Таким чином, між диференційованістю функції та існуванням диференціала є дуже тісний зв'язок, обидва поняття рівносильні.

приклади.Знайти диференціали функцій:

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІС ДИФЕРЕНЦІАЛУ

Розглянемо функцію y=f(x)і відповідну їй криву. Візьмемо на кривій довільну точку M(x; y),проведемо дотичну до кривої в цій точці і позначимо через кут, який дотична утворює з позитивним напрямком осі Ox. Дамо незалежну змінну xприріст Δ x, тоді функція отримає приріст Δ y = NM 1 . значенням x+Δ xі y+Δ yна кривій y = f(x)буде відповідати точка

M 1 (x+Δ x; y+Δ y).

З Δ MNTзнаходимо NT=MN· tg α. Т.к. tg α = f "(x), а MN = Δ x, то NT = f "(x)·Δ x. Але за визначенням диференціалу dy=f "(x)·Δ xтому dy = NT.

Таким чином, диференціал функції f(x), що відповідає даним значенням x і Δx, дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y=f(x) у цій точці х.

ТЕОРЕМА ПРО ІНВАРІАНТНІСТЬ ДИФЕРЕНЦІАЛУ

Раніше ми бачили, що якщо uє незалежною змінною, то диференціал функції y=f "(u) має вид dy = f "(u)du.

Покажемо, що ця форма зберігається у тому випадку, коли uне незалежної змінної, а функцією, тобто. Знайдемо вираз для диференціалу складної функції. Нехай y=f(u), u=g(x)або y = f(g(x)). Тоді за правилом диференціювання складної функції:

.

Отже, за визначенням

Але g"(x)dx= duтому dy=f"(u)du.

Ми довели наступну теорему.

Теорема.Диференціал складної функції y=f(u), для котрої u=g(x), має той самий вигляд dy=f"(u)duякий він мав би, якби проміжний аргумент uбув незалежною змінною.

Інакше висловлюючись, форма диференціала залежить від цього, є аргумент функції незалежної змінної чи функцією іншого аргументу. Ця властивість диференціала називається інваріантністю форми диференціалу.

приклад.. Знайти dy.

Враховуючи властивість інваріантності диференціалу, знаходимо

.

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛУ ДО НАБЛИЖЕНИХ ВИЧИСЛЕНЬ

Нехай нам відоме значення функції y 0 =f(x 0 ) та її похідною y 0 " = f "(x 0) у точці x 0. Покажемо, як знайти значення функції в деякій близькій точці x.

Як ми вже з'ясували збільшення функції Δ yможна подати у вигляді суми Δ y=dy+α·Δ x, тобто. збільшення функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих Δ xдругим доданком у наближених обчисленнях, іноді користуються наближеною рівністю Δ y≈dyабо Δ y» f"(x 0)·Δ x.

Т.к., за визначенням, Δ y = f(x) – f(x 0), то f(x) – f(x 0)≈f"(x 0)·Δ x.

приклади.

ВИРОБНИЧІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

Нехай функція y=f(x)диференційована на деякому відрізку [ a; b]. Значення похідної f"(x), взагалі кажучи, залежить від x, тобто. похідна f"(x) є також функцією змінної x. Нехай ця функція має похідну. Диференціюючи її, отримаємо так звану другу похідну від функції f(x).

Похідна від першої похідної називається похідної другого порядкуабо другий похіднийвід цієї функції y=f(x)і позначається y"або" f""(x). Отже, y"" = (y")".

Наприклад, якщо у = х 5 , то y"= 5x 4 , а y""= 20x 4 .

Аналогічно, у свою чергу, похідну другого порядку також можна диференціювати. Похідна від другої похідної називається похідної третього порядкуабо третьої похідноїта позначається y"""або f"""( x).

Взагалі, похідної n-го порядкувід функції f(x)називається похідна (перша) від похідної ( n– 1)-го порядку та позначається символом y(n) або f(n) ( x): y(n) = ( y(n-1))".

Отже, перебування похідної вищого порядку від цієї функції послідовно знаходять її похідні нижчих порядків.

Визначення диференціалу

Розглянемо функцію \(y = f\left(x \right),\) яка є безперервною в інтервалі \(\left[(a,b) \right].\) Припустимо, що в деякій точці \((x_0) \ in \left[ (a,b) \right]\) незалежна змінна отримує приріст \(\Delta x.\) Приріст функції \(\Delta y,\), що відповідає такій зміні аргументу \(\Delta x,\) виражається формулою \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\left(((x_0)) \right) .\] Для будь-якої диференційованої функції прирощення \(\Delta y\) можна у вигляді суми двох доданків: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right),\] де перший член (т.зв. Головна частина приріщення) лінійно залежить від прирощення \(\Delta x,\) а другий член має більш високий порядок дещиці щодо \(\Delta x.\) Вираз \(A\Delta x\) називається диференціалом функції і позначається символом \(dy\) або \(df\left(((x_0)) \right).\)

Розглянемо цю ідею розбиття збільшення функції (Delta y) на дві частини на простому прикладі. Нехай заданий квадрат із стороною \((x_0) = 1 \,\text(м)\,\) (малюнок \(1\)). Його площа, очевидно, дорівнює \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(м)^2.\] Якщо сторону квадрата збільшити на \(\Delta x = 1\,\text(см),\ ) то точне значення площі збільшеного квадрата становитиме \ тобто. збільшення площі \(\Delta S\) дорівнює \[ (\Delta S = S - (S_0) = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\text(м)^2 ) = (201\,\text( см)^2.) \] Уявимо тепер це прирощення \(\Delta S\) у такому вигляді: \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left(((x_0) + \Delta x) \right)^2) - x_0^2 ) = (\cancel(x_0^2) + 2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) - \ cancel(x_0^2) ) = (2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) ) = (A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] Отже, збільшення функції \(\Delta S\) складається з головної частини (диференціала функції), яка пропорційна \(\Delta x\) і дорівнює \ і члена вищого порядку малості, у свою чергу, рівного \[\omicron\left((\Delta x) \right) = (\left((\Delta x) \right)^2) = (0,01^2) = 0,0001\,\text(м)^2 = 1\,\text(см)^2.\] У сумі обидва цих члени становлять повне збільшення площі квадрата, рівне \(200 + 1 = 201\,\text(см)^2.\)

Зауважимо, що в даному прикладі коефіцієнт \(A\) дорівнює значенню похідної функції \(S\) у точці \((x_0):\) \ Виявляється, що для будь-якої функції, що диференціюється справедлива наступна теорема :

Коефіцієнт \(A\) головної частини збільшення функції в точці \((x_0)\) дорівнює значенню похідної \(f"\left(((x_0)) \right)\) у цій точці, тобто прирощення \( \Delta y\) виражається формулою \[ (\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right) ) = (f"\left(((x_0)) \right)\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right).) \] Розділивши обидві частини цієї рівності на \(\Delta x \ne 0,\) маємо \[ (\frac((\Delta y)))( (\Delta x)) = A + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)) ) = (f"\left(((x_0)) \right ) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)).) \] У межі при \(\Delta x \to 0\) отримуємо значення похідної в точці \((x_0):\) \[ (y"\left(((x_0)) \right) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (A = f"\left(((x_0)) \right).) \] Тут ми врахували, що для малої величини \(\omicron\left((\Delta x) \right)\) вищого порядку малості, ніж \(\Delta x,\) межа дорівнює \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))( (Delta x)) = 0.\] Якщо вважати, що диференціал незалежної змінної \(dx\) дорівнює її приросту \(\Delta x:\) \ то із співвідношення \ слід, що \ тобто. похідну функції можна як ставлення двох диференціалів.

Геометричний сенс диференціала функції

На малюнку \(2\) схематично показано розбивка збільшення функції \(\Delta y\) на головну частину \(A\Delta x\) (диференціал функції) і член вищого порядку малості \(\omicron\left((\Delta x ) \right)\).

Дотична \(MN\), проведена до кривої функції \(y = f\left(x \right)\) у точці \(M\), як відомо, має кут нахилу \(\alpha\), тангенс якого дорівнює похідній : \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] При зміні аргументу на \(\Delta x\) дотична отримує приріст \(A\Delta x.\) Це лінійне прирощення , утворене дотичною, якраз і є диференціалом функції. ).

Властивості диференціалу

Нехай \(u\) та \(v\) − функції змінної \(x\). Диференціал має такі властивості:

1. Постійний коефіцієнт можна виносити за знак диференціалу:

   \(d\left((Cu) \right) = Cdu\), де \(C\) - постійне число.

2. Диференціал суми (різниці) функцій:

   \(d\left((u \pm v) \right) = du \pm dv.\)

3. Диференціал постійної величини дорівнює нулю:

   \(d\left(C \right) = 0.\)

4. Диференціал незалежної змінної \(x\) дорівнює її приросту:

   \(dx = \Delta x.\)

5. Диференціал лінійної функції дорівнює її приросту:

   \(d\left((ax + b) \right) = \Delta \left((ax + b) \right) = a\Delta x.\)

6. Диференціал твору двох функцій:

   \(d\left((uv) \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)

7. Диференціал приватного двох функцій:

   \(d\left((\large\frac(u)(v)\normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))(((v^2))) \normalsize.\)

8. Диференціал функції дорівнює добутку похідної на диференціал аргументу:

   \(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)

Як видно, диференціал функції \(dy\) відрізняється від похідної лише множником \(dx\). Наприклад, \[(d\left(((x^n)) \right) = n(x^(n - 1))dx,)\;\; (d\left((\ln x) \right) = \frac((dx))(x),)\;\; (d\left((\sin x) \right) = \cos x dx) \] і так далі.

Інваріантність форми диференціалу

Розглянемо композицію двох функцій \(y = f\left(u \right)\) та \(u = g\left(x \right),\) тобто. складну функцію \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\) Її похідна визначається виразом \[(y"_x) = (y"_u) \cdot (u"_x) де нижній індекс позначає змінну, за якою проводиться диференціювання.

Диференціал "зовнішньої" функції \(y = f\left(u \right)\) записується у вигляді \ Диференціал "внутрішньої" функції \(u = g\left(x \right)\) можна уявити аналогічним чином: \ Якщо підставити \(du\) у попередню формулу, то отримаємо \ Оскільки \((y"_x) = (y"_u) \cdot(u"_x),\) то \ Видно, що у разі складної функції ми отримали таке ж саме формі вираз для диференціала функції, як і у випадку "простий" функції.Ця властивість називається інваріантністю форми диференціалу .